利用垂線段最短求解“胡不歸”問題的應(yīng)用探究

例1如圖1所示，在菱形ABCD 中， AB= AC=10 ，對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O ，其中點(diǎn) M 在線段 AC 上，且 AM=3 ，點(diǎn) P 為線段 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值是

答案 ：

解析 結(jié)合菱形和三角形的性質(zhì)能夠得到ΔABC 是等邊三角形，在確定動(dòng)點(diǎn)位置后，要利用 的最小值，即垂線段最短的性質(zhì)求解問題.

如圖2所示，過點(diǎn) P 作 PE⊥BC 于點(diǎn) E

根據(jù)題意可得，已知四邊形ABCD為菱形，且 AB=AC=10 .

所以 AB=BC=AC=10 且 ∠ABD=∠CBD

根據(jù)三角形性質(zhì)可得 ΔABC 是等邊三角形，所以 ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60^° 其中 ∠ABD=∠CBD=30^° 因?yàn)?PE⊥BC ，所以 ∠BPE=∠BEP-∠PBE=90^°-30^°=60^°， 結(jié)合三角關(guān)系可得 ，則 所以當(dāng)點(diǎn) P，M，E 三點(diǎn)共線時(shí)， PM+PE 有最小值 ME .又因?yàn)?AM=3 .所以 MC=AC-AM=10-3=7 因?yàn)? 所以 所以 的最小值為

例2如圖3所示，已知拋物線 y=ax²+bx+

Ψ_c 與 x 軸交于兩點(diǎn) A（1，0），C（-3，0） ，與 y 軸交于點(diǎn)B（0，3），D 為拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式，還有點(diǎn) D 的坐標(biāo)；

（2）假設(shè) R 是 y 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AR ，求 的最小值.

解析第（2）問可通過作輔助線得到點(diǎn) A 到BC之間的垂線段，構(gòu)造出與問題相關(guān)的線段或角，在三點(diǎn)共線時(shí)可利用垂線段最短的性質(zhì)得到 AR+ 的最小值.

（1）根據(jù)題意，將點(diǎn) A，B，C 代人拋物線 y=ax²+bx+c 中，

可得 （20解得 b=-2 ，c=3，a=-1， （204號(hào)所以拋物線的解析式為 y=-x²-2x+3 .因?yàn)?y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4 ，可得到點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 （-1，4） ·（2）如圖4所示，連接 BC ，過點(diǎn) R 作 RH⊥BC

于點(diǎn) H ，過點(diǎn) A 作 AG⊥BC 于點(diǎn) G .結(jié)合題意，已知 OB=OC=3 且 ∠COB=90^° 所以根據(jù)勾股定理可得

，且 ∠HBR=45^° .

則在 RtΔHRB 中， ，所以 因此當(dāng) A，R，H 三點(diǎn)共線且 AH⊥BC 時(shí)， 有最小值，且最小值為 AG 的長度.可結(jié)合三角形面積得到： 解得結(jié)果為 .所以 的最小值為

結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)的“胡不歸”問題中，會(huì)構(gòu)造形如4 PA+kPB ”的最值問題，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造與0 kPB ”相等的線段，需要通過作輔助線將問題轉(zhuǎn)化為“ PA+PC ”型問題，形式中的“PB”必須是一條方向不變的線段，這樣才能利用三角函數(shù)得到的“kPB”等線段，最后利用垂線段最短的性質(zhì)求解問題.在解決“胡不歸”問題時(shí)，需要首先判斷問題的類型，即求最大值還是最小值，其次要靈活運(yùn)用幾何、代數(shù)或者數(shù)形結(jié)合的方法，注意構(gòu)造輔助線或設(shè)立代數(shù)表達(dá)式，使得該類型問題更容易求解.