從定比分點(diǎn)的視角看解三角形

解三角形作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位，所以對(duì)三角形各種性質(zhì)的研究是學(xué)生日常學(xué)習(xí)的重點(diǎn).“奔馳定理”的常規(guī)認(rèn)識(shí)是通過(guò)向量的角度并結(jié)合三角形重心的性質(zhì)推導(dǎo)得出的，本文從定比分點(diǎn)的視角，對(duì)“奔馳定理”進(jìn)行探究，以期幫助學(xué)生對(duì)三角形的性質(zhì)形成進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).對(duì)于平面上的任意一個(gè)三角形，它的“四心”（即重心、內(nèi)心、垂心和外心，它們分別是三角形三條中線、三條角平分線、三條高線、三條垂直平分線的交點(diǎn)）是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，因此文末附上關(guān)于三角形“四心”坐標(biāo)公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)思路.

1定比分點(diǎn)

1. 1 定比分點(diǎn)公式1

定比分點(diǎn)公式1：已知平面上不同的兩點(diǎn) 和點(diǎn) P ，若" A P =λ"P B"，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

證明當(dāng) λ = - 1 時(shí)，點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合，不符合條件，故 λ ≠ - 1 ，取一點(diǎn) O （ 0 ， 0 ） ，設(shè)點(diǎn) P （ x ， y ） .因?yàn)?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0707/Nnz5mqY9QCzAkaa3cnPKDD.webp"/> ，即 0 ，所以 O P"=" ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（（+λx2，y1+λy2）.

對(duì)比定比分點(diǎn)公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式（+2，y1+y2），可以發(fā)現(xiàn)定比分點(diǎn)公式只是給該端點(diǎn)增加了權(quán)重，使得原本的中點(diǎn)向該端點(diǎn)的位置偏移，這也就是定比分點(diǎn)公式的本質(zhì).那么可不可以將這一結(jié)論推廣至更一般的形式：在同一平面內(nèi)，對(duì)于 n 個(gè)點(diǎn)，它們是否可以決定點(diǎn) P 的位置呢？

1. 2 定比分點(diǎn)公式2

在定比分點(diǎn)公式1中，注意到點(diǎn) A 與點(diǎn) B 的關(guān)系是不對(duì)稱的，為了更好地實(shí)現(xiàn)推廣，需要將其轉(zhuǎn)化為如下的對(duì)稱形式.

定比分點(diǎn)公式2：已知平面上不同的兩點(diǎn) 和點(diǎn) P ，若它們滿足ａ""P A + b P B = "0"（ ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ：

證明當(dāng) a = - b 時(shí)，點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合，不符合條件，故 a ≠ - b ，即 a + b ≠ 0 . 若 （ （ a b ≠ 0 ） ，則 即 令 ，由定比分點(diǎn)公式，可得到點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

1.3 廣義定比分點(diǎn)公式

廣義定比分點(diǎn)公式：已知平面上 n 個(gè)點(diǎn) ， 和一點(diǎn) P ，若 ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

證明 設(shè) P （ x ， y ） ，由 ，知

將 x 和 y 視作常數(shù)，化簡(jiǎn)后可得

至此，得到了廣義的定比分點(diǎn)公式，對(duì)于平面內(nèi)任意 n 個(gè)點(diǎn)，都可以通過(guò)公式找到點(diǎn) P 的坐標(biāo)，也為后續(xù)研究三角形（解析幾何）提供了一個(gè)重要的工具.下面以三角形中的“奔馳定理”為例，看看定比分點(diǎn)在研究這方面的內(nèi)容時(shí)有哪些獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).

2 三角形中的“奔馳定理”

三角形中的“奔馳定理”：如圖1所示，對(duì)于Δ A B C 內(nèi)任意一點(diǎn) P ，都有

證法1 如圖2所示，延長(zhǎng) A P 與 B C 邊相交于 點(diǎn) M ，則

故

因?yàn)?/p>

所以

證法2（定比分點(diǎn)視角）根據(jù)廣義定比分點(diǎn)公式，可知對(duì)于每一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn) P ，其坐標(biāo)的唯一性等價(jià)于 中系數(shù)的唯一性.

設(shè)系數(shù) α ， β ， γ 滿足

令 ，如圖3所 示，延長(zhǎng)向量 ，則 ，故 點(diǎn) P 為 Δ D E F 的重心，則

同理可得

因?yàn)辄c(diǎn) P 為 Δ D E F 的重心，所以

故

定比分點(diǎn)視角的證明方法從一個(gè)全新的視角來(lái)看待點(diǎn) P 和 Δ A B C 中三點(diǎn)的關(guān)系，可以讓學(xué)生更加深入地感受遞推所帶來(lái)的推廣能力.它不一定比常規(guī)方法簡(jiǎn)單很多，只是從另一個(gè)視角讓學(xué)生深人理解“奔馳定理”.

3 應(yīng)用

例1 設(shè)點(diǎn) P 在△ABC內(nèi)且為△ABC的外心（即△ABC外接圓的圓心），其中 .如圖4所示，若 Δ P B C Δ P A C ， Δ P A B 的面積分別為 y ，則 x + y 的最大值為

根據(jù)“奔馳定理\"可得 ，即 .兩邊同時(shí) 平方可得

又點(diǎn) P 是 Δ A B C 的外心，所以 ，且

解得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，故 x + y 的最大值為

例2如圖5所示，已 知點(diǎn) A ， B ， C ， P 在同一平 面內(nèi)，且滿足 ， （20 則

O 由 ，可得 解析

，所以

由RP ，可得 1PC，所以 ，整理得

根據(jù)“奔馳定理”，可得

以“奔馳定理”為例，可以用定比分點(diǎn)的視角解決三角形（解析幾何）中的很多問(wèn)題（如有關(guān)三角形“四心\"的很多性質(zhì)與問(wèn)題），本文給出三角形“四心”的向量表示及坐標(biāo)，感興趣的讀者可自行學(xué)習(xí)和證明.

4拓展與補(bǔ)充：三角形的“四心”

設(shè)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， ，則 Δ A B C 的重心坐標(biāo)為

結(jié)合上面所推導(dǎo)出的廣義定比分點(diǎn)公式，可以得到 Δ A B C 重心的向量公式為

設(shè)△ABC的內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 記△ABC的內(nèi)心為 I ，則三角形內(nèi)心的向量公式為

ａI A + b" I B"+ c I C "=0 .

設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， ，根據(jù)上面所推導(dǎo)出的廣義定比分點(diǎn)公式可以得出 Δ A B C 的內(nèi)心坐標(biāo)為

記△ABC的垂心為 H ，則三角形垂心的向量公式為

同樣地，根據(jù)廣義定比分點(diǎn)公式，可以得到三角形的垂心坐標(biāo)公式.設(shè) Δ A B C 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，則 Δ A B C 的內(nèi)心坐標(biāo)為

記△ABC的外心為 O ，則三角形外心的向量公式為

根據(jù)廣義定比分點(diǎn)公式，可以得到三角形外心的坐標(biāo)公式.設(shè) Δ A B C 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 . ，則△ABC的外心坐標(biāo)為

例3 （多選題）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線 l 與 y 軸及雙曲線 的兩條漸近線的三個(gè)不同交點(diǎn)構(gòu)成集合 M ，且 M 恰為某三角形的外心、重心、垂心所構(gòu)成的集合.若 的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）.

由題意可知 a ≠ b .設(shè)直線 l 的方程為 y = x + m ，l 與雙曲線 的兩條漸近線及 y 軸的交點(diǎn)分別為 A ， B ， P .聯(lián)立 可得點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 .聯(lián)立 可得點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 .聯(lián)立 （ 可得點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 （ 0 ， m ）

因此，

接下來(lái)進(jìn)行分類討論.

若 A 為重心， B 為外心， P 為垂心，則 ，化簡(jiǎn)得 ，故離心率為

若 A 為重心， B 為垂心， P 為外心，則 ，化簡(jiǎn)得 a = 0 ，故離心率不存在.

若 A 為垂心， B 為重心， P 為外心，則 ∣ B P ∣ = ，化簡(jiǎn)得 a = 0 （舍）或2b，故離心率為

若 A 為外心， B 為重心， P 為垂心，則 ∣ A B ∣ = ，化簡(jiǎn)得 a = - 3 b （舍）或 5 b ，故離心率 為

若 A 為垂心， B 為外心， P 為重心，則 ∣ B P ∣ = ，化簡(jiǎn)得 或 b = 3 a ，故離心率為 或 ：

若 A 為外心， B 為垂心， P 為重心，則 ，化簡(jiǎn)得 a = - 3 b 或 b = - 3 a ，故離心率不存在.

綜上，選ABD.

本文從教材上介紹的簡(jiǎn)單定比分點(diǎn)視角出發(fā)，先將定比分點(diǎn)公式的形式進(jìn)行變換，使之變?yōu)閷?duì)稱的形式，之后將定比分點(diǎn)公式進(jìn)行推廣.推廣之后，合理將其應(yīng)用到三角形的“奔馳定理”及三角形的“四心”中，從推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看，從一個(gè)新的視角看待點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（完）