拓廣探索 教考銜接

12（1.2.）

2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試（以下簡稱2025年八省聯(lián)考）高中數(shù)學(xué)試題由教育部統(tǒng)一命制，主要是針對第五批高考綜合改革的八個省、自治區(qū)進(jìn)行的一次大規(guī)模的調(diào)研考試.2025年八省聯(lián)考具有影響力大、權(quán)威性高、導(dǎo)向性強(qiáng)等特點(diǎn).深入研究2025年八省聯(lián)考試題具有一定的理論價值與實踐意義，能為2025屆高三師生備戰(zhàn)高考提供方向性指引.基于此，本文聚焦2025年八省聯(lián)考第10題，對試題進(jìn)行追根溯源和拓展探究，希望能對學(xué)生備戰(zhàn)高考有所啟發(fā).

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2025 年八省聯(lián)考10，多選題）在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵函數(shù).雙曲正切函數(shù)是一種激勵函數(shù).定義雙曲正弦函數(shù)sinh ，雙曲余弦函數(shù)cosh x = （204號 ，雙曲正切函數(shù)tanh ，則（ ）.

A.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B.雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù) 對于選項A，給出以下兩種方法.

方法1雙曲正弦函數(shù)

易知 都是增函數(shù)，從而雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確.

方法2令 ，則 e+egt;0恒成立，所以雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確.

對于選項B，給出以下兩種方法.

方法1易知雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，從而雙曲余弦函數(shù)在定義域 上不單調(diào)，故B錯誤.

方法2 令g（x）=cosh ，則 ，故 由選項A可知 為增函數(shù)，當(dāng) x ∈ （ - ∞ ， 0 ） 時， ，當(dāng) x ∈ （ 0 ，+ ∞ ） 時， ，所以 g （ x ） 在 （ - ∞ ， 0 ） 上單調(diào)遞減，在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，故B錯誤.

對于選項C，給出以下兩種方法.

令 h （ x） = t a n hx ，則

方法1由 在 上單調(diào)遞增，且 y = ，則 h （ x ） 是增函數(shù)，故C正確.

方法2 易知

則 h （ x ） 是增函數(shù)，故C正確.

對于選項D，由選項C可知tanh

所以 ，故D正確.

綜上，選ACD.

2 教材銜接

人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第160頁的第6題和第161頁的第12題與此題緊密相關(guān)，可以肯定的是這兩道教材習(xí)題就是該題命題之源，

2.1 習(xí)題呈現(xiàn)

習(xí)題1（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第160頁第6題）設(shè) ，求證：

（1） （204號 （2） f （ 2 x ）=2 f （ x ） g （ x ） = （3）

利用簡單代數(shù)運(yùn)算即可證明，解答過程略.

習(xí)題2（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第161頁第12題）對于函數(shù)f（x）=a－2 0 ·

（1）探索函數(shù) f （ x ） 的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù) a 使函數(shù) f （ x ） 為奇函數(shù)？

解答過程類似2025年八省聯(lián)考第10題的選項C的解答過程.

2.2 命題意圖

兩道習(xí)題所在位置是人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第四章的章末習(xí)題，2025年八省聯(lián)考第10題可以視為這兩道習(xí)題的進(jìn)一步拓展與延伸，結(jié)合習(xí)題位置對比A，B，C三個選項中的方法1和方法2，命題人青睞考生用方法1進(jìn)行解答，考查“多思少算”的思維品質(zhì).由于函數(shù)單調(diào)性的定義與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)間隔時間長，學(xué)生遇到單調(diào)性問題就會產(chǎn)生慣性思維，首選用導(dǎo)數(shù)來研究，難以想到拆分函數(shù)解析式，借助函數(shù)單調(diào)性的定義來判斷.這樣的解法，增加計算量，降低解題效率.此外對于選項C，無論是運(yùn)用方法1還是方法2求解，都需要將雙曲正切函數(shù)tanh x 轉(zhuǎn)化為 e+1'從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，主要考查學(xué)生化繁為簡、拆分復(fù)雜函數(shù)為簡單函數(shù)的能力.對于選項D，命題人希望通過該選項將數(shù)學(xué)知識面廣、數(shù)學(xué)能力強(qiáng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)高及綜合表現(xiàn)突出的考生識別出來.

3 拓廣探索

3.1 雙曲函數(shù)的歷史溯源

雙曲函數(shù)最初由17世紀(jì)數(shù)學(xué)家雅可比·伯努利提出：兩端系于兩個固定點(diǎn)的均勻繩索，在僅受其自身重力的作用下形成的曲線是什么曲線？他本人和伽利略起初都誤認(rèn)為是一條拋物線.但是，后來他和其他數(shù)學(xué)家用微分方程推導(dǎo)出其曲線方程為 ，并稱之為懸鏈線.當(dāng) a = 1 時，其方程為雙曲余弦函數(shù).在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù).基本的雙曲函數(shù)包括雙曲正弦函數(shù)sinh x 、雙曲余弦函數(shù)cosh x 以及雙曲正切函數(shù)tanh x ，它們的定義可參考2025年八省聯(lián)考第10題的題干.此外，還有雙曲正割函數(shù)sech x 、雙曲余割函數(shù)csch x 、雙曲余切函數(shù)coth x 等.這些函數(shù)的定義與推導(dǎo)過程類似于三角函數(shù)的定義與推導(dǎo).同樣地，類似于三角函數(shù)，雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).為拓寬學(xué)生的知識視野，可適度挖掘試題蘊(yùn)含的知識背景，鑒于雙曲函數(shù)及反函數(shù)的內(nèi)容較多，本文只介紹與2025年八省聯(lián)考第10題類似的性質(zhì)，其論證過程類似2025年八省聯(lián)考第10題的解答過程，感興趣的讀者可自行完成.

3.2 雙曲函數(shù)的定義

雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)的定義見上述八省聯(lián)考第10題的題干，下面介紹雙曲正割函數(shù)、雙曲余割函數(shù)、雙曲余切函數(shù)相關(guān)定義.

雙曲正割函數(shù)：

雙曲余割函數(shù)：

雙曲余切函數(shù)：

3.3 基本關(guān)系

平方關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系：tanh x=sinh x.

倒數(shù)關(guān)系：tanh x coth x = 1 ，sinh x csch x = 1 cosh x sech x = 1

倍角關(guān)系：

sinh 2 x = 2 sinh x cosh x .

加法公式：

sinh （ x + y ） = sinh x cosh y + cosh x sinh y ， cosh （ x + y ） = cosh x cosh y + sinh x sinh y ，

減法公式：

sinh （ x - y ） = sinh x cosh y - cosh x sinh y ， cosh （ x - y ） = cosh x cosh y - sinh x sinh y ， （2號

輔助角公式：

A sinh x + B cosh x = λ sinh （ x + w ） （ A gt; ∣ B ∣ gt; 0 ） ， （2其中λ=√A2-B2，

證明 #cosh x），類比三角函數(shù)輔助角公式尋找合適的入，ω ，使得

以上方程組對應(yīng)兩個關(guān)于 的一元二次方程，即

根據(jù)一元二次方程求根公式解得

不符合條件的根已直接舍去，從而 ，將 λ 回代可得 即 ，輔助角公式得證.

導(dǎo)數(shù)： ，

泰勒展開（同三角函數(shù)比較）：

注：泰勒展開蘊(yùn)含豐富的信息，例如，可以幫助學(xué)生更自然地理解雙曲函數(shù)中的平方關(guān)系、加法公式、減法公式、倍角公式與對應(yīng)三角函數(shù)相應(yīng)公式的差異之處.

反函數(shù)：

證明設(shè) y = sinh x ，則 ，從而

令 ，則

由一元二次方程的求根公式解得 （舍）或 ，故 ，所以

則arsinh .雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的反函數(shù)求解過程與此類似，感興趣的讀者可自行完成.

不等式鏈：cosh sinh x ? tanh x

證明 顯然cosh x -sinh 因為

所以tanh ，則

3.4雙曲函數(shù)的綜合應(yīng)用

例1若函數(shù) ）有唯一零點(diǎn)，則 a 的值為（ ）.

因為函數(shù) 有唯一零點(diǎn)，所以方程 f （ x ） = 0 有唯一的實根，即 有唯一的實根.令

因為雙曲余弦函數(shù) y = cosh x 的最小值為1，對稱軸方程為 x = 0 ，將函數(shù) y = cosh x 的圖像向右平移一個單位，再將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍即可得到函數(shù) 的圖像，所以 的最小值為2，且對稱軸方程為 x = 1 . 又二次函數(shù) 的最大值為1，對稱軸方程為 x = 1 ，所以 .故選C.

例2 （2018年全國Ⅱ卷理3）函數(shù) f （ x ） = 的圖像大致為（ ）.

因為 ，雙曲正弦函數(shù)

所以 ，由雙曲正弦函數(shù)的奇偶性可知f （ x ） 是定義域上的奇函數(shù)，故排除選項A.

因為 （x-2）e2+（x+2）e2，當(dāng)gt;2時， 單調(diào)遞增，故選項C和選項D錯誤.

綜上，選B.

例3 已知函數(shù) 且 ，則實數(shù) a 的取值范圍為

？ 因為 和 y = 解析 在 上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，所以 f （ x ） 在 上是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，故

又 f （ x ） 在 上單調(diào)遞增，所以 ，即

一例4將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可寫出懸鏈線的函數(shù)解析式為 f （ x ） = a cosh ，其中 為懸鏈線系數(shù)，cosh x 稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為cosh ，相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為sinh .若直線 x = m 與雙曲余弦函數(shù) 和雙曲正弦函數(shù) 分別相交于點(diǎn) A ， B ，曲線 在點(diǎn) A 處的切線與曲線 在點(diǎn) B 處的切線相交于點(diǎn) P ，則（ ）.

A. 是偶函數(shù)

B. cosh （ x + y ） = cosh x cosh y - sinh x sinh y C. ∣ B P ∣ 隨著 的增大而減小

D. Δ P A B 的面積隨著 的增大而減小

O 對于選項A， y = sinh x cosh 是

解析

奇函數(shù)，所以A錯誤對于選項B，有

此處相當(dāng)于將兩角差的雙曲余弦公式證明了一遍，若平時有積累，可直接判斷，故B錯誤.

對于選項C，設(shè) ，曲線 在 A 處的切線為

曲線 在點(diǎn) B 處的切線為

聯(lián)立兩切線方程得 ，從而

令 ，則

因為 和 都是增函數(shù)，所以 是增函數(shù)，則在 （ 0 ， + ∞ ） 上， ，所以 在 （ 0 ， + ∞ ）上隨著 的增大而增大，從而∣ B P ∣ 在 （ 0 ， + ∞ 上隨著 的增大而增大，故C錯誤.

對于選項 ，從而 隨著 的增大而減小，故D正確.

綜上，選D.

3.5基本關(guān)系試題命制

對雙曲函數(shù)知識進(jìn)行拓展不難發(fā)現(xiàn)，基本關(guān)系是試題命制的來源，通過改編的方式，能命制高質(zhì)量的試題.

試題1已知 ，則不等式 f （ 2 t ） - f （ t - 1 ）≥0 的解集為

答案

試題2若 是偶函數(shù)，則 a =_

答案 - 2

試題3設(shè) f （ x ） ， g （ x ） 的定義域為 ，且滿足f （ x - y ） = f （ x ） g （ y ） - f （ y ） g （ x ） ， g （ x - y ） = ，則下列選項正確的是（ ）.

A. f （ x ） 為偶函數(shù) B. g （ x ） 為奇函數(shù) C.若 f （ 1 ） + g （ 1 ） = 1 ，則 - 1 D.若 f （ 1 ） - g （ 1 ） = 1 ，則

答案C.

試題4已知實數(shù) 滿足 ，則 ab的最小值是答案

4小結(jié)

通過對2025年八省聯(lián)考第10題的解法探究和知識拓展得出一些高考備考啟示.

首先，回歸教材，夯實基礎(chǔ).教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體表現(xiàn)，是學(xué)生復(fù)習(xí)備考的重要資料.教材覆蓋數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和核心概念，有益于建立完整的知識框架.高考命題以教材為依據(jù)，本著基于教材又高于教材的原則，例如，2025年八省聯(lián)考第10題，以教材習(xí)題為基點(diǎn)，以高等數(shù)學(xué)為背景，以新定義為手段，考查學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性、指數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識的掌握情況.后續(xù)的復(fù)習(xí)該如何回歸教材？筆者認(rèn)為：一是師生共同精讀教材，對教材中的概念、原理、例題等進(jìn)行深度閱讀與分析，標(biāo)注重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)；二是形成知識結(jié)構(gòu)，通過列提綱、畫思維導(dǎo)圖等方式，梳理教材中的知識點(diǎn)，形成知識網(wǎng)絡(luò)；三是重視教材的例題與習(xí)題，高三復(fù)習(xí)需要深挖教材的例題與習(xí)題，尤其針對拓廣探究欄目的習(xí)題，學(xué)生需要從試題解法、知識背景等方面進(jìn)行二次開發(fā)，達(dá)到鞏固和拓展延伸知識的目的.

其次，變式拓展，提升能力.復(fù)習(xí)備考并非簡單的知識羅列、解題技巧的訓(xùn)練，復(fù)習(xí)也是一種探究學(xué)習(xí).在解題中，學(xué)生需要思考解法的思維過程，例如，2025年八省聯(lián)考第10題四個選項的解答，主要考查函數(shù)單調(diào)性的求解策略，拆分法適用于解析式較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷.復(fù)習(xí)課的探究，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成的再理解、結(jié)論生成過程的再鞏固和解題方法的再發(fā)現(xiàn)，在探究過程中形成分析問題和解決問題的能力.

最后，強(qiáng)化思維，培育素養(yǎng).學(xué)生思維品質(zhì)、思維方式和思維模式的好壞，決定了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，會影響學(xué)生綜合性試題解決方式.從素養(yǎng)層面分析，2025年八省聯(lián)考第10題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，選項D的判斷，需要學(xué)生具備較好的指數(shù)運(yùn)算的能力；從思維方式層面分析，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的判斷，決定了學(xué)生思維的選擇性和靈活性.高三階段的復(fù)習(xí)備考中，強(qiáng)化學(xué)生思維是提高復(fù)習(xí)備考效果的關(guān)鍵.

（完）