琴生不等式的教材溯源及其應(yīng)用

琴生不等式是數(shù)學(xué)中一個重要的不等式，它描述了凸（凹）函數(shù)在數(shù)值平均與函數(shù)平均之間的不等式關(guān)系，在證明不等式和處理凸（凹）函數(shù)相關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用

1琴生不等式的教材溯源

琴生不等式在高中階段是沒有作具體要求的，因為它是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的重要工具.雖然高中階段沒有對它作具體要求，但它的身影卻出現(xiàn)在教材中.

引例（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第101頁第8題，節(jié)選）若 ，證明：

證明由 ，可得

則

當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，所以

2 知識儲備

2.1 凸（凹）函數(shù)的定義

定義設(shè) f （ x ） 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)，若對I 上的任意兩點 和任意實數(shù) λ ∈ （ 0 ， 1 ） ，總有

則稱 f （ x ） 為 I 上的凸函數(shù).反之，如果總有 則稱 f （ x ） 為 I 上的凹函數(shù).

2.2 凸（凹）函數(shù)的判斷

定理設(shè) f （ x ） 為區(qū)間 I 上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在 I 上 f （ x ） 為凸（凹）函數(shù)的充要條件是

根據(jù)上面的定理，易得常見的凸（凹）函數(shù)如下：

（ a gt; 1 ? 在定義域內(nèi)是凹函數(shù)； 在定義域內(nèi)是凸函數(shù).

（ ∣ a gt; 0 ，且 a ≠ 1 ）在定義域內(nèi)是凸函數(shù).

在 （ 0 ， + ∞ ）上是凸函數(shù)； 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是凹函數(shù).

4 ） f （ x ） = sinx 在 （ - π + 2 k π ， 2 k π ） （ k ∈ R） 上是凸函數(shù)，在 （ 2 k π ， π + 2 k π ） （ k ∈ R） 上是凹函數(shù).

在 ）上是凹函數(shù)，在 凸函數(shù).

6）f（x）=tan x 在（kπ， 上是凸函數(shù)，在 π+kπ，kπ）（k∈R）上是凹函數(shù).

2.3 琴生不等式的定義

若 f （ x ） 為 [ a ， b ] 上的凸函數(shù)，則對任意 ， ，有 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.反之，若f （ x ） 為 [ a ， b ] 上的凹函數(shù)，則 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.

3琴生不等式的應(yīng)用

3.1二維琴生不等式的應(yīng)用

例1 設(shè) ，若 0 lt; a lt; b · ，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）.

A. B.q=rgt;p C.

易知 f （ x ） 是增函數(shù).由 0 lt; a lt; b ，可得解析 √ab，所以f（a+b） ，即q gt; P ".因為 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ）上是凹函數(shù)，所以 又 0 lt; a lt; b ，所以 q gt; r

由 ，可得 ，可得 ，即 p = r ，故選C.

例2（2024年北京卷9）已知 是函數(shù) 的圖像上兩個不同的點，則（ ）.

A. log2 B. log2 C. log2 D.

O 方法1由題意可得 是函解析 數(shù) 的反函數(shù) 的圖像上兩個不同的點.因為 在 （ 0 ， + ∞ ）上是凹函數(shù)，且 ，所以 則

，故選B.

方法2 由題意可知 ， .記 ，易知 f （ x ） 是凸函數(shù).

又 ，所以

則 ，即 ，所以

故選B.

例3（2020年新高考 I 卷11，多選題）已知 a gt; ，且 a + b = 1 ，則（ ）.

C.

對于選項A，令 ，易知 f （ x ） 在（0，解析 + ∞ ）上為凸函數(shù)，所以 則 .又因為 a + b = 1 ，所以 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，故A正確.

對于選項B，因為 a gt; 0 ， b gt; 0 ，且 a + b = 1 ，所以a+1gt;b，則2a-bgt;2 故B正確.

對于選項C，令 ，易知 g （ x ） 在（0， + ∞ ）上是凹函數(shù)，則 ，故

又a+b=1，所以log2a+logzb≤2log2即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，故C錯誤.

對于選項D，令 ，易知 在（0，+ ∞ ） 上是凹函數(shù)，則 ，故 （204號 又 a + b = 1 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，故D正確.

綜上，選ABD.

例4設(shè) a gt; 0 ， b gt; 0 ，且 ，證明： a + b?2

證明令 ，易知 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是 凸函數(shù)，則

所以 .又 ，所以 a + b ? 2 當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 1 時，等號成立.

例5（2020年全國 I 卷理17）在△ABC中，

（1）求 A 的值；

（2）若 B C = 3 ，求△ABC周長的最大值.

求解過程略）.

（2）設(shè) Δ A B C 的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，由正弦定理可得

則

易知 y = sinx 在 [ 0 ， π ] 上是凹函數(shù)，所以

又 所以

即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，所以 a + b + c 的最大值為 ，即△ABC周長的最大值為

3.2 三維琴生不等式的應(yīng)用

例6已知函數(shù) f （ x ） = 2 sin x + sin 2 x ，則 f （ x ） 的最小值是

易知 在 [ 0 ， π ] 上是凹函數(shù)，則

f （ x ） = 2 sin x + sin 2 x =

sin x + sin x + sin （ π - 2 x ） ?

當(dāng)且僅當(dāng) x = π - 2 x ，即 時，等號成立.因為f （ x ） 是奇函數(shù)，所以 故 f （ x ） 的最小"值是

例7設(shè) ，且 x + y + z = 1 ，求 （ x - 的最小值

令 ，易知 f （ x ） 是凸函數(shù)，則

所以

化簡得 當(dāng)且僅當(dāng)x - 1 = y + 1 = z + 1 ，且 x + y + z = 1 ，即 時，等號成立，所以 的最小值為

例8若 為正數(shù)，且 ，證明： a + b + 2 c ? 3

證明令 ，易知 f （ x ） 是凸函數(shù)，則

所以

又 ，所以 a + b + 2 c ? 3 ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 2 c ，且 ，即 時，等號成立，所以 a + b + 2 c ? 3

利用琴生不等式可以解決很多以凸（凹）函數(shù)為載體或背景的不等式問題，尤其是已知 x + y + ? s + z 為定值，求 f （ x ） + f （ y ） + ? s + f （ z ） 的最值或取值范圍問題，或已知 f （ x ） + f （ y ） + ? s + f （ z ） 為定值，求x + y + ? s + z 的最值或取值范圍問題，使用琴生不等式來求解非常方便.當(dāng)然熟練掌握琴生不等式的整體結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確選擇適合題意的函數(shù)，明確其凸凹性，是運用好琴生不等式的關(guān)鍵，

（完）