導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用解密

導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即導(dǎo)數(shù)值 表示曲線(xiàn) y = f （ x ） 在點(diǎn) 處切線(xiàn)的斜率，其充分體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.切線(xiàn)問(wèn)題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，具有一定的綜合性.縱觀近十年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題是考查的一大熱點(diǎn).基于此，本文借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)高考試題的考查方向進(jìn)行分類(lèi)解析.

1單切線(xiàn)問(wèn)題

單切線(xiàn)問(wèn)題是指一個(gè)函數(shù)圖像的切線(xiàn)問(wèn)題，主要包括在某點(diǎn)處型、過(guò)某點(diǎn)型和參數(shù)的值或取值范圍型三類(lèi).

1. 1 在某點(diǎn)處型

求解切線(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵是找切點(diǎn)，然后根據(jù)切點(diǎn)求切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而求得切線(xiàn)的方程.可以將此思路總結(jié)為“十二字口訣”：抓切點(diǎn)，求斜率；點(diǎn)斜式，寫(xiě)方程.事實(shí)上，切線(xiàn)問(wèn)題主要圍繞切點(diǎn)展開(kāi)，當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，可以先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，

例1（2019年全國(guó)Ⅱ卷文10）曲線(xiàn) y = 2 sinx+ cos x 在點(diǎn) （ π ， - 1 ） 處的切線(xiàn)方程為（ ）.

A. x - y - π - 1 = 0 B . 2 x - y - 2 π - 1 = 0

C. 2 x + y - 2 π + 1 = 0 （24 D. x + y - π + 1 = 0

因?yàn)? ，且切點(diǎn)為 （ π ， - 1 ） ，所以切線(xiàn)的斜率為 - 2 ，故切線(xiàn)方程為 y + 1 = - 2 （ x - π ） ，即 2 x + y - 2 π + 1 = 0 ，故選C.

切線(xiàn)問(wèn)題要牢牢抓住切點(diǎn)，不論是求斜率還是寫(xiě)點(diǎn)斜式方程，都需要用到切點(diǎn)的坐標(biāo).

例2（2016年全國(guó)Ⅲ卷文16）已知 f （ x ） 為偶函數(shù)，當(dāng) x?0 時(shí)， ，則曲線(xiàn) y = f （ x ） （2號(hào)在點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)方程為

當(dāng) 時(shí)， - xlt; 0 ，則 因?yàn)?f （ x ） 為偶函數(shù)，所以當(dāng) x gt; 0 時(shí)，有

因?yàn)? ，切點(diǎn)為（1，2），所以切線(xiàn)的斜率為 ，故切線(xiàn)方程為 y - 2 = 2 （ x - 1 ） ，即 y = 2 x

本題也可以這樣求解：因?yàn)?f （ x ） 為偶函數(shù)，所以 ，則 故 ，后續(xù)直接對(duì) x 求導(dǎo)即可完成.

1. 2 過(guò)某點(diǎn)型

過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，一般未明確切點(diǎn)的坐標(biāo)，需要先設(shè)出切點(diǎn) ，得到切線(xiàn)的方程，再由切線(xiàn)過(guò)已知點(diǎn)得到關(guān)于 的方程，進(jìn)而解出 ：

例3（2021年全國(guó)乙卷文21，節(jié)選）已知函數(shù) ，求曲線(xiàn) y = f （ x ） 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn) y = f （ x ） 的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由 ，可得切線(xiàn)的斜率為 ，故切線(xiàn)方程為 即

因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 ，解得 ，故切線(xiàn)方程為 y = （ a + 1 ） x .聯(lián)立直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程可得 解得， 或 即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)與曲，線(xiàn) y = f （ x ） 有兩個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為 （ 1 ， a + 1 ） 和（ - 1 ， - a - 1 ）

本題中切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，但沒(méi)有明確給出切點(diǎn)的位置，故需要設(shè)出切點(diǎn).在求切點(diǎn)的橫坐標(biāo) 以及切線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，涉及解三次方程（組），對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高.

例4（2022年新高考Ⅱ卷14）曲線(xiàn) 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程為

當(dāng) 時(shí)， 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則切線(xiàn)的斜率為 故切線(xiàn)方程為 ，即 又切線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ，解得 ，故切線(xiàn)方程為

由于 為偶函數(shù)，結(jié)合圖像的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng) xlt;0 時(shí)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為 綜上，所求切線(xiàn)方程為

求解本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)不明確，必須設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；二是需要分別求 時(shí)曲線(xiàn) 的切線(xiàn)方程和 x lt; 0時(shí)曲線(xiàn) 的切線(xiàn)方程，但結(jié)合函數(shù)的奇偶性與圖形的對(duì)稱(chēng)性可以判斷兩條切線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，由此可以減小運(yùn)算量.

1.3參數(shù)的值或取值范圍型

高考試題中還有一類(lèi)含參數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題，參數(shù)既可能在函數(shù)解析式中，又可能在切點(diǎn)坐標(biāo)中.此類(lèi)問(wèn)題一般是要根據(jù)題設(shè)條件求參數(shù)的值或取值范圍.

例5 （2014年全國(guó)I卷理21，節(jié)選）設(shè)函數(shù) ，曲線(xiàn) y = f （ x ） 在點(diǎn)（1，f （ 1 ） ）處的切線(xiàn)方程為 y = e（ x - 1 ） + 2 ，求

對(duì) f （ x ） 求導(dǎo)得 （ln 解析

.因?yàn)榍€(xiàn) y = f （ x ） 在點(diǎn) （ 1 ， f （ 1 ） ） 處的切線(xiàn)方程為 y = e（ x - 1 ） + 2 ，所以 因此 解得 求解此類(lèi)問(wèn)題的邏輯本質(zhì)是：1）求切線(xiàn)的斜率 切點(diǎn)的雙重性，即切點(diǎn)

）既在函數(shù)圖像上，也在切線(xiàn)上.本題在求解時(shí)，也可以先求出切線(xiàn)方程，再由求得的切線(xiàn)與直線(xiàn) y = e（ x - 1 ） + 2 重合得到答案，過(guò)程如下：因?yàn)榍悬c(diǎn)坐標(biāo)為 （ 1 ， b ） ，且切線(xiàn)斜率 ，故切線(xiàn)方程為 y-b= a e（x- 1 ） ，即 y = a ex - a e+ b . 因此，直線(xiàn) y=aex-ae+b 與 y = e（ x - 1 ） + 2 重合，解得

即{a=1， ，

例6（2022年新高考 I 卷15）若曲線(xiàn) y = （ x + 有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，則 a 的取值范圍是

解析 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，而 " （x +a" + 1） e＇ ，故切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)方程為

因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則

即 ，又過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條，即關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不同的解，所以 ，解得 alt; - 4 或 ，故 a 的取值范圍為（ - ∞ ， - 4 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ） .

先根據(jù)設(shè)出的切點(diǎn)求得切線(xiàn)方程，再將有兩條過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的而求得參數(shù) 的取值范圍.

例7（2021年新高考I卷7）若過(guò)點(diǎn) Ψ（ a Ψ， b Ψ） 可以作曲線(xiàn) 的兩條切線(xiàn)，則（ ）.

A. B.

C.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，而 ，故切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)方程為 .因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn) （ a ， b ） ，則 ，即 .又過(guò)點(diǎn) （ a ， b ） 的切線(xiàn)有兩條，即關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不同的解，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn) y = b 與曲線(xiàn) f （ x ） = 恰有兩個(gè)公共點(diǎn).

由導(dǎo)數(shù)法判斷 f （ x ） 的單調(diào)性： ，當(dāng) x ；當(dāng) x gt; a 時(shí)， ，即f （ x ） 在 （ - ∞ ， a ） 上單調(diào)遞增，在 （ a ， + ∞ 上單調(diào)遞減.

當(dāng) 時(shí)， f （ x ）0 ；當(dāng) x → + ∞ 時(shí)， f （ x ） - ∞ ，故 f （ x ） 的大致圖像如圖1所示.顯然，當(dāng)直線(xiàn)y = b 與曲線(xiàn) 恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， ，故選D.

。點(diǎn)除了上述的解法外，還可以利用圖像更直觀、迅速地求解：畫(huà)出曲線(xiàn) 的圖像，如圖2所示，只有點(diǎn) （ a ， b ） 在曲線(xiàn) 下方且在 x 軸上方時(shí)，才可以作出兩條切線(xiàn)，故 .這是基于對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像的清晰理解與認(rèn)識(shí)直觀解決問(wèn)題的有效方法.

2 公切線(xiàn)問(wèn)題

當(dāng)一條直線(xiàn)與兩條曲線(xiàn)都相切時(shí)，此即公切線(xiàn)問(wèn)題，解題時(shí)需要分別抓住兩條曲線(xiàn)的切點(diǎn).需要注意的是，公切線(xiàn)與兩曲線(xiàn)是相切于同一點(diǎn)還是不同的兩點(diǎn).公切線(xiàn)問(wèn)題可分為三類(lèi)：一是兩函數(shù)圖像的公切線(xiàn)問(wèn)題；二是混合型公切線(xiàn)問(wèn)題；三是參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.

2.1兩函數(shù)圖像的公切線(xiàn)問(wèn)題

當(dāng)曲線(xiàn) f （ x ） 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)與曲線(xiàn) g （ x ） 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)重合時(shí)，此重合直線(xiàn)即為兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)，據(jù)此可求得兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)方程.

例8（2016年全國(guó) I 卷理16）若直線(xiàn) b 是曲線(xiàn) 的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn) 的切線(xiàn)，則 b =

設(shè)直線(xiàn) y = k x + b 與曲線(xiàn) 相切于點(diǎn) ，而 ，故切線(xiàn)的斜 率 ，切線(xiàn)方程為 ，即

設(shè)直線(xiàn) y = k x + b 與曲線(xiàn) y =

相切于點(diǎn) ，而 故 切線(xiàn)的斜率 切線(xiàn)方程為

，即

因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)重合，所以

解得 所以 公切線(xiàn)與兩曲線(xiàn)分別相切，切點(diǎn)可能是同一點(diǎn)，也可能不是同一點(diǎn)，因此不能把切點(diǎn)當(dāng)成同一點(diǎn)去解題，學(xué)生很容易犯以偏概全的錯(cuò)誤.

例9（2019年全國(guó)Ⅱ卷理20，節(jié)選）已知函數(shù) 設(shè) 是 f （ x ） 的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線(xiàn) 在點(diǎn) ）處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn) 的切線(xiàn).

證明本題等價(jià)于證明：存在實(shí)數(shù) ，使得曲線(xiàn) 在某點(diǎn) 處的切線(xiàn)與曲線(xiàn) 在點(diǎn) ）處的切線(xiàn)重合.

先求曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)因?yàn)? ，且切點(diǎn)為 ），故切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)方程為 即

再求曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程.因?yàn)? ，切點(diǎn)為 ，故切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)方程為 ，即

由兩條切線(xiàn)重合得

解 ① 得

又 是 f （ x ） 的一個(gè)零點(diǎn)，即 ln 所以 當(dāng) 時(shí)， ，所以 也滿(mǎn)足方程 ② ，故方程 ② 的根為

綜上，曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn) 的切線(xiàn).

點(diǎn)本題別出心裁，將公切線(xiàn)問(wèn)題以證明題的形式出現(xiàn)，并與零點(diǎn)問(wèn)題相結(jié)合，考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.2 混合型公切線(xiàn)問(wèn)題

高考試題中也考查不同類(lèi)型曲線(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題，即混合型公切線(xiàn)問(wèn)題.

例10 （2020年全國(guó)Ⅲ卷理10）若直線(xiàn)與曲線(xiàn) 和 都相切，則 l 的方程為（ ）.

A. y = 2 x + 1 B.

0 設(shè)直線(xiàn) l 與曲線(xiàn) 相切于點(diǎn) ，解析 ，而 ，故切線(xiàn) 的斜率為 k =

，切線(xiàn) 的方程為

即

又 ι 與圓 相切，所以圓心 O 到直線(xiàn) l 的距離等于半徑，即 解得 （舍）或1.

因此，l的方程為 x - 2 y + 1 = 0 ，即 故選D.

本題有兩種不同類(lèi)型的曲線(xiàn)，混合型公切線(xiàn)問(wèn)題同樣可以采用前述方法來(lái)解決.

2.3參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題

和單切線(xiàn)問(wèn)題類(lèi)似，公切線(xiàn)問(wèn)題中也有一類(lèi)求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，需要借助方程思想與函數(shù)思想求解.

例11 若存在過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)與曲線(xiàn) 4x-9都相切，則a=（

A. - 1 或 B. - 1 或

設(shè)曲線(xiàn) 上的切點(diǎn)為 ，則切線(xiàn)的斜率為 ，故切線(xiàn)方程為 ，即

設(shè)曲線(xiàn) 上的切點(diǎn)為 4x2－9），則切線(xiàn)的斜率為k2=2ax2 故切線(xiàn)方程為 ，即

由直線(xiàn) 與 重合且過(guò)點(diǎn)（1，0）得

[x1=0， 324 x1= 2，解得 x2=5’或 25 x2 3則 2 a = - 1 或 64故a=64 a=-1，選A.

先分別求出兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，再利用兩切線(xiàn)重合建立關(guān)于 及 a 的方程組，由此解出 a 的值.

例12（2022年全國(guó)甲卷文20）已知函數(shù) ，曲線(xiàn) y = f （ x ） 在點(diǎn)（"x" 1"， f （x "1 ） ）"處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn) 的切線(xiàn).

（1）若 ，求 ;

（2）求 的取值范圍.

（1）若 ，則切線(xiàn)與曲線(xiàn) y = f （ x ） 相 切于點(diǎn) （ - 1 ， 0 ） ，而 ，故切線(xiàn) 的斜率為 ，切線(xiàn)方程為 y = 2 （ x + 1 ） ，即 y = 2 x + 2

設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn) y = g （ x） 相切于點(diǎn) ， 而 ，故切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn) 方程為 ，即

由兩切線(xiàn)重合得 解得 ，

（2）由于切線(xiàn)與曲線(xiàn) y = f （ x ） 切于點(diǎn) ，而 ，故切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)方程為 1 ），即

由（1）知曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為 ，故 整理得

人 ，參數(shù) 的取值范圍就是函數(shù) h （ x ） 的值域.因?yàn)? 3 x = 3 x （ x - 1 ） （ 3 x + 1 ） ，且其有三個(gè)零點(diǎn) 所以隨著 x 的變化， 與 h （ x ） 的變化情況如表1所示，則函數(shù) h （ x ） 的值域?yàn)?[ - 1 ， + ∞ ） ，即 a 的取值范圍為 [ - 1 ， + ∞ ）

第（1）問(wèn)中給出了曲線(xiàn) f （ x ） 上切點(diǎn)的坐標(biāo)，實(shí)際上就給定了切線(xiàn)，從而借助方程的思想解出曲線(xiàn) g （ x ） 上切點(diǎn)的坐標(biāo)及參數(shù) a 的值.第（2）問(wèn)隱去了 的值，使問(wèn)題演變?yōu)榍€(xiàn) f （ x ） 與 g （ x ） 存在公切線(xiàn)時(shí)求參數(shù) a 的取值范圍.

3 隱切線(xiàn)問(wèn)題

高考試題中也經(jīng)常出現(xiàn)這樣一類(lèi)問(wèn)題：題面上不出現(xiàn)“相切”“切線(xiàn)\"等字眼，但求解時(shí)需要用到曲線(xiàn)的切線(xiàn).求解這類(lèi)隱切線(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出這條隱藏的切線(xiàn).隱切線(xiàn)問(wèn)題有兩類(lèi)：一是大小關(guān)系中的隱切線(xiàn)；二是交點(diǎn)個(gè)數(shù)中的隱切線(xiàn).

3.1大小關(guān)系中的隱切線(xiàn)

例13已知函數(shù) 若 ， ∣ f （ x ） ∣ ? a x ，則 a 的取值范圍是

作出山函數(shù) y = ∣ f （ x ） ∣ 的大致 圖像，如圖3所示.從形的 角度看， ，即 曲線(xiàn) 在直線(xiàn) y = a x 的上方.結(jié)合圖形， 直線(xiàn) y = a x 應(yīng)處于曲線(xiàn)

在原點(diǎn)處的切線(xiàn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 x 軸這一過(guò)程中的某一位置.

由 ，得 ，則曲線(xiàn) 2 x 在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為 ，所以 a 的取值范圍是 [ - 2 ， 0 ]

本題中利用函數(shù)圖像的位置關(guān)系來(lái)反映代數(shù)式的大小關(guān)系，其中曲線(xiàn)的切線(xiàn)位置恰好臨界位置.

3.2交點(diǎn)個(gè)數(shù)中的隱切線(xiàn)

例14（2013年湖北卷理10）已知 為常數(shù)，函數(shù) f （ x ） = x （ ）有兩個(gè)極值點(diǎn) （204號(hào) ），則（ ）.

由于函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ，則 是

lr 的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程 的 兩個(gè)根，即曲線(xiàn) 與直線(xiàn) 的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).如圖4所示，過(guò)點(diǎn) （ 0 ， - 1 ） 作曲線(xiàn) 的切線(xiàn).設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線(xiàn)的斜率為 故切線(xiàn)方程為 y - ln ，即

因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn) （ 0 ， - 1 ） ，所以 ，即 ，故切線(xiàn)方程為 y = x - 1 . 結(jié)合圖形可知 0 lt; 2 a lt; 1 ，即 ，且

當(dāng) 時(shí)， ，即 ，所以 f （ x ） 在 上單調(diào)遞增，則 ，即 ，故

綜上，選D.

本題的實(shí)質(zhì)是函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化為定曲線(xiàn) 與動(dòng)直線(xiàn) y = 2 a x - 1 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再借助切線(xiàn)與割線(xiàn)求解.

（完）