一類小車倒立擺的起擺穩(wěn)擺時滯控制研究*

馮欣煒 胥奇? 楊正兵 李映輝

(1.西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院,成都 610031) (2.中國航發(fā) 四川燃氣渦輪研究院,成都 610500)

引言

倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單,同時又具有強耦合、強非線性和開環(huán)不穩(wěn)定等特點,是控制理論和實驗研究的理想平臺.含倒立擺原理的系統(tǒng)十分常見,以四軸飛行器為例,孔凡國等[1]將該飛行器從三維空間簡化為二維平面內(nèi)的倒立擺模型,從而降低了研究難度.火箭在上升階段對俯仰角的控制也可以抽象為傳統(tǒng)倒立擺的穩(wěn)定控制[2,3]:Gomez等人[2]用含復(fù)雜氣動力的倒立擺模型對無尾翼火箭進行建模,并提出了其主動導(dǎo)航策略;羅軼欣等[3]根據(jù)倒立擺模型搭建了三維火箭穩(wěn)定控制平臺.Tanaka等[4]將輪式機器人簡化為輪式倒立擺模型,并在簡化后倒立擺模型的頂部安裝控制力矩陀螺,進一步研究機器人的姿態(tài)穩(wěn)定控制.以上這些實例均為含倒立擺原理的模型,將這些模型簡化為倒立擺系統(tǒng)后更便于檢驗控制律、優(yōu)化分析等.

小車倒立擺系統(tǒng)通過小車控制倒立擺的運動,其控制方式主要包括起擺控制和穩(wěn)擺控制兩種[5].起擺控制通常使用基于能量的控制律[6],即通過對擺桿的能量控制來起擺.但純能量控制策略可能導(dǎo)致小車位移過大,因此需進一步優(yōu)化,比如:通過引入小車位移極限來滿足系統(tǒng)對小車位移的限制[7];利用自激原理改進的能量法[8]能夠快速積蓄動能,不僅能在極少的擺動周期內(nèi)實現(xiàn)擺起,還能用力矩很小的電機完成大負載倒立擺系統(tǒng)的擺起.穩(wěn)擺控制可以使用經(jīng)典的PID控制或最優(yōu)二次型控制等等.針對PID控制使用試湊法調(diào)試參數(shù)的缺點,可通過遺傳算法等來整定PID參數(shù)[9],進而優(yōu)化控制效果.

在工程領(lǐng)域的主動控制技術(shù)中不可避免地存在時滯現(xiàn)象,例如信號經(jīng)過低通濾波器后存在延時,這種特性稱為濾波器的群時延[10].為了減少時滯對控制的影響,需要將時滯引入控制律中進行考慮.劉建均等[11]在汽車懸架系統(tǒng)中引入時滯加速度反饋控制,通過粒子群優(yōu)化算法得到了不同路面激勵頻率下的最優(yōu)時滯,以改善汽車的隔振性能.姚遠等[12]在研究列車轉(zhuǎn)向架控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性時也考慮了時滯的影響,發(fā)現(xiàn)列車在高速運行情況下,在一定范圍內(nèi)增加時滯可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性,但較大時滯導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn),文章同時提出了一種反饋附加振子的方法來減小時滯的影響.在針對輪式倒立擺的穩(wěn)擺運動研究中,若以單個加速度計為傳感器,則時滯P控制和時滯PD控制都無法使得系統(tǒng)穩(wěn)定,但通過附加阻尼裝置,穩(wěn)擺運動在包含控制時滯的情況下得到控制[13].在實踐中,實際控制器的時滯量可能會存在波動變化.比如,由于傳感器的采樣時間和時滯是時變的,Fritjof等[14]設(shè)計了一種測量系統(tǒng)偏差更新方法,使得在時滯和采樣時間是時變的情況下仍可以提供穩(wěn)定的過程估計,但該方法僅在時滯小于或等于采樣時間時才成立.陳曉昊[15]在研究磁浮系統(tǒng)的時滯控制時,考慮真實條件下時滯不是定值,并通過試驗得知了時滯大小在0.015～0.020s之間,據(jù)此研究了控制器波動時滯對磁浮系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.趙遠征[16]研究了車載伺服系統(tǒng)時滯波動τ±30時控制器的效果變化,并發(fā)現(xiàn)分數(shù)階PD控制器相比整數(shù)階PID控制器有更強的魯棒性.Insperger[17]研究了車削過程狀態(tài)相關(guān)時滯模型的非線性動力學(xué)特性,該模型考慮的時滯與系統(tǒng)狀態(tài),不僅取決于工件的旋轉(zhuǎn),還受到刀具振動的影響.Stepan等將零階保持的數(shù)字控制系統(tǒng)等效為具有時變時滯的連續(xù)系統(tǒng),進而使用半離散化方法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和非線性動力學(xué)進行研究[18,19].Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)也被用于處理時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,比如自由權(quán)方法[20],轉(zhuǎn)化為區(qū)間時變時滯法系統(tǒng)進行研究[21],等等,這些工作相當(dāng)一部分致力于降低結(jié)果的保守性.綜上可見,考慮控制系統(tǒng)中的時滯是有必要的,不僅可以厘清時滯的不利影響,還可能利用時滯,實現(xiàn)更好的控制效果,進行相關(guān)研究.

小車倒立擺從起擺控制到穩(wěn)擺控制的過程,涉及控制律的切換.切換系統(tǒng)是由一系列的連續(xù)或離散的子系統(tǒng)以及協(xié)調(diào)這些子系統(tǒng)之間的切換規(guī)則組成的混合系統(tǒng).切換時滯系統(tǒng)是結(jié)合時滯和切換信號提出的一種特殊的切換系統(tǒng),其模型比一般切換系統(tǒng)更加復(fù)雜[22].共同Lyapunov泛函方法[23]是早期學(xué)者研究切換時滯系統(tǒng)在切換信號下是否穩(wěn)定的方法,所有子系統(tǒng)共享一個公共的Lyapunov泛函,但沒有考慮各個子系統(tǒng)的特殊性是它的局限;后續(xù)的切換Lyapunov泛函方法則考慮了每個子系統(tǒng)的特殊性,Daafouz等[24,25]就利用切換Lyapunov泛函方法及相關(guān)理論研究了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制問題.李志成[26]用一種模型轉(zhuǎn)化方法,將切換時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成首尾相連的輸入輸出系統(tǒng),通過新的Lyapunov函數(shù)輔助輸入輸出方法,研究切換時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性,其還利用輸入輸出方法研究了具有部分轉(zhuǎn)移概率已知的時變時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[27].Sun等[28]研究了切換時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和增益分析問題.Zhang等[29]討論了離散切換時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題.值得注意的是,當(dāng)前針對切換時滯系統(tǒng)的研究中,主要集中于探究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而鮮有關(guān)于瞬態(tài)時域性能的研究工作.在小車倒立擺的控制中,小車的擺幅大小是典型的瞬態(tài)響應(yīng).過大的小車擺幅受限于系統(tǒng)空間限制可能難以實現(xiàn),同時也會消耗過多的控制能量.因此,研究小車倒立擺的起擺和穩(wěn)擺的切換控制,也應(yīng)該關(guān)注時滯對于瞬態(tài)時域性能的影響.

本文以一級小車倒立擺系統(tǒng)為研究對象,使用時滯能量起擺控制和時滯串級PD控制分別對系統(tǒng)進行起擺和穩(wěn)擺控制,同時研究了兩種控制在切換過程中時滯的影響.本文所研究控制器中均為常時滯,并不考慮控制器中時滯量的波動變化.在研究過程中,提出了一種簡化方法,以分析時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性以及瞬態(tài)時域性能的影響;同時,將時滯作為優(yōu)化參數(shù),發(fā)現(xiàn)考慮系統(tǒng)時滯的控制律,可以實現(xiàn)比無時滯控制更好的控制效果.本文的研究成果可為類似系統(tǒng)的時滯控制研究提供理論參考.

1 系統(tǒng)的切換控制模型

1.1 系統(tǒng)模型

圖1 小車倒立擺系統(tǒng)的模型示意圖Fig.1 Model diagram of trolley inverted pendulum system

倒立擺的系統(tǒng)模型如圖1所示,其結(jié)構(gòu)參數(shù)等由表1給出.由Lagrange方程法[30],可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)模型為:

(1a)

(1b)

其中x為小車位移、φ為擺桿與豎直向上方向的夾角角度,u為控制力.

初始狀態(tài)下,倒立擺位于垂直向下的角度,即φ=-π.本文通過控制力u控制小車的運動,先使用起擺控制律將倒立擺擺起,再切換至穩(wěn)擺控制律,使倒立擺穩(wěn)定在垂直向上的角度.整個控制過程應(yīng)當(dāng)盡可能使小車位移小、穩(wěn)擺時間短.

表1 小車倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置

1.2 起擺控制

我們考慮含時滯的能量控制律來進行起擺控制,參考文獻[31]中的控制律,其中控制律的能量描述主要是基于擺桿的機械能.

設(shè)擺桿在自然下垂的狀態(tài)下重力勢能為-2mgl,在擺桿豎直向上穩(wěn)定時重力勢能為0.擺桿在轉(zhuǎn)動時,機械能為

(2)

考慮到軌道長度的限制,小車的速度最終應(yīng)收斂到零.將Lyapunov函數(shù)設(shè)置為

(3)

(4)

并根據(jù)式(1b),可得

(5)

本文直接根據(jù)文獻[32]構(gòu)造控制律:

(6)

本文考慮狀態(tài)變量具有時滯,對式(6)進行處理,最終得到時滯起擺控制律為:

(7)

其中k、α、β、η均為可調(diào)參數(shù),且α、β的量綱分別為ML2、ML2T-2,本文中取α=0.0042、β=0.49,將k和η作為主要控制參數(shù).

1.3 穩(wěn)擺控制

當(dāng)?shù)沽[擺起到一定角度后,控制律切換為穩(wěn)擺控制律.在穩(wěn)擺階段,擺桿晃動幅度較小,可以使用線性控制方法.在此平衡點φ=0處對系統(tǒng)方程(1a)、(1b)進行線性化處理,可得:

(8)

后續(xù)使用時滯串級PD控制來對擺桿角度和小車位移進行控制,控制流程如下圖:

圖2 串級PD控制示意圖Fig.2 Schematic diagram of cascade PD control

其中Φ(s)、X(s)、U(s)分別為φ、x、u的拉氏變換.

在該控制下,系統(tǒng)所受控制力即:

(9)

式(9)中Kp1、Kd1、Kp2、Kd2為分別為角度、角速度、小車位置、小車速度偏差增益.

在串級PD控制中引入時滯τ,可得時滯串級PD控制:

(10)

2 起擺時滯的影響分析

本節(jié)探究時滯對起擺控制時系統(tǒng)能量的影響.我們研究擺桿一個周期內(nèi)的運動狀態(tài)的變化.其中,擺桿運動的一個周期定義為,擺桿從豎直向下且負方向擺動開始,并再次回到豎直方向且角速度方向同樣為負的狀態(tài).探究此時時滯的影響.

Lyapunov函數(shù)(3)主要與能量有關(guān),本文從該函數(shù)入手,并研究Lyapunov函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)(5).起擺控制律依據(jù)式(5)括號內(nèi)的式子,類似于起擺控制中引入時滯,在式(5)括號內(nèi)式子中也引入時滯,可以得到

(11)

式(11)是一個復(fù)雜的非線性方程,難以進行有效分析.為簡化分析,我們對系統(tǒng)每次由負方向運動至φ=-π時的情況進行分析.此時有φ(t)=-π,由于時滯很小,也近似認為φ(t-τ)=-π.同時,考慮時滯很小,對式(11)做關(guān)于時滯的一階泰勒展開.可得

(12)

其中

(13)

對于無時滯系統(tǒng),有A<0,當(dāng)時滯很小時,可以得到:(a)若B>0,則引入時滯會令式(12)的系統(tǒng)的能量變化變慢;(b)若B<0,則引入時滯會令式(12)的系統(tǒng)的能量變化變快.需要注意的是,以時滯為小量進行泰勒展開,需要考慮研究問題的特性,比如將時滯微分方程泰勒展開為常微分方程以進行穩(wěn)定性分析,往往是不可取的.同時,上式分析的是擺桿豎直向下時刻的能量變化速度,該規(guī)律是否適用于整個周期的運動,我們可以使用數(shù)值方法進行驗證,或者多選取一些特殊位置進行類似分析.

(14)

(15)

可見此時時滯的效果與第一個周期時相同.

(16)

(17)

圖3給出了前幾個周期內(nèi)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)(3)的結(jié)果.可以發(fā)現(xiàn),在前兩個周期,帶有時滯系統(tǒng)的能量明顯比無時滯系統(tǒng)的能量變化地慢.再研究前幾個周期內(nèi)經(jīng)處理的Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)(12)的變化,此時只利用無時滯系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù),將三種時滯代入式(12)中,結(jié)果于圖4可見.圖4中在2.5s后雖有部分數(shù)值會大于0,但此時擺桿已基本擺起,可以順利切換到穩(wěn)擺控制,因此可以認為起擺控制律總體上是有效的.在3s之前,圖4主要有三個峰值,后兩個峰值處含時滯系統(tǒng)的能量變化速度(幅值)要明顯小于無時滯系統(tǒng)的能量變化速度.這使得時滯系統(tǒng)的擺桿到達切換控制處時,角速度會比無時滯情況下要小,進而令后續(xù)的穩(wěn)擺控制也能更快穩(wěn)定.但在時滯較大時,起擺過程中擺桿則會出現(xiàn)明顯的滯后,所以要選擇合適的時滯來優(yōu)化起擺.

圖3 不同時滯下的Lyapunov函數(shù)Fig.3 Lyapunov function with different time delays

圖4 不同時滯下的Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)Fig.4 Derivative of Lyapunov function with different time delays

3 穩(wěn)擺時滯的影響分析

3.1 系統(tǒng)特征函數(shù)

穩(wěn)擺過程擺桿晃動角度較小,因此可以使用線性方法,通過分析受控系統(tǒng)的最大實部特征根的位置,來討論控制效果.將控制律(10)代入式(8),并進行拉普拉斯變換,可得

(M+m)X(s)s2+bX(s)s-mlΦ(s)s2=

-Kp1Φ(s)e-sτ-Kd1Φ(s)se-sτ-Kp2X(s)e-sτ-

Kd2X(s)se-sτ(I+ml2)Φ(s)s2-mglΦ(s)=

mlX(s)s2

(18)

由式(18)可得:

(19)

(20)

將式(20)中的替換為λ,并由|L|=0,可得系統(tǒng)的特征方程

f(λ;τ):=[(M+m)(I+ml2)-m2l2]λ4+

[(I+ml2)(b+Kd2e-λτ)+Kd1mle-λτ]λ3+

[Kp1mle-λτ+(I+ml2)Kp2e-λτ-(M+m)mgl]λ2+

[-mgl(Kd2e-λτ+b)]λ-mglKp2e-λτ=0

(21)

3.2 特征根計算

為研究時滯對于特征根λ(τ)的影響,我們采用數(shù)值算法[32],通過隱式微分求解由f(λ;τ)=0得到的非線性常微分方程來得到λ(τ).該方程如下:

(22)

通過代入不同的初始條件λ(0),可以得到滿足f(λ;τ)=0的不同解支的λ(τ).

對于線性時滯系統(tǒng)而言,其特征根解支有無窮個,此處我們列出對系統(tǒng)響應(yīng)影響最大(即特征根實部最大)的兩個解支,如下圖5所示.這兩個解支可由特征方程的特征根-0.2068±1.3467i和-11.7423±9.3977i為初始條件得到.系統(tǒng)其他的特征根實部均非常小,對系統(tǒng)響應(yīng)的影響也很小,因此可以忽略.

圖5 特征根實部與時滯關(guān)系圖(為便于觀察最大實部特征根,圖(b)為圖(a)中縱軸靠近零處的放大)Fig.5 The relationship between real part of characteristic root and time delay (For the convenience of observing the maximum real part of characteristic root, Fig (b) shows the magnification of the vertical axis near zero in Fig(a))

計算結(jié)果于圖5可見,特征根λ1的實部在區(qū)間[0,0.05s]內(nèi),隨著時滯的變大先變小再變大,最終在τ=0.0462s處越過坐標(biāo)軸;特征根λ2的實部變化不大,并且始終沒有越過坐標(biāo)軸.于是可以得到時滯穩(wěn)定區(qū)間為[0,0.0462s].進一步地,由于最大實部特征根的實部在[0,0.045s]內(nèi)一直減小,甚至在時滯區(qū)間[0,0.021s]內(nèi)兩對根的實部均在變小,我們可以得出結(jié)論:系統(tǒng)在小時滯情況下,有時滯控制相較于無時滯控制效果理論上應(yīng)該更好.不過由于最大實部特征根的實部變小的程度較低,實際上有時滯控制相較于無時滯控制,在收斂速度上的區(qū)別并不明顯.從最優(yōu)的角度來說,根據(jù)文中圖5(b),系統(tǒng)的穩(wěn)擺時滯約0.045s時,最大實部特征根實部為負,且絕對值最大,故可以認為此時系統(tǒng)穩(wěn)定性最好,且擺角收斂最快;但考慮到系統(tǒng)魯棒性,若時滯值超過0.0462s,系統(tǒng)將會失穩(wěn),控制律會失效,因此0.045s的時滯從魯棒性角度來說不是較好選擇,實際時滯應(yīng)該取小于0.04s更為適宜.

后續(xù)用定積分判別法[33,34]來驗證其時滯穩(wěn)定區(qū)間.定積分判別法由輻角原理發(fā)展而來,計算相對簡便,且適用于含多個離散時滯的中立型或滯后型時滯微分方程的穩(wěn)定性分析.首先計算系統(tǒng)的特征函數(shù)f(λ;τ),利用式

(23)

將特征函數(shù)f(λ;τ)代入式(23)中,積分上限T取200(積分上限的臨界值可參考文獻[34]);R(·)為實部,n為特征函數(shù)最高次數(shù),對于該系統(tǒng)n=4,為取整函數(shù).代入時滯進行計算,計算結(jié)果若,則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;若N>0,系統(tǒng)不穩(wěn)定.將相關(guān)的參數(shù)代入式(23)中,通過計算,可得到不穩(wěn)定根個數(shù)與時滯的關(guān)系,于圖6可見.

圖6 不穩(wěn)定根個數(shù)與時滯的關(guān)系圖Fig.6 Diagram of the relationship between the number of unstable rootsand the time delay

系統(tǒng)特征方程的解的不穩(wěn)定根個數(shù)為零時,此時系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定,即圖6的N=0的部分,在該時滯范圍之內(nèi),系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.取N=0時最右端的點,可以得到該點的坐標(biāo)為(0.046,0).因此,在時滯范圍[0,0.046s]內(nèi),該系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定.與圖5得到的時滯穩(wěn)定區(qū)間[0,0.0462s]可以相驗證.

4 時滯的綜合影響

(24)

(25)

仿真結(jié)果見圖7到圖10.

由圖7到圖10可知,三種時滯都可以使得系統(tǒng)實現(xiàn)起擺到穩(wěn)擺的控制,但是控制過程中系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有較大區(qū)別,尤其是小車的運動范圍在穩(wěn)擺階段的差異尤其明顯.進一步地,三種時滯情況下擺桿到達平衡位置的時間以及擺桿的角速度相差無幾,但在τ=0.02s、τ=0.03s的情況下,穩(wěn)擺階段小車的運動范圍以及速度幅值均要比零時滯時更小,且τ=0.03s時小車的運動范圍最小.由前面的分析可知,雖然穩(wěn)擺階段小車運動范圍差異最大,但其原因?qū)嵸|(zhì)是因為時滯對起擺階段的影響不同,使得切換后,穩(wěn)擺階段擺桿的初始角速度在有時滯時,比無時滯情況下要小.因此,綜合兩階段時滯對擺桿和小車的影響,我們認為對于該系統(tǒng),選取τ=0.03s可有效達到優(yōu)化控制效果的作用.考慮到實踐中控制器已存在一定的時滯,若該時滯比需要的時滯τ=0.03s還低,則可以通過在控制律中人為引入時滯來改善控制效果;若控制器里時滯比需要的時滯τ=0.03s高,則需要通過改善硬件、時滯補償?shù)确椒▉斫档蜁r滯.

圖7 倒立擺角度與時間關(guān)系Fig.7 Relationship between angle of pendulum and time

圖8 倒立擺角速度與時間關(guān)系圖Fig.8 Relationship between angular velocity of pendulum and time

圖9 小車位移與時間關(guān)系圖Fig.9 Relationship between displacement of trolley and time

圖10 小車速度與時間關(guān)系圖Fig.10 Relationship between speed of trolley and time

另外,本文尚未綜合考慮起擺穩(wěn)擺控制下的時滯最優(yōu)解問題,由于起擺控制和穩(wěn)擺控制的優(yōu)化目標(biāo)不同,故穩(wěn)擺控制的最優(yōu)時滯也并非最優(yōu)的起擺時滯.綜合控制下的最優(yōu)時滯,需要根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)確定各指標(biāo)的權(quán)重,并結(jié)合多參數(shù)最優(yōu)方法進行分析.本文在滿足一定魯棒性的基礎(chǔ)上,在0,0.02s,0.03s三種工況中選取了時滯影響較好的情況,而對于最優(yōu)時滯還有待進一步研究.

5 結(jié)論

本文對一級小車倒立擺進行起擺和穩(wěn)擺控制,并研究了時滯控制效果的影響,包括系統(tǒng)的瞬態(tài)時域特性和穩(wěn)定性.其中,提出了一種簡化方法,使用線性時滯表達式,對特定運動時刻的Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)進行近似,證明了時滯可以優(yōu)化非線性起擺控制階段的能量輸入;同時使用定積分法分析了穩(wěn)擺的穩(wěn)定性.研究表明,在小時滯的情況下,由于時滯能有效減小系統(tǒng)擺桿在切換時刻的動能,增大時滯使得小車的往返運動幅值也會明顯變小.在穩(wěn)擺階段,隨時滯增大,系統(tǒng)的穩(wěn)定性先是增強,而后減弱直至失穩(wěn).因此,對于小車倒立擺系統(tǒng)引入適當(dāng)?shù)臅r滯控制,可以同時實現(xiàn)優(yōu)化瞬態(tài)時域特性和穩(wěn)定性的效果.