需要重視的命題新動向

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》雖未明確指出對反函數(shù)的考查要求，但從教材內(nèi)容來看，對于反函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握函數(shù) y = 與 互為反函數(shù)以及反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域等知識.教材配套的習(xí)題也對這些知識進(jìn)行了練習(xí)鞏固.

如果僅從人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第134頁關(guān)于反函數(shù)的敘述和習(xí)題來判斷，認(rèn)為反函數(shù)的考試要求很低，那就錯了.

從教材第135頁探究與發(fā)現(xiàn)可以看出，教材體現(xiàn)了學(xué)生自主探究與學(xué)習(xí)反函數(shù)的相關(guān)知識，比如，反函數(shù)與原函數(shù)的圖像間的關(guān)系，圖像關(guān)于直線 y = x 對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，函數(shù) 與 與函數(shù) y = x 之間的關(guān)系等，這為考試創(chuàng)設(shè)了命題空間.

近年來，圍繞反函數(shù)的試題在單選題、多選題、填空題、解答題中均有體現(xiàn)，在高考和各地模擬考試中大多數(shù)試題沒有明確提及反函數(shù)，但以反函數(shù)為背景的試題成為命題熱點.導(dǎo)數(shù)部分常涉及函數(shù) ， 或它們的復(fù)合函數(shù)，所以命題者熱衷于將反函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合來命制相關(guān)試題，以此考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面以近幾年的高考題與模擬試題為例分析反函數(shù)的命題動向.

1與反函數(shù)有關(guān)的求值問題

例1已知函數(shù) 的零點 為 ，若 ，則 k 的值是 ； 若函數(shù) 的零點為 ，則 的 值是

易知 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是增函數(shù)，且 f （ 1 ） = ，則 f （ 1 ） f （ 2 ） lt; 0，故 ，所以 k = 1 . 又

而 ，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 的圖像，如圖1所示.易知 關(guān)于直線 y = x 對稱，并且 y = 2 - x 與 y = x 垂直，交點坐標(biāo)為（1，1），所以

點本題給定兩個函數(shù)，但并沒有直接指明它們互為反函數(shù)，需要深入分析、提取反函數(shù)信息助力解題.與反函數(shù)有關(guān)的求值問題常以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)與方程、不等式等形式出現(xiàn)，要求求 的值.因此，遇到同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)問題時，有意識地利用反函數(shù)的性質(zhì)對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化可能會收獲事半功倍的效果.

2 原函數(shù)與反函數(shù)的圖像間的關(guān)系問題

例2若直線 與曲線 相 切，直線 與曲線 相切，則 的值為（ ）.

A.1 B.e

注意到兩條直線都過定點 （ - 1 ， - 1 ） ，該點在直線 y = x 上，曲線 與曲線 關(guān)于直線 y = x 對稱，所以這兩條切線關(guān)于直線 y = x 對稱，則這兩條切線的傾斜角互余，于是 ，故選A.

利用原函數(shù)與反函數(shù)圖像的對稱性，分析得出直線 與直線

1）—1都過定點 （ - 1 ， - 1 ） ，且定點在直線 y = x 上，從而找出兩條切線傾斜角的關(guān)系，大大減少了運算量，這是命題人刻意設(shè)置的考查反函數(shù)性質(zhì)的試題.如果從導(dǎo)數(shù)角度求切線的方程，再找等量關(guān)系就落入了命題人設(shè)置的俗套，計算量會比較大.由原函數(shù)與反函數(shù)圖像的對稱性，原函數(shù)與反函數(shù)的交點要么在直線 y = x 上，要么關(guān)于 y = x 對稱.

例3若 （ a gt; 0 且 a ≠ 1 ）恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）.

A. （0，1） B. （ 1 ， + ∞ ）

C.

O 當(dāng) agt;1 時，因為 與 互為反解析 函數(shù)，所以問題等價于 在 （ 0 ， + ∞ ） 上恒成立.

構(gòu)造函數(shù) ，則 f （ x ） 在（0， ）上單調(diào)遞減，在（loga In a 上單調(diào)遞增，故 ，解得 ：

當(dāng) 0＜ａ＜1，不符合題意.

綜上，選C.

抓住 與 互為反函數(shù)的圖像特征，可知當(dāng)0＜ａ＜1時， 的臨界情況是這兩個函數(shù)都與y = x 相切，則可將原問題轉(zhuǎn)化為 在 （ 0 ， + ∞ ） 上恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求解，也可同時取對數(shù)，再進(jìn)行參變分離，使問題迎刃而解，這體現(xiàn)了多想少算的命題思想.1）若 f （ x ） 與 g （ x ） 互為反函數(shù)且 f （ x ） gt; g （ x ） 恒成立，則 恒成立，這其實用到了導(dǎo)數(shù)中的切線放縮.2）深入研究發(fā)現(xiàn) 與 的交點個數(shù)情況如下：當(dāng) 時，函數(shù) 與 的圖像有兩個交點；當(dāng) 時，函數(shù) y = 與 的圖像有一個交點；當(dāng) 時，函數(shù) 與 的圖像沒有交點；當(dāng) 時，函數(shù) 與 的圖像有三個交點；當(dāng) 時，函數(shù) 與 的圖像有一個交點.近幾年很多試題本質(zhì)上就是考這兩個基本結(jié)論.

例4設(shè) P 為曲線 上的動點， Q 為曲線 上的動點，則稱 ∣ P Q ∣ 的最小值為曲線 之間的距離，記作 .若 ： l n x + ，則

O 曲線 分別是函數(shù) 這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于直線y = x 對稱，則 ，其中 d 為曲線 上的動點到直線 y = x 的距離.

設(shè)與直線 y = x 平行的直線切曲線 于點 M .由 2，可得y'=2 ，切點 M 的坐標(biāo)為 （ l n 2 ， 1 ） ，點 M 到直線 y = x 的距離就是 ，所以

故

利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y = x 對稱，將曲線 之間的距離 轉(zhuǎn)化為曲線 上的動點到直線 y = x 的距離的2倍，大大簡化了運算過程.互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像上兩動點間距離的最小值問題，通常轉(zhuǎn)化為其中一動點到直線 y = x 的距離的2倍.

3原函數(shù)、反函數(shù)與函數(shù) y= x 的關(guān)系問題

例5若不等式 在 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）上恒成立，則 的最小值為（ ）.

A. （20 B.e C.e-1 D.e2

0 注意到 與 互為反函數(shù)，且 是凸函數(shù)，所以

分離參數(shù)得 在 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）上恒成立，易得 恒成立，所以 .又 m gt; 0 ，所以 的最小值為 ，故選A.

例6（2020年山東卷21，節(jié)選）已知函數(shù) .若 f （ x ）?1 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.

由 f （ x ）?1 ，可得 因為 y = （20 與 互為反函數(shù)，所以這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y = x 對稱，則

即 在 （ 0 ， + ∞ 上恒成立.令 0），則 g （ x ）在 （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減，則 ，故實數(shù) a 的取值范圍是 [ 1 ， + ∞ ） L

利用反函數(shù)、原函數(shù)與函數(shù) y = x 的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，思路清晰明了，但是對考生的觀察分析和數(shù)據(jù)處理能力要求極高.

4與反函數(shù)有關(guān)的綜合問題

例7 （多選題）已知 ， 則（ ）.

A. B. C. D.2agt;e1-↓

對于A，因為 與 解析與 互為反函數(shù)，所以 1 lt; b ，則 ，故A正確.

對于B，若 ，則 .因為 是增函數(shù)，且 a lt; 1 lt; b ，所以 不可能成立，故B錯誤.

對于C，因為 ，所以 ，則 1+1gt;e2，這與e2≥+1矛盾，故C錯誤.

對于D，因為 （當(dāng)且僅當(dāng) x = 1 時，等號成立），且 bgt;1 ，所以 ，故D正確.綜上，選AD.

例8 （多選題）已知函數(shù) 的圖像與 y = 的圖像相交于 A ， B 兩點，與函數(shù) 的圖像相交于 C， D 兩點，若 A ， B ， C ， D 四點的橫坐標(biāo)分別為 ，且 ，則下列結(jié)論正確的有（ ）.

A. C. D 如圖2所示，因為 與 互為反函數(shù)，且 的反函數(shù)是其本身，所以點 A 與 C， B 與 D 關(guān)于直線 y = x 對稱，則 ， ，故選項C、選項B與選項A是等價的.

設(shè)函數(shù) 由題意可知 因為

所以 都是 f （ x ） 的零點.又 在 （ - ∞ ， 1 ） ， （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，所以 ，即 且 ，因此 ，故D錯誤.

綜上，選ABC.

點在多選題中結(jié)合等式、不等式、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖像特征等知識綜合考查反函數(shù)，可以培養(yǎng)學(xué)生信息提取、思維轉(zhuǎn)化、綜合分析等能力.這類題符合近年來實現(xiàn)高考由“以綱定考”到“考教銜接”的方針.因此，筆者認(rèn)為求解這類題不應(yīng)只注重技巧，還應(yīng)把握問題本質(zhì)，弄透教材中的概念.

反函數(shù)知識本身不難，但是與反函數(shù)相關(guān)的知識豐富多彩，因此近年來命題者常常以反函數(shù)為載體綜合其他知識命制試題.反函數(shù)是熱門考點，近年來從顯性考查逐步向隱性考查過渡，學(xué)生在做題時應(yīng)學(xué)會利用原函數(shù)與反函數(shù)的對應(yīng)法則具有互逆性、原函數(shù)與反函數(shù)的定義域與值域具有互逆性、原函數(shù)與反函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性具有一致性、原函數(shù)與反函數(shù)的圖像具有對稱性等來轉(zhuǎn)化問題.在學(xué)習(xí)反函數(shù)時，結(jié)合反函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)系適當(dāng)拓展知識面，同時注重從表面看似與反函數(shù)無關(guān)的試題中提取反函數(shù)信息是十分必要的.在解題中，若能正確把握反函數(shù)的實質(zhì)，靈活運用原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，有時可達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，進(jìn)而提高解題的速度和準(zhǔn)確性.

（完）