數(shù)學(xué)解題的根基：軌跡意識(shí)與動(dòng)態(tài)思維

在許多變化的幾何問題中，用動(dòng)態(tài)化視角分析靜態(tài)化的數(shù)學(xué)背景，有時(shí)能從試題背景中挖掘到蘊(yùn)藏“動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡”的思維頓悟點(diǎn).運(yùn)用這種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維解決問題，可以優(yōu)化解題過程，發(fā)散數(shù)學(xué)思維.基于此，本文結(jié)合典型的試題，溯源歸納出6種類型的軌跡背景，并體會(huì)樹立“軌跡意識(shí)\"在解題中的價(jià)值意蘊(yùn)，例1設(shè)向量 滿足 ，若存在實(shí)數(shù) λ ，使得 ，則向量 與 的夾角不等于（ ）.

A. B.60° C.120° D. 150°

分析本題以平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算為背景.如圖1所示，利用條件中的實(shí)數(shù)λ，確定出點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合題目中的不等式條件，借助“形”能直觀看出向量線性運(yùn)算后的位置.通過逆向思維辨證分析得到不滿足兩向量夾角度數(shù)的緣由.

解設(shè) ， ， ，OC=a+λb，即 OA=2，OB=1，OB //AC.由于λ 是實(shí)數(shù)，則點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線 O B ，點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線 A C

若向量 與 的夾角為 ，則 O C ⊥ A C ，即 ∣ a + λ b ∣ ? ∣ a + b ∣ ，與題設(shè)條件相矛盾.

若向量 與 的夾角為 ，則 O C 與A C 不垂直，直線 A C 上一定存在 ，使得 ，即 ∣ a + λ b ∣ < ∣ a + b ∣

綜上，選C.

由向量運(yùn)算的平行四邊形法則，結(jié)合平面幾何圖形的特征，先直觀分析出點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡，再分析出點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡，再綜合相關(guān)運(yùn)算及根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想闡明向量 與 的夾角不能為 的原因，從而直觀破解出其他角成立的依據(jù).

2 “OA為定長(zhǎng)\"型

例2 在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中， A ( 4 ， 0 ) ， ，若點(diǎn) P 滿足 O P = 1 ， P A 的中點(diǎn)為 M ，求BM的最大值.

分析本題以以“動(dòng)\"帶“動(dòng)\"為幾何背景，考查圓外一個(gè)定點(diǎn)到圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最大距離問題.根據(jù)已

知條件，確定點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.如圖2所示，通過中位線的性質(zhì)可以確定點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)特征.

解取OA的中

點(diǎn)為 C ，由圖2可知 ，連接 C M ，則 因此，點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) C 為圓心、 為半徑的圓.延長(zhǎng) B C 并交圓 C 于點(diǎn) D ，當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) D 的位置時(shí)， B M 取得最大值，即

先由 O P = 1 這一條件確定點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡是單位圓，再通過取線段 O A 的中點(diǎn) C ，結(jié)合中位線的性質(zhì)得到第二個(gè)定值條件 ，從而得到點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡是另一個(gè)圓，由“圓心 C 到圓外的定點(diǎn) B 的距離與圓 C 的半徑之和為 B M 的最大值”這一結(jié)論順利解決問題.

3 G 為定長(zhǎng)\"型

例3在 Δ A B C 中， cos 2 ∠ A C B + 3 cos ∠ A C B = 1，且 ，則 的最大值為

分析本題以解三角形為背景，以求兩線段之比為落腳點(diǎn)，通過計(jì)算題中的方程得到 ∠ A C B 的大小.由兩線段比值結(jié)果可以將 ∠ A C B 對(duì)應(yīng)的邊進(jìn)行固定，這樣就能得到 為定長(zhǎng)”的模型，再由平面幾何知識(shí)求CM的最大值.

解由cos 2 ∠ A C B + 3 cos ∠ A C B = 1 ，可得

，解得 cos ∠ A C B =

-2（舍）或 ，則 即 A

設(shè) $A B \\ = \\ { \\sqrt { 3 } } \\ m$ ，由于 ，所以 Δ A B C 是以 m 為半徑的圓 O 的內(nèi)接三角形.如圖3所示，當(dāng)點(diǎn) C ， 三點(diǎn)共線時(shí)， C M 最大，進(jìn)而 的值最大.過 o 作

O N ⊥ A B 于 N ，連接 O A ，則 m，所以O(shè)M= 3m，則

先進(jìn)行定量分析，由 ，假定 A B = ，構(gòu)造“定邊對(duì)定角”的幾何模型，分析出點(diǎn) C 的運(yùn)動(dòng)軌跡是優(yōu)弧 .借助圖形可直觀感知出 C M 取最大值時(shí)滿足的條件，然后借助圓周角定理及垂徑定理計(jì)算出CM的最大值，解題過程簡(jiǎn)捷.

1 ? 型

例4已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) ，且點(diǎn) M 是圓 上一點(diǎn)，則向量 在 上的投影向量的模的取值范圍是

分析如圖4所示，以向量 在向量 上的投影為抓手，結(jié)合圖形，將所求的問題轉(zhuǎn)化為求 ∣ O P ∣ 的取值范圍.結(jié)合 ，得出點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡.由三角形的基本性質(zhì)分析出 ∣ O P ∣ 取最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)P 的位置，進(jìn)而確定其取值范圍.

解圓 C 的半徑為 1 ， C ( 1 ， 1 ) ，即圓 C 與 x 軸的正半軸、 .y 軸的正半軸均相切.記與 y 軸正半軸的切點(diǎn)為 B ，則 過點(diǎn) N 向線段 O M （或線段OM的延長(zhǎng)線)作垂線，垂足為 P ，所以點(diǎn) P 在以線段 O N = 為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).設(shè)此圓與 x 軸的正半軸、 y 軸的正半軸分別交于 A ， B ，則點(diǎn) P 的軌跡為半圓弧AB

（圖中實(shí)線部分）.

由圖4可得 ，即 ，而向量 在 上的投影向量的模恰為∣ O P ∣ ，故其取值范圍為

由于點(diǎn) M 是動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影來構(gòu)圖，因此點(diǎn) P 也是動(dòng)點(diǎn).解題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是能否聯(lián)想到點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓?。ㄜ壽E意識(shí)），通過運(yùn)動(dòng)軌跡考慮最值；二是點(diǎn)P 在何處取得最值，找準(zhǔn)臨界位置.

5 1 為定長(zhǎng)\"型

一例5如圖5所示，已知圓 O 的直徑 ，點(diǎn) T 是圓 O 上任意一點(diǎn)，設(shè)弦 A T 的中點(diǎn)為 M ，則 的最大值為

分析以本題所求 為思考起點(diǎn)，結(jié)合定長(zhǎng) 及橢圓的定義，能畫出一個(gè)橢圓．由此可以將 MA的值記為 2 a ，把最終的問題轉(zhuǎn)化為求 a 的最大值即可.結(jié)合點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡，分析出 取最大值的臨界條件.

解如圖6所示，以 O 為原點(diǎn)、 所在直線為 x 軸、線段 的中垂線為 y （204號(hào)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)， .連接O M ，由于 M 為弦 A T 的中點(diǎn)，故 O M ⊥ A T ，則點(diǎn) M 在以 O A 為直徑的圓 上，圓 的方程為 ，即

設(shè) ，則點(diǎn) M 在以 為焦點(diǎn)的橢圓 上，橢圓 的方程為 ，即 ，所以點(diǎn) M 是圓 與橢圓 的交點(diǎn).當(dāng)圓 與橢圓 相切時(shí)， M A = 2 a 取得最大值.

由 得 ，則 ，解得 a = 0 （2 （舍）或 ，所以 的最大值為

求解該題有三個(gè)關(guān)鍵思維邏輯點(diǎn)：其一，由定長(zhǎng)線段 及 ，聯(lián)想到構(gòu)造橢圓(軌跡意識(shí))；其二，剖析出點(diǎn) M 也在以 O A 為直徑的圓上；其三，定性分析出當(dāng)點(diǎn) M 既在圓上又在橢圓上，且 2 a 取最大值時(shí)的情況，并定量計(jì)算出此時(shí)a 的值.

6“ 為定長(zhǎng)\"型

例6 若△ABC的內(nèi)角滿足 2 sin C ，則 的最小值為（ ）.

分析結(jié)合正弦定理，將題干條件進(jìn)行角向邊轉(zhuǎn)化，得出一個(gè)關(guān)于三角形三邊的恒等式，深挖其幾何信息得到一個(gè)“ 為定長(zhǎng)\"的模型.結(jié)合雙曲線的定義將點(diǎn) A 的運(yùn)動(dòng)軌跡視為雙曲線（或其中的一支)，將焦距 B C 取為定值4，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，以三角形外接圓半徑作為破題“支架”，所求問題最終落腳于求 )的最小值.

解由于sin A + 2sin ，故 1|BC丨，則點(diǎn)A在以點(diǎn) B ， C 為焦點(diǎn)的雙曲線右支上(如圖7).設(shè)點(diǎn) A ，B ， C 的坐標(biāo)分別為 $( \\boldsymbol { \\mathscr { x } } _ { 0 }$ ， （200)，則

記 Δ A B C 的外接圓半徑為 R ，則

由 可得 ，故

接下來計(jì)算 Δ A B C 的外接圓半徑 R . A C 的中垂線方程為 x = 0 ，可得 ，即

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，故 的最小值為 故選A.

此題是用解析幾何觀點(diǎn)解三角形，在拓寬思維視野的同時(shí)，需要領(lǐng)悟方法背后的巧妙之處.首先，將條件轉(zhuǎn)化后能領(lǐng)悟到等式與雙曲線的定義有相同之處，進(jìn)而得到雙曲線方程，大大降低了思維難度；其次，用三角形外接圓半徑及點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)表達(dá)所求代數(shù)式，達(dá)到了減元的目的；最后，明確了 A ， 的坐標(biāo)后，通過運(yùn)算可以達(dá)到再次減元的目的，最終將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)變成僅含一個(gè)變量的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求出最小值.由此可見，在解題時(shí)，軌跡意識(shí)能起到事半功倍的作用.

通過上述6道例題可以看出，在解決相關(guān)幾何問題時(shí)，可以根據(jù)點(diǎn)、直線（或線段)的位置或深挖相關(guān)表達(dá)式的幾何信息來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡類型，充分利用軌跡特征挖掘出最值條件，再通過計(jì)算即可得出最值.雖然上述6道例題還有其他解法，但是把軌跡意識(shí)作為一種破題思路，從問題特征入手，建構(gòu)相關(guān)軌跡模型，能養(yǎng)成良好的化歸思維習(xí)慣，進(jìn)而達(dá)成解決問題的目的.

本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度專項(xiàng)課題“專業(yè)認(rèn)證背景下數(shù)學(xué)師范生教學(xué)實(shí)踐能力的發(fā)展路徑研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2023ZJY028)研究成果.

（完）