祖恒原理：跨越千年的幾何智慧，照亮體積計(jì)算的航道

1祖恒原理的數(shù)學(xué)史發(fā)展

祖晅原理是中國古代數(shù)學(xué)史上的重要成就，其發(fā)展脈絡(luò)也是球體體積公式的發(fā)現(xiàn)過程.

1. 1 《九章算術(shù)》中的公式

《九章算術(shù)》中記載：置積（立方）尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.相當(dāng)于給出了已知球的體積 V 求球的直徑的公式，即 d = 3根號(hào)下"1 6／ 9V球，則V球 = 9／ 1 6} d" 3

1.2劉徽的發(fā)現(xiàn)與牟合方蓋

魏晉時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)，發(fā)現(xiàn)其中關(guān)于球體的體積公式不準(zhǔn)確.他在正方體內(nèi)畫了一個(gè)內(nèi)切圓柱，再橫向畫了一個(gè)同樣的內(nèi)切圓柱，將兩個(gè)圓柱所包含的立方體共同部分（如圖1）取名為牟合方蓋，并計(jì)算發(fā)現(xiàn) V牟合方蓋·但根據(jù)《九章算術(shù)》中球體的體積公式知 球外切等邊圓柱，可是圓柱又比牟合方蓋大，顯然《九章算術(shù)》中球體的體積公式不準(zhǔn)確.雖然劉徽后來也未能找到計(jì)算牟合方蓋體積的方法，但他深入探索數(shù)學(xué)原理，首次提出了通過截面比較體積的創(chuàng)新方法，為后續(xù)數(shù)學(xué)理論的突破埋下了伏筆.

1.3 祖沖之父子的貢獻(xiàn)

祖晅站在父親祖沖之研究的基礎(chǔ)上，繼承了劉徽的截面思想，完善并正式提出了祖晅原理，將其系統(tǒng)化表述為“冪勢既同，則積不容異”.意思是夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

利用該原理，祖晅順利求出牟合方蓋的體積，他首先將求牟合方蓋的體積轉(zhuǎn)化為求立方體去掉牟合方蓋所剩余部分的體積，再發(fā)現(xiàn)剩余部分體積的 一個(gè)倒正四棱錐在任意等高處的截面面積總是相等的，則根據(jù)祖晅原理，剩余部分體積的 與該等高的倒正四棱錐的體積相等，于是問題最終轉(zhuǎn)化為求正四棱錐的體積，則V牟合方蓋= 3r，所以V球=

祖晅原理的發(fā)現(xiàn)過程不僅是球體體積公式的發(fā)現(xiàn)過程，還為計(jì)算不規(guī)則或不熟悉幾何體體積提供了思路和方法，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家從實(shí)踐探索到理論構(gòu)建，從解決具體問題到提煉普適原理的卓越智慧與不懈努力，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)了中國智慧.

2 祖恒原理

祖晅原理：“冪勢既同，則積不容異.\"其中“冪”是橫截面面積，“勢”是幾何體的高，“積”是幾何體的體積.祖晅原理是用來計(jì)算一些不規(guī)則的幾何體的體積的重要原理，在使用祖啦原理時(shí)，要注意幾何體的等高性；其次要保證在等高處，兩個(gè)幾何體被任意平行于底面的平面所截得的截面面積必須相等.這里的“等高處\"指的是兩個(gè)幾何體在高度方向上的相同位置.截面積相等是應(yīng)用祖晅原理的關(guān)鍵條件，它保證了在兩個(gè)幾何體中對應(yīng)高度的部分具有相同的體積.

3 祖恒原理的應(yīng)用

引例 利用祖晅原理推導(dǎo)半徑為 R 的球的體積公式.

分析1由球體的特征，可知上下兩個(gè)部分是對稱的，故只需求半球的體積，

由祖晅原理可知只需研究高 h （ 0 ? h ? R ） ）處的截面面積.由球的幾何特征知此截面為圓（如圖2），該圓的半徑為 ，故截面面積為 .觀察截面面積，其中 可以看作一個(gè)定圓的面積， 是變化的圓的面積，所以可以借助一個(gè)底面半徑為 R 、高為 R 的圓柱，挖去一部分幾何體來表示半球體的體積.此時(shí)可將求半球的體積問題轉(zhuǎn)化成求被挖去的幾何體的體積問題，而被挖去的幾何體是什么呢？

當(dāng) h = 0 時(shí)，截面圓的面積為 ；當(dāng) h = R 時(shí)，截面圓的面積為0，在高 h 處截面面積為 .要如何找到這個(gè)被挖去的幾何體？此時(shí)需要進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，當(dāng) h 從0到 R 變化時(shí)，這個(gè)被挖去的幾何體的截面圓的半徑從0到 R 變化，被挖去的這個(gè)幾何體是由上述變化的圓堆疊而成，那這些圓可以隨意擺放嗎？當(dāng)然可以.但是，沒有具體的公式計(jì)算這個(gè)被挖去的幾何體的體積，所以在轉(zhuǎn)化過程中要將原幾何體轉(zhuǎn)化為可以求且好求體積的幾何體.

可以將截面圓面積為0看成一個(gè)點(diǎn)，那么不妨思考底面是圓，且有一個(gè)頂點(diǎn)的幾何體是什么呢？很容易想到圓錐，于是可以將這些圓的圓心放置在過半球球心且垂直于半球底面的垂線上.此時(shí)可以直觀感受到被挖去的幾何體是底面半徑為 R 、高為 R 的倒置的圓錐（如圖3）.

這一結(jié)論是否正確呢？考慮過上、下底面圓心的軸截面，如圖4所示，只需證明高 h 處截去的圓與軸截面的交點(diǎn) D ，以及高 h 為0和 R 處截去的圓與軸截面的交點(diǎn) A ， B 在一條線上

設(shè) ，則 ，故 ，故線段 A B ， A D 與線段 的夾角都相等，則 A ， B ， D 三點(diǎn)共線，所以與半 球等高且在同高處橫截面面積相等的幾何體是底面 半徑為 R 的圓柱中挖去一個(gè)同底等高的倒置的圓 錐，則

故

分析2通過分析1得到高 h 處的截面面積為 ，其中 是邊長為定值 的正方形的面積， 是邊長為 的變化正方形的面積，則可以借助一個(gè)底面正方形邊長為 、高為 R 的長方體，挖去一個(gè)底面正方形邊長為 、高為 R 的正四棱錐（如圖5）來表示半球體的體積，故

祖晅原理的精髓在于化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.它不是直接去研究復(fù)雜幾何體的體積，而是從宏觀的、截面面積相等的角度去思考，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.在構(gòu)形方面，祖晅原理通常與球體、圓柱、圓錐、正棱柱、正棱錐等幾何體相結(jié)合.

在計(jì)算半球體的體積時(shí)，可以將半球體任意等高處的截面面積表示為一個(gè)定圓的面積減去一個(gè)動(dòng)圓的面積.這種變形方法不但簡化了計(jì)算過程，而且更加直觀地展示了祖晅原理的實(shí)質(zhì).這種構(gòu)形方法不但直觀易懂，而且能夠巧妙避開直接求球體體積的困難.

如圖6所示，廣州塔的整體輪廓可以看成是雙曲線的一部分繞虛軸旋轉(zhuǎn)得到的.以下是研究廣州塔的一個(gè)數(shù)學(xué)題型：將曲線 y ? 6 0 ， x gt; 0 ） 圍成的部分繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，直線 y = h （ 0 ? h ? 6 0 ） 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面圓的面積為；根據(jù)祖咂原理，構(gòu)造適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)或多個(gè)幾何體，則此旋轉(zhuǎn)體的體積為 （后文中將此旋轉(zhuǎn)體簡記為雙曲旋轉(zhuǎn)體）.

分析1將雙曲旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化成一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積之和.

令 y = h ，得 如圖7所示，高 h 處的截面面積為 ，則等高h(yuǎn) 處的截面面積是半徑分別為2和 的兩個(gè)圓的面積之和，其中截面面積為 4 π 的部分，可以看成半徑為2、高為60的圓柱;對于余下部分 ，當(dāng) h 從0變化到60時(shí)，半徑從0變化到8，故可以看成是一個(gè)底面半徑為8、高為60的倒置的圓錐.因此，將此旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化為圓柱和圓錐的體積之和，故

分析2補(bǔ)形成圓柱后，先計(jì)算圓柱切割雙曲旋轉(zhuǎn)體后的幾何體體積，并將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)圓柱的體積與一個(gè)圓錐的體積之差.

令 y = 6 0 ，得 若以雙曲旋轉(zhuǎn)體的上表面為底面（其半徑為 ），構(gòu)造如圖8所示高為60的圓柱，其中圓柱的體積為 先計(jì)算此圓柱中減去雙曲旋轉(zhuǎn)體的切割體的體積.

在等高 h 處切割體的截面面積為

則等高 h 處的截面面積是半徑分別為8和 的兩個(gè)圓的面積差，其中截面面積為 部分，可以看成半徑為8、高為60的圓柱體；對于余下部分 ，當(dāng) h 從0變化到60時(shí)，半徑從0變化到8，故可以看成是一個(gè)底面半徑為8、高為60的倒置的圓錐.因此，此切割體的體積轉(zhuǎn)化為圓柱和圓錐的體積之差，故

所以此旋轉(zhuǎn)體的體積為

在這一問題中，對雙曲旋轉(zhuǎn)體的體積進(jìn)行了兩種方式的轉(zhuǎn)化，一是轉(zhuǎn)化為圓柱和圓錐的體積之和；二是通過切割，先將原雙曲旋轉(zhuǎn)體補(bǔ)成圓柱，再利用祖晅原理求切割的幾何體的體積，將該切割的幾何體的體積轉(zhuǎn)化為圓柱減去圓錐的體積，最終用補(bǔ)成的圓柱體積減去該切割的幾何體體積即可得到雙曲旋轉(zhuǎn)體的體積.因此，動(dòng)態(tài)的截面圖形的面積除了可以看作面積之和，還可以看作面積之差.在求幾何體體積時(shí)可以轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)幾何體的體積之和或兩個(gè)幾何體的體積之差.無論是面積之差還是面積之和，本質(zhì)都是比較兩個(gè)幾何體在等高處的截面面積是否相等.在代數(shù)式的變形方面，可以根據(jù)具體問題的需要選擇適當(dāng)?shù)淖冃畏椒ǎ缑娣e差法或面積和法等.這些變形方法都是基于祖晅原理的實(shí)質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)的.

當(dāng)然，除了轉(zhuǎn)化為圓柱與圓錐的體積之和（或差），還可以轉(zhuǎn)化為正四棱柱和正四棱錐的體積之和（或差），大家可以試試.

分析3由題意可知雙曲線的漸近線方程為 y = .將漸近線 軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體顯然是一個(gè)圓錐，此圓錐的底面半徑為8、高為60，故此圓錐的體積為

那么直線 y = 0 與 y = 6 0 在第一象限內(nèi)與雙曲線及漸近線圍成的圖形（如圖9）繞 軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是什么呢？我們不妨來看看.

如圖10所示，直線 y = h 與漸近線交于點(diǎn) ，與雙曲線在第一象限交于點(diǎn) h ），與 y 軸交于點(diǎn) R （ 0 ， h ） ，故此旋轉(zhuǎn)體在高 h 處的截面是個(gè)圓環(huán)，此圓環(huán)的面積為

這是一個(gè)定值，所以借助祖晅原理可以將此旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化為底面半徑為2、高為60的圓柱體的體積與上述圓錐的體積之和，此圓柱的體積為 ，故雙曲旋轉(zhuǎn)體的體積

至此，我們借助雙曲線的漸近線將雙曲旋轉(zhuǎn)體的體積巧妙轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積之和.通過這一轉(zhuǎn)化再一次深刻感受到借助祖晅原理可將一個(gè)陌生的幾何體的體積轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體的體積之和.

帶著這些知識(shí)，一起來試著借助祖恒原理計(jì)算一些陌生的幾何體的體積.

練習(xí)1圖11是一種四角帳蓬的示意圖，其中ABCD是邊長為 的正方形，分別以AC和BD為直徑的半圓面AOC與BOD均垂直底面A B C D ，參照祖晅原理求半球體的體積計(jì)算方法，則該帳篷的體積為

分析由圖12可知，四角帳篷在任意高為 h （ 0 ? h ? 1 處的橫截面為正方形，其截面面積為

故要構(gòu)造等高 h 處面積為 的幾何體.該幾何體是由一個(gè)底面正方形邊長為 、高為1的正四棱柱挖去一個(gè)以此正四棱柱下底面中心為頂點(diǎn)、上底面為底面的正四棱錐（如圖13），故該帳篷的體積為

練習(xí)2已知雙曲線 c 的漸近線方程為 y = ± 2 x ，一個(gè)焦點(diǎn)為 ，直線 y = 0 與 y = 3在第一象限內(nèi)與雙曲線及漸近線圍成如圖14所示的圖形OABN，則它繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為

分析根據(jù)祖晅原理，考慮高 h 處的截面面積.由題意可得雙曲線 C 的方程為 ，如圖15所示， y = h （ 0 ? h ? 3 ） 在第一象限內(nèi)與漸近線的交點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ，與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ .記y = h 與 y 軸交于點(diǎn) F （ 0 ， h ） ，則高 h 處的截面面積為 ，即該幾何體在任意高度處的橫截面面積都相等，為定值 π ，故構(gòu)造一個(gè)半徑為1、高為3的圓柱體，且

祖晅原理是一個(gè)具有深刻內(nèi)涵和廣泛應(yīng)用價(jià)值的幾何原理，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家在立體幾何領(lǐng)域的深刻洞察力和創(chuàng)新思維.通過深刻理解祖晅原理的核心思想和方法意義，學(xué)生可以更好地運(yùn)用該原理來解決實(shí)際問題.此外，祖晅原理也啟示學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要善于運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，從而找到解決問題的有效途徑，

（完）