素養(yǎng)導(dǎo)向下學(xué)生代數(shù)思維培育的不同視角分析與實(shí)施路徑

當(dāng)前，在小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)生代數(shù)思維培育呈現(xiàn)以下問(wèn)題：第一，小學(xué)階段算術(shù)思維對(duì)學(xué)生的影響較大，學(xué)生要實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越比較困難。第二，不同層次的學(xué)生顯現(xiàn)出的代數(shù)思維水平具有差異性，但總體的代數(shù)思維水平處于低層次、弱結(jié)構(gòu)狀態(tài)。第三，越是代數(shù)思維水平層次高的學(xué)生，隨著年級(jí)的升高，他們的抽象概括能力越強(qiáng)，能夠選用恰當(dāng)?shù)淖帜富蚍?hào)進(jìn)行表征的方式越豐富。第四，部分教師忽視對(duì)學(xué)生進(jìn)行代數(shù)思維的早期滲透和孕伏，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中很少有機(jī)會(huì)體會(huì)代數(shù)思維，后續(xù)出現(xiàn)初中代數(shù)學(xué)習(xí)的思維斷層和無(wú)銜接狀態(tài)?；诖?，筆者從三個(gè)視角對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)思維培育情況進(jìn)行分析，并提出了代數(shù)思維培養(yǎng)的實(shí)施路徑。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)思維培育情況的不同視角分析

（一）從代數(shù)歷史發(fā)展視角解析

東北師范大學(xué)史寧中教授指出，代數(shù)學(xué)的發(fā)展大致經(jīng)歷三個(gè)主要階段：第一個(gè)階段，修辭代數(shù)階段。公元三世紀(jì)之前，也就是丟番圖以前的時(shí)期，完全用文字語(yǔ)言描述求解特定的問(wèn)題，沒(méi)有出現(xiàn)符號(hào)表示未知量。第二個(gè)階段，省略代數(shù)階段。由丟番圖首次引進(jìn)字母代表常出現(xiàn)的量和運(yùn)算，簡(jiǎn)化文字表達(dá)的內(nèi)容和過(guò)程，但這一時(shí)期仍然是算術(shù)思維。第三個(gè)階段，符號(hào)代數(shù)階段。被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)之父\"的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)首次系統(tǒng)使用字母表示已知量、未知量，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，推動(dòng)代數(shù)學(xué)的重大進(jìn)步，這才是代數(shù)學(xué)研究的真正開(kāi)始。由此可以看出，從修辭代數(shù)到符號(hào)代數(shù)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的演變歷程。所以，小學(xué)生要從對(duì)算術(shù)中具體數(shù)的操作思考轉(zhuǎn)變成對(duì)代數(shù)中符號(hào)的認(rèn)識(shí)思考，但這具有一定的挑戰(zhàn)和困難。

（二）從課程內(nèi)容編排視角研析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”在“數(shù)與代數(shù)\"領(lǐng)域調(diào)整了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中培養(yǎng)代數(shù)思維的內(nèi)容載體，將方程、反比例等內(nèi)容后移到初中部分，分學(xué)段提出了代數(shù)思維培育的具體教學(xué)要求（見(jiàn)表1）。

（三）從兒童認(rèn)知心理發(fā)展剖析

算術(shù)思維的主要對(duì)象是數(shù)及其運(yùn)算，它是由程序思維來(lái)刻畫(huà)的，著重通過(guò)數(shù)的運(yùn)算得到一個(gè)具體的答案。而代數(shù)思維的主要對(duì)象除了數(shù)，還有更廣泛的基本對(duì)象，即符號(hào)及其運(yùn)算與變換。其本質(zhì)是關(guān)注整體結(jié)構(gòu)特征，對(duì)結(jié)構(gòu)或關(guān)系進(jìn)行描述分析與概括運(yùn)用，重在關(guān)系符號(hào)化的表達(dá)。學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過(guò)渡，需要從對(duì)具體的數(shù)學(xué)符號(hào)的思考理解進(jìn)行轉(zhuǎn)變，學(xué)生的思維層次要實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從特殊到一般、從程序到結(jié)構(gòu)的跨越。這對(duì)長(zhǎng)期運(yùn)用程序性、計(jì)算性思維方式解決問(wèn)題的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一次重大的挑戰(zhàn)與突破。

從課程內(nèi)容分段目標(biāo)要求來(lái)看，小學(xué)第三學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”主題中有關(guān)“字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)，標(biāo)志著代數(shù)思維的萌芽，字母是數(shù)的更高層次的抽象，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步從理性具體上升到理性一般的層級(jí)，這是學(xué)生后續(xù)第四學(xué)段初中代數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)?？梢?jiàn)，小學(xué)、初中在“用字母表示數(shù)\"這一課程內(nèi)容要求上加強(qiáng)了學(xué)段銜接，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性、連續(xù)性和進(jìn)階性。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有啟發(fā)學(xué)生代數(shù)思維的意識(shí)，明晰培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的路徑，進(jìn)而抓住代數(shù)思維啟蒙的關(guān)鍵點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變跨越。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)思維培育的實(shí)施路徑

（一）挖掘代數(shù)思維因子，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)模式

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于觀察、捕捉、識(shí)別算術(shù)中蘊(yùn)含的代數(shù)思維，養(yǎng)成用“代數(shù)的思維方式\"關(guān)注隱含的、更深層的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣。這既體現(xiàn)“算術(shù)的程序或步驟”，又呈現(xiàn)“代數(shù)的關(guān)系或結(jié)構(gòu)”。具體表現(xiàn)為：第一學(xué)段提前孕伏，第二學(xué)段滲透過(guò)渡，第三學(xué)段初步概括，做到整體梳理、分段滲透，將課程鏈前后連貫一致起來(lái)。例如，在一年級(jí)“認(rèn)數(shù)\"時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的填數(shù)問(wèn)題：請(qǐng)從5開(kāi)始，連續(xù)寫(xiě)出三個(gè)自然數(shù)。在學(xué)生填寫(xiě)的結(jié)果是5，6，7時(shí)，很多教師的教學(xué)到此為止了。顯然，這樣的學(xué)習(xí)僅停留在獲取某個(gè)結(jié)論或答案上，學(xué)生獲得的僅僅是認(rèn)數(shù)的程序性知識(shí)。教師應(yīng)深入挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)值推理過(guò)程，合理關(guān)注學(xué)生在數(shù)值推理過(guò)程中的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，從而了解學(xué)生所使用的推理策略和思維水平層次并有針對(duì)性地進(jìn)行長(zhǎng)期培養(yǎng)。教師可以通過(guò)“你能用不同的方式表示這三個(gè)數(shù)嗎？”這一核心問(wèn)題開(kāi)啟學(xué)生代數(shù)思維生長(zhǎng)的新起點(diǎn)，展示學(xué)生不同表示方式，如 5，5+1，5+2;7-27-1，7或 6-1，6，6+1 ，這些方式不僅表示出結(jié)果，更使他們看到了6，7這兩個(gè)數(shù)與5之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

在教學(xué)中，教師除了關(guān)注學(xué)生常規(guī)的算術(shù)思維外，還應(yīng)關(guān)注數(shù)里面隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，要能夠提取出關(guān)鍵的數(shù)字，著重思考這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)。這是探索數(shù)模式的重要載體，更是第一學(xué)段學(xué)生代數(shù)思維生長(zhǎng)的重要起點(diǎn)。

這個(gè)結(jié)構(gòu)模式隨著學(xué)生數(shù)的學(xué)習(xí)范疇的不斷擴(kuò)大，還可以進(jìn)一步一般化。例如，在認(rèn)識(shí)多位數(shù)489，490，491，492，493；認(rèn)識(shí)小數(shù)3.5，4，4.5；學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，5個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，中間數(shù)是 a ，其他數(shù)各是多少，它們的和是多少都具有相似的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)模式。所以，教師運(yùn)用整體視角清楚識(shí)別代數(shù)的核心思想，做好學(xué)段間的勾連銜接，能更好地為學(xué)生后續(xù)的初中代數(shù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（二）理解等號(hào)的雙重意義，聚焦關(guān)系思維

等號(hào)作為數(shù)學(xué)等價(jià)標(biāo)志的一個(gè)重要符號(hào)，是發(fā)展第一學(xué)段學(xué)生由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)化的一個(gè)關(guān)鍵因素。在以往的學(xué)習(xí)中，部分教師通常將等號(hào)描述為運(yùn)算的結(jié)果，而事實(shí)上，第一學(xué)段學(xué)生對(duì)等號(hào)的學(xué)習(xí)要理解并建構(gòu)其具有的雙重功能，等號(hào)象征著等式兩邊所表示的表達(dá)式或量相等。所以，等號(hào)的學(xué)習(xí)應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)它從連接運(yùn)算結(jié)果到標(biāo)志一種平衡關(guān)系再到表示等價(jià)關(guān)系，這種關(guān)系型意義的迭代升級(jí)是學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的逐級(jí)轉(zhuǎn)變，能促進(jìn)學(xué)生思維從“運(yùn)算性理解”向“關(guān)系性理解”發(fā)展，同時(shí)為初中深入學(xué)習(xí)方程和不等式奠定基礎(chǔ)。

理解“等號(hào)\"表示相等關(guān)系對(duì)一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)。所以，在教學(xué)中，教師要根據(jù)低年段學(xué)生的年齡特點(diǎn)，充分利用并創(chuàng)造平衡材料，在直觀學(xué)習(xí)工具的支持下，滲透等號(hào)的雙重意義，加深學(xué)生對(duì)等號(hào)等價(jià)意義的理解。例如，認(rèn)識(shí)等號(hào)時(shí)，教師可以布置任務(wù)：天平的左右兩邊放了一些積木，天平不平衡了，你能想辦法讓天平變平衡嗎？（如圖1）請(qǐng)用一個(gè)算式表示你的想法。

方法一：在天平右盤(pán)里增加2個(gè)方塊，天平就平衡了，算式是 3=1+2 。

方法二：在天平左盤(pán)里減少2個(gè)方塊，天平也平衡了，算式是 3-2=1 。

方法三：在天平左盤(pán)拿走1個(gè)方塊，在天平右盤(pán)增加1個(gè)方塊，天平也能平衡，算式是 3-1=1+1 。

方法四：在天平左盤(pán)增加1個(gè)方塊，在右盤(pán)增加3個(gè)方塊，天平也可以平衡，算式是 3+1=1+3 。

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)：只要右盤(pán)比左盤(pán)同時(shí)多放2個(gè)方塊，如 3+4=1+6 ，天平就可以平衡。

教學(xué)時(shí)，教師借助天平模型，通過(guò)直觀操作和深入辨析，幫助學(xué)生獲得“等價(jià)\"的直觀體驗(yàn)，打破學(xué)生固有的\"算式在左，結(jié)果在右，等號(hào)是表示結(jié)果輸出符號(hào)”的思維定式。在多次“變相等\"的挑戰(zhàn)性活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷從不相等到相等的充分體驗(yàn)，寫(xiě)出形如 a+b=c，c= a+b，a+b=c+d 等形式的等式，進(jìn)一步豐富對(duì)等號(hào)“基礎(chǔ)的關(guān)系型\"和“互相比較的關(guān)系型\"的認(rèn)識(shí)。借助天平這一學(xué)習(xí)載體，學(xué)生在具身體驗(yàn)過(guò)程中直觀感受、累積“相等的數(shù)才能構(gòu)成等式、兩邊總和相同才能構(gòu)成等式\"的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將是學(xué)生理解等號(hào)等價(jià)意義的重要啟蒙點(diǎn)和思維生長(zhǎng)點(diǎn)。

（三）關(guān)注算式結(jié)構(gòu)性質(zhì)，培養(yǎng)一般化思考

學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的。教學(xué)時(shí)，教師要在各個(gè)學(xué)段予以加強(qiáng)，特別要重視代數(shù)思維的早期孕育。將蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律一般化，是代數(shù)思維的核心。數(shù)學(xué)家卡帕特認(rèn)為，代數(shù)思維可以看作四種核心實(shí)踐，即對(duì)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與關(guān)系進(jìn)行一般化推廣、表示、論證與推理。教學(xué)時(shí)，教師要精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“一般化\"的過(guò)程，從而發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，算式的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)體現(xiàn)在各種運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)上，如學(xué)習(xí)“加法交換律\"時(shí)，依托現(xiàn)實(shí)情境得到一組加法算式特例： 25+32=57，32+25=57?25+32=32+25 。教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生照樣子仿寫(xiě)，在交流討論中初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律\"兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變”。在發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象、提出猜想的基礎(chǔ)上，教師引發(fā)學(xué)生深人思考“為什么交換加數(shù)的位置，和不變？\"引導(dǎo)學(xué)生借助生活事例來(lái)解釋說(shuō)明自己的發(fā)現(xiàn)，即“在把兩部分合成一個(gè)整體的過(guò)程中，雖然順序不同，但總和始終不變”（如圖2）。

學(xué)生圍繞關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)一步思考\"這個(gè)規(guī)律是不是總是成立？如果成立，該如何表達(dá)這個(gè)規(guī)律？”學(xué)生在自主多元表征的基礎(chǔ)上，歸納概括字母式 a+b=b+ α_a ，并將字母表達(dá)式與具體數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比，體會(huì)字母表示的一般性，即字母a，b可以用來(lái)表示任意兩個(gè)數(shù)。學(xué)生在“仿寫(xiě)算式一舉出實(shí)例一發(fā)現(xiàn)規(guī)律一表征論證一歸納概括”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分經(jīng)歷“事理”“算理\"兩重視角的解釋推理，經(jīng)歷加法交換律一般化的概括與表示，促進(jìn)思維水平從直觀具體到抽象符號(hào)化的躍升，滲透代數(shù)思維的培育。

（四）注重尋找模式表達(dá)，滲透函數(shù)思想

尋找模式表達(dá)是指通過(guò)讓學(xué)生觀察規(guī)律來(lái)培養(yǎng)他們的函數(shù)思想。尋找模式表達(dá)，滲透函數(shù)思想的內(nèi)容主要有第一、二學(xué)段中的\"整理加（減）法表\"“找規(guī)律”等，第三學(xué)段中的“看圖找關(guān)系”“正比例”等。函數(shù)思想其本質(zhì)是通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立，將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題關(guān)系簡(jiǎn)明化，同時(shí)抽象為明確的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系，深刻揭示事物動(dòng)態(tài)變化中的規(guī)律和不變性。小學(xué)階段的概念、公式、規(guī)律、數(shù)量關(guān)系中都蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想，通過(guò)多元表征培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想，能為初中函數(shù)概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好小初銜接。

在教學(xué)“正比例\"時(shí)，“相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量”“比值一定”是兩個(gè)重要的核心概念。教師可以利用課前布置的“收集生活中一個(gè)量隨另一個(gè)量變化而變化\"的例子，設(shè)置情境比較任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“每個(gè)情境中的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量是怎么變化的”這一核心問(wèn)題展開(kāi)思考，對(duì)獲得的相關(guān)信息進(jìn)行解讀辨析、探究交流，從而明晰兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間的變化關(guān)系，為理解正比例意義提供經(jīng)驗(yàn)素材。

任務(wù)一：姐姐和妹妹的年齡變化情況如下。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：橫著看，妹妹年齡每增加1歲，姐姐年齡也增加1歲；豎著看，姐姐年齡總是比妹妹大10歲，用\"姐姐年齡-妹妹年齡 =10^′ 表示。

任務(wù)二：媽媽買(mǎi)同一種草莓，購(gòu)買(mǎi)草莓的數(shù)量和總價(jià)如下。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：橫著看，數(shù)量每增加1盒，總價(jià)就增加15元；豎著看，總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)，這個(gè)情境中的單價(jià)是相等的。

任務(wù)三：正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的變化情況如圖3。

發(fā)現(xiàn)：橫著看，邊長(zhǎng)每增加 1cm ，周長(zhǎng)都增加 4cm ；豎著看，周長(zhǎng)/邊長(zhǎng)=4 ，所以畫(huà)出來(lái)是如圖3中的這樣一條直線。

任務(wù)四：正方形的面積與邊長(zhǎng)的變化情況如圖4。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：橫著看，邊長(zhǎng)由1到2時(shí)面積增加3cm² ，邊長(zhǎng)由2到3時(shí)面積增加 5cm² ，邊長(zhǎng)3到4時(shí)面積增加 7cm² ；豎著看， 看，面積/邊長(zhǎng)=邊長(zhǎng)，由于邊長(zhǎng)在不斷變邊長(zhǎng)化，所以面積與邊長(zhǎng)的比值不是一定的，所以畫(huà)出來(lái)的圖不是一條直線。

學(xué)生根據(jù)四組典型案例的對(duì)比辨析，借助列表或畫(huà)圖的方法多角度關(guān)聯(lián)分析圖表中量的對(duì)應(yīng)和變化情況，從兩個(gè)量的“變\"中看到“不變”，探索成正比的量的變化規(guī)律和變化趨勢(shì)，從而正確理解正比例的意義。同時(shí)，將圖表語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，判斷兩個(gè)量是否成正比例，在多重表征的轉(zhuǎn)化中，建立正比例關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型。這樣，能促進(jìn)學(xué)生從算術(shù)思維走向代數(shù)思維，為初中進(jìn)一步學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、方程及其他函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

（五）運(yùn)用數(shù)量關(guān)系推理，發(fā)展代數(shù)推理

數(shù)量推理對(duì)兒童早期代數(shù)思維能力培養(yǎng)有著重要作用，主要包含建立等量關(guān)系、表征等量關(guān)系和推理等量關(guān)系的過(guò)程。代數(shù)的本質(zhì)是符號(hào)表示，小學(xué)階段“字母表示數(shù)”，是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)、發(fā)展代數(shù)思維的重要內(nèi)容。通過(guò)符號(hào)意識(shí)、符號(hào)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)一般化代數(shù)思維的過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)表示、論證和推理的代數(shù)思維發(fā)展。代數(shù)推理是發(fā)展代數(shù)思維的重要路徑。教學(xué)時(shí)，教師要依循學(xué)生代數(shù)思維的生長(zhǎng)過(guò)程，循序漸進(jìn)、整體設(shè)計(jì)。新課標(biāo)中將方程調(diào)整到初中階段學(xué)習(xí)，同時(shí)加強(qiáng)小學(xué)階段用字母符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律，知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性，會(huì)用字母符號(hào)作為數(shù)學(xué)對(duì)象去計(jì)算和推理，體會(huì)字母符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。這樣調(diào)整課程內(nèi)容，有利于發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維，使得數(shù)學(xué)思考更為深入。

例如，五年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)用字母表示關(guān)系，體會(huì)字母參與運(yùn)算時(shí)，有如下教學(xué)案例。

師：在以前學(xué)習(xí)中我們知道，任意兩個(gè)奇數(shù)相加，和是偶數(shù)。你會(huì)怎樣說(shuō)明這個(gè)結(jié)論？

生：我用舉例的方法，發(fā)現(xiàn)“任意兩個(gè)奇數(shù)相加，和是偶數(shù)?！比?1+3=4，3+9=12，5+21=26…

生：我用舉例的方法，發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)相同的奇數(shù)相加，和是這個(gè)奇數(shù)的2倍，是偶數(shù)?！比?1+1=1×2，3+3= 3×2，5+5=5×2……

生：我用畫(huà)圖的方法。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形中有1個(gè)方格，第二個(gè)圖形中有 1+2 個(gè)方格，第三個(gè)圖形中有 1+2+2 個(gè)方格，第四個(gè)圖形中有 1+2+2+2 個(gè)方格。任意兩個(gè)方格圖相加，和可以表示成 1+1+2+2+2+… 的形式，正好是2的倍數(shù)，所以和一定是偶數(shù)。

生：我用字母式相加的方法，用 2n+1 表示奇數(shù)，那么 2n+1+2n+1=4n+2，4 是偶數(shù)，所以 4n 是偶數(shù)， 4n+2 一定也是偶數(shù)。

生：我用字母式推理得出“任意兩個(gè)奇數(shù)相加，和是偶數(shù)?！庇?2n-1 表示一個(gè)奇數(shù)，用 2m+1 表示另一個(gè)奇數(shù)， 。

師：因?yàn)? 是2的倍數(shù)，所以它一定是偶數(shù)，所以“任意兩個(gè)奇數(shù)相加，和一定是偶數(shù)”。

學(xué)生由具體數(shù)字列舉、直觀圖例到符號(hào)運(yùn)算后的說(shuō)理驗(yàn)證，經(jīng)歷從不完全歸納的合情推理到字母運(yùn)算的演繹推理過(guò)程。這里的字母式運(yùn)算都是依據(jù)運(yùn)算律進(jìn)行的推理，字母符號(hào)具有高度的抽象概括性。所以，用字母參與運(yùn)算和推理所得到的結(jié)論也具有一般性，蘊(yùn)含了代數(shù)思維。學(xué)生從舉例說(shuō)明、畫(huà)圖表征等簡(jiǎn)單特例的說(shuō)理過(guò)程，推演到用字母對(duì)算式結(jié)構(gòu)進(jìn)行符號(hào)表征、說(shuō)理分析，可以逐步感受到字母可以像數(shù)一樣去計(jì)算、推理，發(fā)現(xiàn)“任意兩個(gè)奇數(shù)的和”都可以用 2× □這樣的結(jié)構(gòu)模型表示，得出“和一定是偶數(shù)”的結(jié)論。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的思維從具體直觀逐步走向抽象概括，產(chǎn)生“一般化”的學(xué)習(xí)需求，同時(shí)實(shí)現(xiàn)從程序性思維到結(jié)構(gòu)化思維的轉(zhuǎn)換，不斷提升學(xué)生思維的抽象水平，體會(huì)符號(hào)表達(dá)的一般性，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張丹，于國(guó)文.問(wèn)題引領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：內(nèi)涵與實(shí)踐策略[M].北京：教育科學(xué)出版社，2021.

[2]路易斯·雷德福，張亞楠，黃興豐.兒童符號(hào)代數(shù)思維的萌芽[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（3）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）