解透一題拓廣探究 觸類旁通回歸本質(zhì)

什么是外接球？若幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)球?yàn)樵搸缀误w的外接球.外接球半徑是指球心到多面體任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離.立體幾何的外接球是立體幾何模塊重要內(nèi)容，也是高考熱點(diǎn)問題，這類問題蘊(yùn)含著極其重要的數(shù)學(xué)思想和方法，對知識、方法、技能考查豐富，對邏輯推理、空間想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)考查全面，具有很好的探究價(jià)值.本文以2025年八省聯(lián)考第19題第（1）問為例，與大家交流立體幾何中的外接球問題.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2025年八省聯(lián)考19）在平面四邊形 A B C D 中， . A B = A C = C D = 1 .將 Δ A C D 沿 A C 翻折至 Δ A C P ，其中 P 為動(dòng)點(diǎn).

（1）設(shè) P C ⊥ A B ，三棱錐 P / / B C 的各個(gè)頂點(diǎn)都在球 O 的球面上.

（i）證明：平面 P A C 上平面 A B C

（ii）求球 O 的半徑.

（2）求二面角 A -CP-B的余弦值的最小值.

2 解法探究

2.1 理解題目

理解題目是認(rèn)識問題并對問題進(jìn)行表征的過程，是成功解決問題的必要前提.本題第（1）問中的（i）以三棱錐為載體，求其外接球的半徑，需要一定的空間想象能力.注意到平面PAC上平面 A B C ，則可以通過面面垂直求外接球半徑；仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)AB工平面PAC，也能用線面垂直求外接球半徑；還可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用球的定義求解.該題能很好地甄別學(xué)生的空間想象和邏輯推理等能力，是一道優(yōu)秀的適應(yīng)性試題.

2.2 擬定方案

1）方案1：通過第（1）問的（i）已知平面PAC」平面 A B C ，求三棱錐 P -ABC的外接球，可以分別找到 Δ A B C 和 Δ P A C 的外接圓圓心 和 ，球心在過點(diǎn) 作底面 A B C 的垂線和過點(diǎn) （如圖1）作平面APC的垂線的交點(diǎn)處.設(shè) H 為 A C 的中點(diǎn)，易證四邊形 為矩形，從而在 R tΔ A O H 中用勾股定理便可求外接球半徑.

2）方案2：通過第（1）問中的（i）可知 A B 上平面P A C ，球心距 ，設(shè) Δ P A C 的外接圓半徑為 r ，利用 便可求出外接球半徑.

3）方案3：以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo) 系，設(shè)球心 O （ a ， b ， c ） ，則球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離等于 球的半徑，即 R = O A = O B = O C = O P ，故求出球心 的坐標(biāo)，從而求得球的半徑.

2.3 執(zhí)行方案

解法1 Δ A B C 的外接圓圓心 位于 B C 的中點(diǎn)，如圖1所示，過點(diǎn) 作底面 A B C 的垂線，則球心O 必在此垂線上.因?yàn)?Δ A P C 的外接圓圓心為 ，所以 工平面 A P C ，設(shè) H 為 A C 的中點(diǎn).如圖2所示，連接 A O ， O H ，易證四邊形 為矩形.

Δ A C P 的外接圓直徑為

△ABC的外接圓直徑為

所以三棱錐 P -ABC外接球半徑

此解法是典型的側(cè)面垂直于底面類型.如圖3所示，在四面體PABC中，若平面 P A B ⊥ 平面 A B C ，求三棱錐 P -ABC外接球半徑步驟如下：

1）找出△PAB和△ABC的外接圓圓心，分別記為 和 ：

2）分別過 和 作平面PAB和平面 A B C 的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為 O ，設(shè) ， ，A B = l ：

3）過 作 A B 的垂線，垂足 為 D ，連接 ，則

4）在四棱錐 中，A D 上平面 ，如圖4所示，底面四邊形 的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且 O D 為該圓的直徑.

5）三棱錐 P -ABC的外接球半徑為

若兩個(gè)半平面所成的二面角為 θ ，求外接球的半徑是否也有類似的公式呢？

拓廣探究1若平面 P A B 與平面 A B C 的二面角為 θ ，球心 O 到平面 P A B 與平面 A B C 的距離分別為 ，平面 P A B 與平面 A B C 的交線為 A B ，記 A B 長為 ，則三棱錐 P / / B C 的外接球半徑為

證明如圖5所示，設(shè) Δ P A B 和 Δ A B C 的外接圓圓心分別為 和 .分別過 和 作平面PAB和平面 A B C 的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為 O .過 作 A B 的垂線，垂足記為 D ，連接 ，則 A B .易知四邊形 的四個(gè)頂點(diǎn)在以 O D 為直徑的圓上.在四棱錐 中， A D ⊥ 平面 ，連接 .在 中，由余弦定理可得

由正弦定理可得四邊形 的外接圓直徑

，所以（2

解法2設(shè) Δ P A C 的外接圓半徑為 r ，所以 r = 2sin 30°=1.由（i）可知A B 上平面 P A C ，如圖6所示，則 ，故三棱錐 P / / B C 的外接球半徑

拓廣探究2若三棱錐一條側(cè)棱垂直于底面，球心距等于這條側(cè)棱的一半，底面外接圓半徑為 r ，這條側(cè)棱長為 h ，則外接球半徑為

證明如圖7所示，設(shè)三棱錐 P / / B C 的外接球球心為 O ， Δ A B C 的外接圓圓心和半徑分別為 H 和r ， P A 上平面 A B C ，則 O H ⊥ 平面ABC.取 P A 的中點(diǎn) M ，因?yàn)榍蛐?O 到 P ， A 兩點(diǎn)的距離相等，所以M O ⊥ P A ，則四邊形MOHA為矩形，即 O H = ，故三棱錐 -ABC的外接球半徑為

解法3設(shè) A 為原點(diǎn)，分別以 A B ， A C 所在直線為 x 軸、 .y 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8所示.設(shè)球心 O （ a ， b ， c ） ，則 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 1 ， 0 ， 0 ） ， C （ 0 ， 1 ， 0 ） ， ，所以

R = O A = O B = O C = O P ，

即

解得 ，則

故三棱錐 P / / A B C 的外接球半徑

對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為 O （ x ， y ， z ） ，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑.

3觸類旁通

相應(yīng)直棱柱的外接球可以轉(zhuǎn)化為面面垂直或一條側(cè)棱垂直于底面求解，斜棱柱的外接球可以利用拓廣探究1求解，那么正 n 棱錐的外接球又該如何求解呢？

拓廣探究3已知正 n 棱錐的底面外接圓的半徑為 r ，高為 h ，則正 n 棱錐的外接球半徑為

證明 已知正 n 棱錐A-BCDFE··， A 在底面BCD的射影為 為Δ B C D 的外接圓圓心， ， ，則 上底面 B C D ，易得球心 O 在垂線 上，如圖9所示，所以

化簡得

多面體的外接球可以利用勾股定理求解，那么旋轉(zhuǎn)體的外接球又該如何求解呢？

3.1旋轉(zhuǎn)體的外接球

模型1 圓錐的外接球

設(shè)圓錐的高為 h ，底面圓半徑為 r ，球的半徑為 R 圓錐的外接球問題可以轉(zhuǎn)化為平面問題求解，如圖10和圖11所示，在 中， C 為AB的中點(diǎn)，可由勾股定理建立方程來計(jì)算 R .當(dāng) P Cgt;C B 時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部，當(dāng) P C

由圖10和圖11可知 O C = h - R 或 R - h ，故

所以

模型2 圓柱的外接球

如圖12所示，圓柱的底面圓半徑為 r ，高為 h ，其 外接球的半徑為 R ，則根據(jù)截面圖（如圖13）可知，三 者之間滿足

模型3圓臺的外接球圓臺的外接球半徑為

其中 分別為圓臺的上底面圓半徑、下底面圓半徑和高，其截面圖如圖14和圖15所示.

3.2解透一題拓廣探究，觸類旁通回歸本質(zhì)

解透一題拓廣探究，觸類旁通回歸本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式.其關(guān)鍵是把解題方法的共性總結(jié)出來，力求一法多用，一題多聯(lián).如何把這些知識與方法串聯(lián)起來，筆者認(rèn)為可以借助思維導(dǎo)圖來完成.這對進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)有著重要作用.如本題求外接球的半徑，可畫出它的思維導(dǎo)圖，如圖16所示.

4反思提升

本文從多方位、多角度深入探究2025年八省聯(lián)考第19題，體現(xiàn)了對研究對象的拓展和研究方法的自然延伸，可以將此研究路徑和研究方法遷移到求有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球中.

立體幾何中的外接球問題包括多面體和旋轉(zhuǎn)體解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.解題時(shí)特別要注意多面體中有關(guān)幾何元素與球半徑之間的關(guān)系.解題實(shí)質(zhì)是通過幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征尋找球心與半徑，核心是幾何對稱性分析與代數(shù)條件的系統(tǒng)化運(yùn)用.求解旋轉(zhuǎn)體外接球主要采用軸截面法，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，其本質(zhì)和求多面體外接球相同.因此，無論是外接球還是內(nèi)切球，其價(jià)值不僅在于求得球心與半徑，更在于培養(yǎng)學(xué)生三維空間的問題解決能力，這正是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中直觀想象與數(shù)學(xué)建模的深度融合.

鏈接練習(xí)

1.（2022年全國乙卷文12）已知球 o 的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為 O ，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球 o 的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（ ）.

2.（2022年新高考 I 卷7）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為 和 ，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）.

A. 1 0 0 π B. 1 2 8 π （20號 C. 1 4 4 π （20 D. 1 9 2 π

3.已知四棱錐 P -ABCD的體積是 ，底面ABCD是正方形， Δ P A B 是等邊三角形，平面 P A B 上平面 A B C D ，則四棱錐P-ABCD的外接球表面積為（ ）.

4.（2023年全國 z 卷文16）已知點(diǎn) s ， A ， B ， C 均在半徑為2的球面上， Δ A B C 是邊長為3的等邊三角形， S A ⊥ 平面 A B C 則 S A =

鏈接練習(xí)參考答案

1. C. 2. A. 3.C. 4.2.

（完）