一種基于核支持向量機(jī)的盲均衡算法

本文引用格式：，.一種基于核支持向量機(jī)的盲均衡算法[J].自動(dòng)化與信息工程，2025，46（3）：17-22

LIU Yaning，LIJianglin.Ablind equalizationalgorithm basedon kerel support vector machine[J].Automation amp; Information Engineering，2025，46（3）：17-22.

關(guān)鍵詞：盲均衡；核支持向量機(jī)；恒模算法；小波函數(shù)；碼間干擾中圖分類號(hào)：TN911.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-2605（2025）03-0003-06DOI： 10.12475/aie.20250303 開放獲取

A Blind Equalization Algorithm Based on Kernel Support Vector Machine

LIU YaningLI Jianglin （CECHuada Electronic Design Co.，Ltd.， Beijing，Beijing 102209， China）

Abstract：Toaddress the inter-symbol interference （IS）caused bynon-idealchannel transmissioncharacteristics，a blind equalizationalgorithmbasedonkemelsupportvectormachines （SVM）is proposed.Thisalgorithm introduces theerorfunctionof theconstantmodulusalgorithm（CMA）intothecostfunctionoftesupportvectormachin，mitigatingthphaseoffsetissueofCMA in nonliearchannels.Byconstructing theSVMkemel function using wavelet functions，thecomputationalcomplexityof solving nonlinearproblemsisduced，furthemprovingthecomputationaleficiencyof teblindequalizationalgorithmSimulatioesults demonstrate thatcomparedtotheconstant modulusalgorithmandSVMwithSigmoidkernelfunctions，theSVMwithwaveletkeel functions exhibitsfasterconvergencespeed.Moreover，teblindequalizationalgorithmbasedonthis kemelSVMachieveshigher classification accuracy.

Keywords： blind equalization; kernel support vector machine;constant modulus algorithm; wavelet function; inter-symbol interference

0 引言

在無(wú)線通信過(guò)程中，信道時(shí)延、噪聲、多徑衰落等現(xiàn)象均可能導(dǎo)致碼間串?dāng)_或信道間干擾，影響信號(hào)恢復(fù)質(zhì)量。抑制碼間串?dāng)_常用的方法是利用均衡器在接收端對(duì)信道特性進(jìn)行補(bǔ)償，從而保證信號(hào)高質(zhì)量傳輸。傳統(tǒng)的自適應(yīng)均衡器需要在傳輸信號(hào)中插入一段已知的訓(xùn)練序列，接收端通過(guò)分析訓(xùn)練序列的變化來(lái)跟蹤信道狀態(tài)信息，并據(jù)此調(diào)整均衡器系數(shù)。但訓(xùn)練序列無(wú)法傳輸有效信息，擠占資源，降低了帶寬利用率。而盲均衡算法無(wú)需借助訓(xùn)練序列，僅利用接收信號(hào)的先驗(yàn)信息即可恢復(fù)傳輸信號(hào)，既能有效抑制碼間串?dāng)_，又能提升信道利用率，在無(wú)線通信領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

傳統(tǒng)的盲均衡算法主要包括基于Bussgang類算法，如恒模算法，其復(fù)雜度低、魯棒性好，但存在收斂速度慢及相位偏差校正困難等問題[1-2]；基于高階統(tǒng)計(jì)量算法，其收斂速度快，但計(jì)算量大且復(fù)雜，在工程實(shí)踐中應(yīng)用較少[3]。

支持向量機(jī)（supportvectormachine，SVM）的凸二次規(guī)劃特性，較好地克服了Bussgang類盲均衡算法的局部極值問題。文獻(xiàn)[4]首次將SVM的迭代重加權(quán)二次規(guī)劃算法應(yīng)用于通信系統(tǒng)，以解決盲均衡算法的局部極值問題，但由于二次規(guī)劃算法的計(jì)算復(fù)雜度較高，不適用于工程實(shí)踐。

基于SVM的盲均衡算法的基本思路是將恒模算法的誤差函數(shù)引入SVM的代價(jià)函數(shù)中，以提升算法的收斂速度，解決局部極值問題。文獻(xiàn)[5]提出一種基于改進(jìn)SVM的恒模盲均衡算法，利用SVM初始化均衡器系數(shù)；利用恒模算法計(jì)算均衡系數(shù)，計(jì)算量較小，更適用于低速率的水聲信道。文獻(xiàn)[6]提出一種多輸入多輸出系統(tǒng)的盲源分離與均衡算法，以SVM為框架，利用信號(hào)的恒模特性改進(jìn)代價(jià)函數(shù)，在線性信道下對(duì)正交幅度調(diào)制（quadrature amplitude modulationQAM）信號(hào)恢復(fù)具有較好的性能，但在處理非線性信號(hào)時(shí)性能有所下降。

此外，SVM通過(guò)核技巧可將低維空間的非線性問題轉(zhuǎn)化為高維空間的線性問題，在幾乎不增加計(jì)算量的情況下，解決了非線性信道下的均衡問題。然而，核SVM的性能受核函數(shù)的影響較大。

本文利用小波函數(shù)構(gòu)造SVM的核函數(shù)，不僅提高了盲均衡算法的收斂速度，還提升了相同數(shù)據(jù)樣本的分類效果，有效增強(qiáng)了盲均衡算法的魯棒性。

1相關(guān)內(nèi)容

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

假設(shè)信源序列 ?_si 為獨(dú)立同分布的二進(jìn)制序列，經(jīng)過(guò)沖激響應(yīng) h_k 的信道，同時(shí)引入均值為0的加性高斯白噪聲 ，則接收機(jī)接收的信號(hào) ?_zi 為

z_i=s_i*h_k+n_i

式中：*為卷積運(yùn)算。

將 作為均衡器的輸入信號(hào)，則均衡器的輸出信號(hào)X可表示為

式中： W=（w₁，w₂，…，w_M） 為 M 階均衡器的系數(shù)。

恒模算法的代價(jià)函數(shù)為

式中： R₂=E（|s_i|⁴）∣dle/E（|s_i|²），E（|s_i|⁴） E（|S_i|⁴） E（|S_i|²） 分別為信源序列 s_i 的四階矩、二階矩。

利用梯度下降法不斷迭代，減小恒模算法的代價(jià)函數(shù)，得到代價(jià)誤差函數(shù)為

根據(jù)SVM理論，期望求得一個(gè)最優(yōu)超平面y σ=σ wz+b ，使每個(gè)樣本點(diǎn)到該超平面的幾何間隔最大。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，基于SVM的盲均衡算法的代價(jià)函數(shù)表示為

式中： Cgt;0 為懲罰因子； |e_i|_ε=max{0，|e_i|-ε} ε為均衡器精度； N 為樣本總數(shù)。

然而，并非所有的樣本都是線性可分的。為此引入松弛變量 ξ_i 和 ，則SVM的代價(jià)函數(shù)可重寫為

求解SVM的代價(jià)函數(shù)最小時(shí)的 w ，即

式中： 為均衡器輸出的判決恢復(fù)信號(hào)。

公式（7）＼～（10）是一個(gè)凸二次規(guī)劃問題，因此關(guān)于 w 的解是存在的。為方便求解，將公式（7）＼～（10）轉(zhuǎn)化為拉

格朗日對(duì)偶問題，其拉格朗日函數(shù)為

式中： 為拉格朗日乘子。

對(duì) 求偏導(dǎo)，先最小化求解（2 ，再最大化求解 ，最后得到均衡器的系數(shù)為

通過(guò)最大化公式（13），可求得拉格朗日乘子：

式中： z_i?z_j 為均衡器輸入信號(hào) z 的內(nèi)積。

1.2 核函數(shù)

上述分析主要針對(duì)線性信道。然而，在實(shí)際通信系統(tǒng)中，存在著大量的非線性信道。非線性信號(hào)難以通過(guò)簡(jiǎn)單的線性劃分來(lái)恢復(fù)。SVM的核技巧能夠解決非線性問題，且應(yīng)用簡(jiǎn)單。其利用一個(gè)核函數(shù)替代公式（13）中的內(nèi)積運(yùn)算 z_i?z_j ，可將原特征空間的非線性數(shù)據(jù)映射到一個(gè)高維的特征空間，從而將低維空間的非線性問題轉(zhuǎn)化為高維空間的線性問題，且算法其他部分均保持不變。

定義1設(shè) z 為輸入空間（歐氏空間 |Rⁿ 的子集或離散集合）， H 為特征空間（希爾伯特空間），如果存在一個(gè)從 Z 到 H 的映射 ?（z）：ZH ，使得對(duì)所有z，z^′∈z ，函數(shù) K（z，z^′） 滿足條件：

K（z，z^′）=?（z）??（z^′）

則稱 K（z，z^′） 為核函數(shù)， ?（z） 為映射函數(shù)，?（z）??（z^′） 為 ?（z） 與 ?（z^′） 的內(nèi)積。

SVM中常用的核函數(shù)包括但不僅限于以下幾類：

1）高斯核函數(shù)

2）多項(xiàng)式核函數(shù)

K（z，z^′）=[（z?z^′）+p]^q

3）Sigmoid核函數(shù)

K（z，z^′）=tanh[k（z?z^′）+ν]

核函數(shù)的選擇會(huì)影響SVM的性能，不同的核函數(shù)意味著將數(shù)據(jù)映射到不同的向量空間。不恰當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)可能導(dǎo)致SVM陷入局部極值問題，降低分類準(zhǔn)確度[8-11]。選擇恰當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)不僅有助于提升算法性能，還可能降低計(jì)算復(fù)雜度。但核函數(shù)的選擇沒有特定規(guī)律，通常需要結(jié)合具體問題進(jìn)行具體分析。

2 小波核函數(shù)

2.1 小波變換

傅里葉變換在處理突變信號(hào)等非平穩(wěn)問題時(shí)，無(wú)法有效反映頻率隨時(shí)間的變化。短時(shí)傅里葉變換通過(guò)加窗的方式將整個(gè)時(shí)域分割成多個(gè)等間隔的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的信號(hào)近似平穩(wěn)。但窗口寬度會(huì)影響時(shí)間分辨率，且高頻、低頻信號(hào)適合的窗口寬度不同。然而，短時(shí)傅里葉變換的窗口寬度是固定的，無(wú)法兼顧不同頻率的信號(hào)，具有一定的局限性。

不同于傅里葉變換，小波變換的基函數(shù)不是正弦波，其長(zhǎng)度有限，能量集中于某一點(diǎn)附近，且積分值為0。小波基函數(shù)包含伸縮因子和平移因子2個(gè)變量。其中，伸縮因子對(duì)應(yīng)于頻率，平移因子對(duì)應(yīng)于時(shí)間，可以靈活縮放，實(shí)現(xiàn)了類似于短時(shí)傅里葉變換中改變窗口寬度的功能，有效彌補(bǔ)了傅里葉變換的局限性。

小波變換表達(dá)式為

式中： a 為伸縮因子； τ 為平移因子； 為母小波函數(shù)，需滿足平方可積特性，且 。

由以上分析可知，小波變換通過(guò)改變伸縮因子和平移因子，可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度分析。其既可以描述信號(hào)的整體，也可以聚焦信號(hào)的某一特定細(xì)節(jié)（某個(gè)或若干個(gè)頻率），具有較強(qiáng)的靈活性。

2.2基于小波函數(shù)構(gòu)造SVM核函數(shù)

為了提升盲均衡算法的性能，利用小波函數(shù)的多尺度分析、多分辨率等特點(diǎn)，構(gòu)造SVM的核函數(shù)。

核函數(shù)具有對(duì)稱性，需要滿足Mercer定理[7]。

定理1（Mercer定理）：對(duì)于平方可積空間上的任意對(duì)稱函數(shù) K（z，z^′） 為某特征空間中的內(nèi)積運(yùn)算，能夠以正系數(shù) 展開為

其充分必要條件是對(duì)所有 φ（z）≠0 且 ∞ 的函數(shù) φ（z） ，有

以墨西哥帽小波函數(shù)為例：

定理 2^[12] 假設(shè)母小波函數(shù)為 ψ（z），a 為伸縮因子，τ 為平移因子， z，a，τ∈R 。對(duì)于 z， z^′∈R^N ，滿足Mercer定理的點(diǎn)積形式的小波核函數(shù)為

以及滿足平移不變的小波核函數(shù)為

二者均為可被允許的SVM的核函數(shù)。

根據(jù)以上分析可知，墨西哥帽小波函數(shù)的核函數(shù)為

采用墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)[13]，替代公式（13）中的內(nèi)積運(yùn)算（zi·zj），構(gòu)造基于墨西哥帽小波函數(shù)的核SVM，相當(dāng)于求解以下問題：

最終求得均衡器的輸出為

3 仿真測(cè)試

本文利用MATLAB對(duì)基于核SVM的盲均衡算法進(jìn)行仿真測(cè)試。仿真測(cè)試環(huán)境：Intel（R）Core（TM）i5-10210U 1.60GHz ，Windows11 64bit，MATLABR2019a 。

以正交相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）信號(hào)為例，添加信噪比為10dB的高斯白噪聲，在非線性信道下進(jìn)行仿真測(cè)試，信道沖激響應(yīng)為[-0.1089+j0.1465-0.0223+j0.2897-0.0152-j0.4778]。

3.1核函數(shù)對(duì)SVM收斂速度的影響

核函數(shù)影響SVM性能的一種直觀表現(xiàn)為算法的收斂速度。本文以均方誤差（mean square error，MSE）作為評(píng)估指標(biāo)，對(duì)比采用Sigmoid函數(shù)和墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)的2種核SVM的算法收斂速度。

MSE的計(jì)算公式為

式中： y_n 為接收端解調(diào)比特， s_n 為發(fā)送端原始比特。

采用Sigmoid函數(shù)和墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)的2種核SVM的MSE收斂曲線如圖1所示。

由圖1可知：采用墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM的MSE曲線下降速度更快，在迭代約25次時(shí)已基本收斂，后續(xù)曲線也較平穩(wěn)；而采用Sigmoid函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM在迭代約40次時(shí)才收斂，且在50～55次迭代區(qū)間出現(xiàn)了輕微抖動(dòng)，表明采用墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM收斂速度更快，性能更穩(wěn)定。

3.2算法分類性能比較

星座圖是一種能夠直觀表現(xiàn)信號(hào)間關(guān)系的分析工具。當(dāng)星座圖中的點(diǎn)越向中心點(diǎn)聚合，且離散點(diǎn)數(shù)量越少時(shí)，說(shuō)明分類效果越好。本文分別通過(guò)恒模算法、采用Sigmoid函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM盲均衡算法、采用墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM盲均衡算法對(duì)同一組數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行仿真，所得結(jié)果的星座圖分別如圖2～4所示。

對(duì)比圖2～4可以看出：圖2的星座圖相位分布較清晰，但存在明顯的相位偏移，這是由于恒模算法的誤差函數(shù)僅與接收信號(hào)的幅值相關(guān)，難以恢復(fù)由非線性信道引發(fā)的相位偏移；圖3的星座圖聚類邊緣清晰，相位偏移得到校正，僅存在少量的離散點(diǎn)；圖4的星座圖聚類在預(yù)期位置，不僅較好地糾正了相位偏移，而且離散點(diǎn)數(shù)量明顯減少，表明采用墨西哥帽小波函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM盲均衡算法，比恒模算法、采用Sigmoid函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM盲均衡算法的分類準(zhǔn)確度更好。

4結(jié)論

本文提出一種基于核SVM的盲均衡算法，將恒模算法的誤差函數(shù)引入SVM的代價(jià)函數(shù)中，并利用小波函數(shù)構(gòu)造核函數(shù)。通過(guò)對(duì)非線性信道下的QPSK信號(hào)的仿真測(cè)試結(jié)果表明，采用小波函數(shù)作為核函數(shù)的核SVM盲均衡算法收斂速度更快，分類準(zhǔn)確度更高。然而，本文在仿真階段采用人工方式篩選核函數(shù)參數(shù)，耗時(shí)較長(zhǎng)，后續(xù)研究擬引入自適應(yīng)參數(shù)優(yōu)化等方法，降低參數(shù)選擇的工作量，進(jìn)一步提升算法效率。? Theauthor（s） 2024.This is an open access article under the CCBY-NC-ND 4.0 License （https：//creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）

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作者簡(jiǎn)介：

劉雅寧，女，1989 年生，碩士研究生，工程師，主要研究方向：通信算法及信號(hào)處理。E-mail：liuxiaoduoduoduo@qq.com李江林，男，1984年生，碩士研究生，主要研究方向：通信算法及信號(hào)處理。