問題鏈驅(qū)動下的融合式教學(xué)

數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)歉鶕?jù)教學(xué)內(nèi)容及所蘊(yùn)含的思維脈絡(luò)，立足學(xué)生認(rèn)知水平而設(shè)計(jì)的具有系統(tǒng)性、層次性、結(jié)構(gòu)化的問題序列。問題鏈教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提供探索路徑，進(jìn)而引發(fā)對數(shù)學(xué)知識的深入思考，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)思維進(jìn)階。\"教師應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)不同類型的問題鏈，借助信息技術(shù)促進(jìn)師生互動和學(xué)生思維發(fā)展。

以“置信區(qū)間”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施為例。區(qū)間估計(jì)作為一種重要的估計(jì)總體參數(shù)方法，在高中統(tǒng)計(jì)類課程的教學(xué)中有顯著的特點(diǎn)：置信區(qū)間概念相對復(fù)雜，區(qū)間特征所涉及的統(tǒng)計(jì)概念比較抽象。因此，可以通過恰當(dāng)?shù)摹皢栴}鏈”引導(dǎo)學(xué)生建立相應(yīng)的“邏輯鏈”，從問題引入到概念的解析，遞進(jìn)式地推進(jìn)知識的建構(gòu)和思維的發(fā)展；通過相關(guān)軟件展示不同樣本均值對應(yīng)的置信區(qū)間，可以為分析置信區(qū)間的各個特征量提供有力的支持。

1.問題設(shè)計(jì)的原則

第一，以學(xué)生為中心，研究真問題。作為課堂研究的發(fā)端，初始問題的提出一定是基于學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，因此，要做到問題簡練，直切主題。例如，問題1：如果想了解一個大超市雞蛋的平均質(zhì)量，你會怎么辦？學(xué)生會想到計(jì)算雞蛋的平均質(zhì)量。教師在計(jì)算器預(yù)設(shè)總體均值m和方差5g。利用隨機(jī)數(shù)命令可以生成10個隨機(jī)的結(jié)果，并求出一個樣本均值。重復(fù)執(zhí)行命令，可得到多個不同的樣本均值。問題2：由以上結(jié)果怎么評估不同均值的準(zhǔn)確性？教師可在計(jì)算器中預(yù)先生成250個隨機(jī)樣本均值，然后給出樣本均值點(diǎn)圖，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：對于一個正態(tài)總體 ，樣本數(shù)量是n的抽樣分布為 。接下來會用到抽樣分布去評價點(diǎn)估計(jì)。

第二，在問題子鏈中化解難點(diǎn)。概念形成中的難點(diǎn)可通過拆分在各個子鏈條中化簡。在分析的過程中，教師通過回顧鏈接，分析解決，最后才“非常自然”地導(dǎo)出這節(jié)課的核心概念。例如，問題3：從之前了解到的概率分布來分析，如有 95% 的可能性，樣本均值落在對應(yīng)的哪個區(qū)間（xe（μ-2nμ+2n）？問題4：基于這個分析，在有對應(yīng)概率的情況下，能不能給出樣本均值關(guān)于總體均值的“距離”的估計(jì) ，進(jìn)而給出總體均值估計(jì)的區(qū)間

第三，從定勢思維和易錯點(diǎn)設(shè)計(jì)問題。在不斷反問和分析錯誤的過程中，激發(fā)學(xué)生的好奇心和研究欲，學(xué)生通過自己的直接體驗(yàn)和思考，打破思維定勢，攻克易錯點(diǎn)。例如，問題5：怎么描述這個區(qū)間表達(dá)的含義？學(xué)生非常容易表述為：有 95% 的可能性總體均值落在 = （50.9，57.1）這個區(qū)間里。教師可以直接反問：總體均值和所求出的區(qū)間都是確定的。這個數(shù)要么一定在，要么一定不在這個區(qū)間里，不會是一個概率問題。學(xué)生可以進(jìn)一步討論，教師幫助分析，從而引出接下來關(guān)于置信水平的數(shù)值試驗(yàn)和討論。

2.問題的推進(jìn)

第一，對學(xué)生的回答要有充分的預(yù)設(shè)和思考。教師需要站在學(xué)生角度做好充分的預(yù)設(shè)，使問題本身的討論和思維發(fā)展的鏈條環(huán)環(huán)相扣，準(zhǔn)確地達(dá)到目標(biāo)。例如，在問題5的討論中，教師找到了一個“終極答案”，可以“一招制敵”。若沒有統(tǒng)一解答，就要去“各個擊破”。

第二，通過輔助問題搭建，助力問題討論。針對學(xué)生的困惑點(diǎn)，教師要巧妙地搭建一些“梯子問題”。例如，在置信水平的試驗(yàn)討論中，教師可以有目的地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)網(wǎng)頁數(shù)值試驗(yàn)現(xiàn)象： 具體出現(xiàn)的位置不確定，通過重復(fù)抽樣，能得到不同的區(qū)間。

問題6：仔細(xì)觀察到這些區(qū)間有什么異同？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)區(qū)間分布的位置不同是由樣本均值決定的。同時，能從視覺上猜測區(qū)間的寬度是一樣的，進(jìn)一步可借助置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)寬度是由置信水平?jīng)Q定，即區(qū)間的構(gòu)造方法是一致的，區(qū)間的不同是由均值的隨機(jī)性決定的。問題7：總體均值都包含在區(qū)間里面嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的區(qū)間包含總體均值，有的不包含。教師可提示學(xué)生觀察網(wǎng)頁上統(tǒng)計(jì)的包含總體均值的區(qū)間個數(shù)和比例變化。隨著區(qū)間數(shù)量的增加，這個比例基本穩(wěn)定在 95% （即預(yù)先給定的概率）。整個過程從數(shù)值實(shí)驗(yàn)的角度分析和暗含了置信水平的含義：在相同構(gòu)造方法下，對應(yīng)比例的區(qū)間能包含或是“捕捉”到總體均值。此預(yù)先給定的概率可以理解為捕捉率，我們把這個概率叫做置信水平。問題8：能不能更準(zhǔn)確地解釋這個捕捉率？利用Desmos課件分享演示。學(xué)生通過觀察相同置信水平下的不同區(qū)間位置隨著樣本均值 Π_x^- 的連續(xù)變動的情況，得出只有當(dāng) 出現(xiàn)在中心區(qū)域 ，對應(yīng)區(qū)間才能包含總體均值，而 Π_x^- 出現(xiàn)在這個范圍內(nèi)的概率就是給定的置信水平。

第三，問題設(shè)計(jì)要“層層遞進(jìn)”。概念的建構(gòu)需要由淺入深地思考和剖析。比如，在置信區(qū)間概念建構(gòu)中，先解決“怎么給出估計(jì)”，進(jìn)而思考“怎么評價估計(jì)”。對于已有概念和方法，在設(shè)計(jì)應(yīng)用問題的時候也可遞進(jìn)。例如，通過分析置信區(qū)間的其他參數(shù)，如置信水平或樣本數(shù)量的變化，多維度地理解概念，更深刻地揭示方法的實(shí)際意義和廣泛應(yīng)用。

3.技術(shù)實(shí)施的建議

一是復(fù)雜數(shù)據(jù)的可視化。統(tǒng)計(jì)學(xué)科本是基于數(shù)據(jù)進(jìn)行研究的學(xué)科，可借助計(jì)算工具處理大數(shù)據(jù)。TI圖形計(jì)算器有很多模塊化的統(tǒng)計(jì)函數(shù)和統(tǒng)計(jì)功能，能直觀地展示出大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。例如，問題1和問題2討論過程中，分別用到了隨機(jī)數(shù)函數(shù)和表格繪制點(diǎn)圖的功能。

二是統(tǒng)計(jì)數(shù)值試驗(yàn)的必要性。為了提高課堂效率，可以讓學(xué)生在程序輔助下進(jìn)行模擬試驗(yàn)，直觀感受統(tǒng)計(jì)方法抽象的過程，便于理解概念。也鼓勵學(xué)生使用各類已開發(fā)的網(wǎng)頁小程序，還原試驗(yàn)，快速獲取大量數(shù)據(jù)，如本節(jié)課中使用了對置信水平討論的網(wǎng)頁數(shù)值試驗(yàn)。

三是設(shè)計(jì)和編寫要求。建議教師找到熟悉的程序平臺來設(shè)計(jì)和編寫相應(yīng)的程序。比如，本節(jié)課置信區(qū)間理論的分析部分，為了實(shí)現(xiàn)對區(qū)間的連續(xù)性變化的分析，教師利用Desmos設(shè)計(jì)了正態(tài)分布曲線和對應(yīng)的含參區(qū)間。■