三點共線問題背景下三角形中線段的交點問題探究

1三角形中的第一個性質(zhì)

性質(zhì)1 在△ABC中，已知 1）， 與 C E 交于點 P ，且 ，則

證明 如圖1所示，由條件可得

因為 C， P， E 三點共線，所以

即

值得一提的是，該性質(zhì)的應(yīng)用過程中， x ， y 的取值要準確，即從單獨的點 A 出發(fā)， y AB.

2 性質(zhì)1的應(yīng)用

例1如圖2所示，在Δ A B C 中，已知 段 A D 與 B E 的交點，若 ，則 m + n 的值為

方法1 設(shè) .由 得 ，故

由AE=2EC，得AE= ，故 .由于 B ， P ， E 三點共線，故 ，則 λ = 因為 ，所以 故0

方法2 設(shè) .由性質(zhì)1知 則 ，所以 故

例2如圖3所示，在平行四邊形ABCD中，對角線交于點 O ，點 E 在 B C 上，且 B C = 4 B E ，連接 D E 交 A C 于點 G ，若 ，則 n2=

在 Δ B C D 中，設(shè) 由性質(zhì)1知 x = 則 ，所以 故 因此 A對于例1，方法1是常規(guī)求解方法，學(xué)生需要具備扎實的向量運算能力，尤其對平面向量基本定理的應(yīng)用提出較高的要求，這對部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生是個挑戰(zhàn).對于例2，結(jié)合三角形相似，利用性質(zhì)1求解難度相對較小，否則，難度依然較大.運用性質(zhì)1可以提高解題效率，降低錯誤率.

3三角形中的第二個性質(zhì)

性質(zhì)2在△ABC中，已知 1）， （ ）， AB ∵ m lt; 1 1 ）C D 與 E F 交于點 P ，且 ，則

證明 如圖4所示，由條件可得

因為 F ， P ， E 三點共線，所以 ：

值得一提的是，該性質(zhì)中的 x ， y 與性質(zhì)1不同，在應(yīng)用的過程中讀者需注意.

4性質(zhì)2的應(yīng)用

例3如圖5所示，在△ABC中，點P滿足PC= 是線段 A P 的中點，過點 O 的直線與邊A B ， A C 分別交于點 E ， F 若 ，則 的最小值為

方法1 因為

所以

因為 F ， O ， F 三點共線，所以 ，即2 λ + μ = 3 又 λgt;0 ， μgt;0 ，所以

當(dāng)且僅當(dāng) μ = 2 λ ， 2 λ + μ = 3 ，即 時，等號成立，故 的最小值為

方法2 設(shè) ，由條件和性質(zhì)2可得 n = ，則

所以 2 λ + μ = 3 . 又 λgt;0 ， μgt;0 ，所以

當(dāng)且僅當(dāng) μ = 2 λ ， 2 λ + μ = 3 ，即 時，等號成立，故 的最小值為

例4在 Δ A B C 中， P 在線段 B C 上，滿足2 O 是線段 A P 的中點.

（1）如圖6所示，延長 c o 交 A B 于點 Q ，已知 ，求 的值；

（2）如圖7所示，過點 O 的直線與邊 A B ， A C 分 別交于點 E ， F ，設(shè) AE， F C "=μA F"，求 2 α + μ 的值.

（1）設(shè) 則 代人 得 m =

，所以

則

（2）設(shè) ，則 由性質(zhì)2可知 故 ，所以 2 a + μ = 3

點對于例3，方法1是常規(guī)求解方法，可以看出，這種解法對平面向量基本定理的運用要求較高.對于例4的求解，兩個小問都需要結(jié)合平面向量基本定理，再根據(jù)三點共線時基底系數(shù)的關(guān)系進行求解.運用性質(zhì)2求解可以提高解題速度.

5 三角形中的第三個性質(zhì)

性質(zhì)3在 Δ A B C 中，已知 1）， 與 E F 交于點 P ，且 ，則

證明 如圖8所示，由條件可得

因為 F ， P ， E 三點共線，所以 即入=

6 性質(zhì)3的應(yīng)用

例5如圖9所示，在 Δ A B C 中， ， C D 與 B E 交于點 P ， A B = 2 ， A C = 3 ， ，則 ；過點 P 的直線 （204號分別交AB，AC于點M，N，設(shè)AM=mAB，AN= ，則 m + 2 n 的最小值為

（求解過程略）.如圖10所示，設(shè) ，由性質(zhì)1可知 由性質(zhì)3可知 所以 即 所以

當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，故 m + 2 n 的最小值為

對于例5，利用常規(guī)方法正常求解，需要先根據(jù)已知條件設(shè) ，將 2 分別代入，利用共線定理的推論列方程組求出 x ， y ，然后根據(jù) 求解可得 ： ；將 ， 代入 ，由 M ， P ， N 三點共線求得 1，然后利用基本不等式進行求解，過程較為煩瑣，難度較大，而結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)3可以快速求解.

筆者通過對考點的思考和探究，了解了數(shù)學(xué)的邏輯美、奇異美，從而實現(xiàn)自身的成長.也希望通過本文的實踐探索，拋磚引玉，期盼更多學(xué)生進行探索嘗試，

（完）