“圖式表達” 促進小學生數(shù)學概念學習的實踐研究

作者簡介：宋云翔（1975一），男，江蘇省南通海門紅軍小學。

圖式表達是指通過視覺化表征（如圖表、符號）將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)化認知框架，幫助學生整合信息，建立具體經(jīng)驗與抽象概念間的聯(lián)結(jié)，促進深度理解與遷移應(yīng)用。認知心理學研究表明，圖式表達作為知識組織的心理工具，能通過視覺化表征促進信息的整合與意義建構(gòu)[1]。因此，立足課堂實踐，探索圖式表達工具在概念教學中的應(yīng)用路徑，可以搭建符合學生認知規(guī)律的學習支架，破解概念理解難題，為學生的數(shù)學思維發(fā)展提供參考。

一、圖式直觀呈現(xiàn)，助力概念理解

數(shù)學概念的形成始于具體經(jīng)驗的抽象化，而小學生的思維特點決定了其認知過程需要依賴直觀載體的支撐。認知發(fā)展理論指出，兒童在具體運算階段對事物的理解需通過實物操作與感官體驗實現(xiàn)。圖式直觀呈現(xiàn)正是基于這一認知規(guī)律，通過把抽象概念轉(zhuǎn)化為可視、可觸的圖形或模型，建立符號系統(tǒng)與具象經(jīng)驗之間的聯(lián)系。教師通過標準化工具的設(shè)計，可以確保學生在操作活動中產(chǎn)生的經(jīng)驗與數(shù)學概念的本質(zhì)屬性相對應(yīng)，從而為后續(xù)的概念深化做鋪墊。

以“認識平面圖形”教學為例，教師先引導學生初步認識各種平面圖形的名稱，接著讓學生拿出長方形、正方形、三角形、圓形卡紙，請他們用手摸一摸圖形邊緣，描述觸感，如“光滑”“有棱角”等。隨后，教師拿出釘子板和彩色橡皮筋，向?qū)W生說明操作要求：用兩種顏色的橡皮筋，分別圍出有三個尖角和四個尖角的圖形。學生在釘板上操作時，發(fā)現(xiàn)三角形需要連接三個釘子，而長方形或正方形必須選擇橫向間距和縱向間距均相等的四個釘子。學生嘗試圍圓形時，卻總覺得不太像，教師抓住這一現(xiàn)象，引導學生觀察圓形卡紙，不斷修正認知。之后，教師提出進階任務(wù)：用黃色橡皮筋圍出上下兩邊釘子數(shù)相同的四邊形。通過調(diào)整左右兩列的釘子數(shù)量，多數(shù)學生圍出了長方形和正方形，也有學生圍出了平行四邊形?；诖耍處熞龑W生比較平行四邊形與長方形的邊角關(guān)系（如圖1所示）：上下兩排釘子數(shù)量相同，左右兩列間距相等嗎？學生通過數(shù)格子，確定長方形的左右兩列一樣，但對平行四邊形有不同的看法。仔細觀察后，學生確認平行四邊形左右斜著的兩列也一樣長。另外，教師還讓學生先用綠色橡皮筋圍兩個三角形，再連接兩個三角形的頂點，組合成四邊形，并討論尖角數(shù)量的變化。最后，教師匯總學生作品，并投影展示，強化學生認知。

由以上案例可知，圖式表達能有效降低概念理解的難度。觸覺操作與視覺表征的結(jié)合，使抽象特征轉(zhuǎn)化為可感知的具體經(jīng)驗，這種轉(zhuǎn)化過程強化了概念原型的穩(wěn)定性[2]。

二、圖式解析難點，促進概念記憶

復合型數(shù)學概念往往包含多重屬性和嵌套關(guān)系，這對認知發(fā)展尚不完善的小學生來說理解難度較大。采用分層圖式解構(gòu)方法，可以把復雜的概念拆解為相互關(guān)聯(lián)的認知模塊。流程圖與思維導圖的組合應(yīng)用，能直觀展現(xiàn)概念要素間的邏輯層級，符合信息加工理論中的組塊化處理機制，有助于學生建立長時記憶。認知心理學研究證實，圖式解析過程能有效激活大腦的語義網(wǎng)絡(luò)，促進新舊知識的深度聯(lián)結(jié)。

以“乘法分配律”教學為例，為了加深學生對知識的理解，教師讓他們拿出 8×5 的方格圖紙，并提問：如果把這個大長方形切成兩部分，有多少種分法？學生提出橫向切割、縱向切割、斜線切割等方案。選定縱向分割方案后，教師先讓學生用紅筆畫出分割線（如圖2所示），再讓他們列出算式表示格子的總數(shù)，如 8×5=40 、 5×5+5×3=40 、（5+3）×5=40 等，并解釋這些算式表示的意思。有的學生說方格圖橫有5行，豎有8列， 8×5=40 就表示總的格子數(shù)；有的學生說 5×5 表示紅線左側(cè)的區(qū)域，5×3 表示紅線右側(cè)的區(qū)域，合起來就是所有格子的數(shù)量；有的學生指出，因為方格圖被紅線分成了兩部分， 5+3 表示左右兩邊格子的列數(shù)，再乘5就表示格子總數(shù)；還有的學生指出，從方格圖和計算結(jié)果可以看出（5+3） ×5=5×5+3×5 ，從而可得出乘法分配律的字母表達式（ a+b ） x_c-a×c+b×c 。之后，教師讓學生借助方格圖，與同桌一起探討并標出公式中a、b、c的對應(yīng)部分，理解“整體等于部分之和”。教師通過可視化的面積切割與重組，使抽象的運算定律轉(zhuǎn)化為可操作的圖形變換過程，有效加深了學生對乘法分配律本質(zhì)的理解。

由以上案例可知，概念解析圖式的應(yīng)用可以提升學生的問題解析能力。當學生面對新概念時，若能主動進行要素拆分，則表明他們已形成有效的學習策略。值得注意的是，圖式分解的維度選擇直接影響概念理解的準確性[3]。教師應(yīng)依據(jù)概念的本質(zhì)屬性確定分解標準，確保各模塊既保持獨立性，又體現(xiàn)整體關(guān)聯(lián)性。

三、圖式對比辨析，明確概念界限

對比圖式的構(gòu)建能夠突出相似概念的本質(zhì)區(qū)別，把容易混淆的概念進行矩陣式排列對比，可形成鮮明的認知沖突，有效激發(fā)學生的深度辨析意識[4]。教學實踐顯示，經(jīng)過系統(tǒng)對比訓練的學生，在概念應(yīng)用中具有更強的鑒別能力，他們的錯誤類型從本質(zhì)性誤解轉(zhuǎn)變?yōu)椴僮餍允д`。

以“解決面積問題”教學為例，教師在方格紙（小方格邊長為1厘米）上畫五個圖形，分別是正方形、長方形、L形、十字形和不規(guī)則多邊形。學生先用紅筆沿圖形的邊緣描畫，理解周長的概念并得出周長的具體量；再用藍筆填涂圖形的內(nèi)部，感受面積的大小并通過數(shù)方格計算面積。學生分組操作時，發(fā)現(xiàn)L形卡片的周長是10厘米，面積是4平方厘米，而等面積的正方形周長是8厘米。接著，教師讓學生用6個邊長是1厘米的小正方形拼圖（如圖3所示），記錄不同圖形的周長。通過數(shù)據(jù)對比，學生歸納出“面積相等時，小正方形重合的邊越多，周長就越小”的規(guī)律。在實踐應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師提出問題用24米籬笆圍菜地，怎樣圍出最大種植面積？學生用細線模擬籬笆發(fā)現(xiàn)：當長、寬分別為6米和6米時，面積為36平方米；若長、寬改為11米和1米，面積僅11平方米。教師引導學生觀察形狀變化對面積的影響，最終學生總結(jié)出“周長固定時，形狀越接近正方形，面積越大”的結(jié)論。通過實物測量、數(shù)據(jù)記錄和圖形分析，學生能夠區(qū)分周長與面積的本質(zhì)差異。

由以上案例可知，對比圖式的應(yīng)用有助于學生理解概念之間的差異。但教師應(yīng)警惕對比過程中可能產(chǎn)生的過度簡化傾向，需在辨析差異的同時強調(diào)概念間的內(nèi)在聯(lián)系[5]。

四、圖式應(yīng)用實踐，強化概念掌握

問題解決型圖式框架通常包含條件識別、策略選擇、步驟實施等模塊，能夠把靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的操作。過程性圖式的應(yīng)用訓練可以促進陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化，提升學生的實際應(yīng)用能力。

以“復式折線統(tǒng)計圖”教學為例，教師聯(lián)系當?shù)貧庀缶肢@取近三年月平均溫度數(shù)據(jù)，整理成Excel表格。課堂伊始，學生觀看包含溫度變化曲線的科普視，觀察氣象學家如何分析數(shù)據(jù)趨勢。實踐操作階段，教師讓學生根據(jù)去年的數(shù)據(jù)在坐標紙上描點，并用直尺連接成折線，重點標注三月（ 10% ）至四月（ 18°C ）的陡升線段。對比分析環(huán)節(jié)，教師提供南北校區(qū)溫度數(shù)據(jù)，學生用紅色筆（北校）和藍色筆（南校）畫復式折線圖，發(fā)現(xiàn)向陽的南校折線夏季峰值較高，冬季波谷較淺。在拓展任務(wù)中，學生疊加畫出前年同期折線，用不同顏色標注，觀察到去年折線整體上移 2^°C 。教師指導學生計算近三年季度平均溫度，用虛線畫在圖上。應(yīng)用遷移階段，學生根據(jù)折線趨勢預測六月溫度，結(jié)合植物生長所需的溫度范圍，為班級種植角推薦茄子、辣椒等耐熱作物。最后，教師展示超市銷售數(shù)據(jù)折線圖，引導學生分析節(jié)假日對銷售額的影響。這種將真實數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為可視化圖形的實踐過程，有助于學生深入理解統(tǒng)計圖的實際應(yīng)用價值。

由以上案例可知，應(yīng)用型圖式的使用能夠培育學生的策略性思維。學生若能夠根據(jù)問題情境進行圖式結(jié)構(gòu)的調(diào)整，則表明他們已經(jīng)具備知識應(yīng)用能力。在教學過程中，教師要注意保持圖式的開放性與適應(yīng)性，避免學生形成機械套用的思維定式。同時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)多樣化的問題情境，引導學生在標準圖式的基礎(chǔ)上合理變通，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

五、圖式創(chuàng)新設(shè)計，拓展概念應(yīng)用

在知識快速迭代的教育背景下，概念重構(gòu)能力的重要性日益凸顯。創(chuàng)新圖式設(shè)計任務(wù)要求學生突破教材的既定框架，通過要素重組建立新的認知模型，拓展概念應(yīng)用。

以“表面積的認識”教學為例，教師讓學生用剪刀沿棱線拆解正方體廢棄藥盒，但不能全部剪斷以保持展開圖的完整性。學生操作后，把展開圖平鋪在桌上，教師收集學生作品并展示。半數(shù)以上學生的展開圖是“141”型，近三分之一學生的展開圖是“132”型，少數(shù)作品呈現(xiàn)為其他類型（如圖4所示）。教師引導學生觀察、討論，發(fā)現(xiàn)了“相對面總是隔一行或一列”的規(guī)律。教師讓學生用空白卡紙設(shè)計非對稱展開圖。有學生嘗試把兩個正方形錯位排列，但在折疊時發(fā)現(xiàn)無法形成閉合立方體；另一個學生設(shè)計“Z”字形連接，但因缺少連接邊導致結(jié)構(gòu)松散。通過試錯，學生總結(jié)出有效展開圖需滿足三個條件：六個正方形全連接；每個正方形至少有一條鄰邊；無交叉重疊。隨后，教師讓學生設(shè)計長方體的三種不同展開圖，初步感知展開圖樣式不影響表面積的大小。這種從拆解、觀察到創(chuàng)新設(shè)計的過程有效提升了學生的空間想象能力。

由以上案例可知，圖式創(chuàng)新不僅是教學手段的創(chuàng)新，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的有效途徑。當學生能夠自主設(shè)計個性化圖式表達概念時，說明他們的思維已突破復制性學習階段。教師應(yīng)建立具有多維標準的評價體系，既關(guān)注圖式的嚴謹性，也重視其創(chuàng)新價值。

結(jié)語

綜上所述，數(shù)學概念教學的本質(zhì)在于幫助學生從具象感知跨越到抽象思維。通過系統(tǒng)化圖式表達策略，驗證了可視化工具在降低認知難度、強化概念關(guān)聯(lián)方面的效果。結(jié)構(gòu)化圖式直觀呈現(xiàn)概念內(nèi)核，動態(tài)對比設(shè)計明確概念差異，主題化應(yīng)用任務(wù)推動知識遷移，這些實踐路徑共同構(gòu)建了多維度的概念學習支持體系。研究表明，恰當應(yīng)用圖式工具不僅能提升概念教學效率，還有助于培養(yǎng)學生自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的能力。今后，可進一步探索圖式元素的標準化設(shè)計，開發(fā)分層級圖式資源庫，以滿足不同認知水平學生的學習需求。

[參考文獻]

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