探究三角形兩邊比值的取值范圍

1 引例

題目在△ABC中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，且 B C 邊上的高為 a，則 的最大值為（ ）.

A.8 B.6 C.32 D.4

解析 因為 B C 邊上的高為 ，所以

則 .由余弦定理得

整理得

即 .因為 A ∈ （ 0 ， π ） ，所以 A + 當 即 時， 4 sin （ A + 取得最大值4，所以 的最大值為4，故選D.

2分析解答，提出問題

本題的解答通過面積公式和余弦定理構(gòu)造出所要求的結(jié)論，將所要求的結(jié)論轉(zhuǎn)化為用三角形某個角的三角函數(shù)表示，并根據(jù)角的取值范圍求解三角函數(shù)的最值，構(gòu)思巧妙，解法簡捷，對學生的思維要求較高.那么能否用其他方法求解問題？對于本題，由于與具有倒數(shù)的特征，那么是否能構(gòu)造對勾函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為求解對勾函數(shù)的最值？基于上述想法，需要尋求 的取值范圍.

3 觀察圖形，猜想假設(shè)

分析題意，已知角A的對邊 B C = a 及 B C 邊上的高為 ，要求 的取值范圍.由于三角形的邊 BC和邊上的高均為定值，據(jù)此可知三角形的面積是定值，那么頂點 A 的位置就會在與邊 B C 平行且兩平行線間的距離為 的直線 l 上運動.現(xiàn)以BC所在直線為 x 軸， B C 的垂直平分線為 y 軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，則當點 A 落在 y 軸時， A B = A C ，b = c ，即 ;當點 A 在直線 l 上且向 x 軸負方向運動時， b gt; c ，即 ;當點 A 在直線 l 上且向 x 軸負方向運動到距離 y 軸無窮遠時， 且趨近于1.猜想當點 A 往 x 軸負方向移動時， 可能存在最大值.當點 A 在直線 l 上向 x 軸正方向運動時，同樣可以發(fā)現(xiàn) ，即 ；當點 A 在直線 上向 x 軸正方向運動且距離 y 軸無窮遠時， 并不是趨近于0而是趨近于1，同樣可猜想 具有最小值.

4數(shù)學實驗，驗證猜想

對于猜想，可利用數(shù)學實驗進行驗證，在圖2上，當點 A 在直線l上向左或向右運動時， 的數(shù)值變化情況如圖3所示，通過圖像可以發(fā)現(xiàn) 的變化規(guī)律.當?shù)谌吪c其邊上的高為定值時，以點 A 的橫坐標為自變量 x 的函數(shù)值隨 x 的變化圖像，從中能夠很清楚地看到函數(shù)的單調(diào)性以及存在極大值和極小值的情況.

5 實證檢驗，實踐運用

5.1 驗證猜想

為確定 的取值范圍，用坐標法求解，以BC所在直線為 x 軸、 B C 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系.不妨設(shè) （204號 ， ，且a gt; 0

當 m = 0 時， 當 m ≠ 0 時，有

當 m lt; 0 時，有

所以

當且僅當 即 時，等號成立.

當 mgt;0 時，有

所以

當且僅當 即 時，等號成立，所以

今 ，則 當 t = 1 ，即 b = c 時， ；當 或 時， ，所以 的最大值為4，故選D.

5.2 一般化問題

反思并提出新問題：在三角形中，若已知一條邊和這一條邊上的高，是否也能得到另外兩條邊比值的取值范圍？

以BC所在直線為 x 軸、 . B C 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系.不妨設(shè) ，且 a gt; 0

當 m = 0 時，

當 m ≠ 0 時，有

當 mlt;0 時，有

當 mgt;0 時，有

因此，""的取值范圍為

數(shù)學探究是數(shù)學學習的重要方式，本文以探究三角形兩邊比值的取值范圍為切入點，通過觀察發(fā)現(xiàn)、提出猜想、理論實證等一系列探究活動，得到了“已知三角形的一條邊以及這條邊上的高，可確定該三角形另外兩條邊比值的取值范圍\"的結(jié)論.這是一個有趣、優(yōu)美的公式，它不僅讓學生感受了數(shù)學的美，更能激發(fā)學生探究學習的欲望，獲得數(shù)學學習的成就感.期望本文的探究實踐，能為師生數(shù)學學習與探究提供一定的借鑒與啟示.

（完）