正態(tài)分布問題的重點題型及求解對策

正態(tài)分布問題是概率統(tǒng)計中比較重要的組成部分，由于其自身的特點以及在實際生活中應(yīng)用廣泛，已越來越受到高考命題專家的青睞.為確保全面掌握題型變化并實現(xiàn)解題過程的完整性，有必要深入剖析其核心題型特征并構(gòu)建系統(tǒng)化解題策略.基于此，本文系統(tǒng)梳理該類問題的重點題型，精準定位高頻考點.

1熟悉正態(tài)曲線

例1 圖1是三個正態(tài)分布密度函數(shù) 的圖像，下列結(jié)論中正確的是（ ）.

A. （204號 B. C. D. （204號

因為正態(tài)曲線關(guān)于直線 x = μ 對稱，且 μ 越解析 大圖像越靠近右邊，所以 ，則B和C錯誤.又 σ 越小數(shù)據(jù)越集中，圖像越“瘦高”，所以 ，故A錯誤.

綜上，選D.

對正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的認識是研究正態(tài)分布問題的基礎(chǔ)，因此正確理解其中相關(guān)參數(shù)的意義十分重要.

例2 已知某正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為 ，若 X 服從該正態(tài)分布，則 X 在[1，4]內(nèi)取值的概率為 （參考數(shù)據(jù)：若 ，則 P （ μ - 3 σ ? X ? μ + 3 σ ） ≈ 0.997 3）.

因為分布密度函數(shù)為 φ （ x ） = -2（x-2.5）2，所以 X～N（2.5，0.25），則

P （ 1?X?4 ） =

，故所求的概率值為0.9973.

本題是正態(tài)分布問題的基礎(chǔ)題目，解題的關(guān)鍵是從密度函數(shù)中讀出

2夯實正態(tài)分布的性質(zhì)

例3已知某次測量的數(shù)據(jù) X 服從正態(tài)分布 ，如果 X 在 （ 0 ， 1 ） 內(nèi)取值的概率為0.4，求 X 在（0，2）內(nèi)取值的概率.

由于 ，故其對應(yīng)的密度曲線的圖像關(guān)于直線 x = 1 對稱.又 P （ 0 lt; X lt; 1 ） =0.4，所以 P （ 1

P （ 0 lt; X lt; 2 ） = P （ 0 lt; X lt; 1 ） + P （ 1 ? X lt; 2 ） = （2求解本題用到 X 的密度曲線圖像關(guān)于直線x = 1 對稱以及概率的可加性.

例4公共汽車車門的高度設(shè)計規(guī)則是：確保9 9 % 以上的成年男子頭部不能與車門頂部碰撞.已知某區(qū)域的成年男子身高服從 （單位：c m） ，試問此處的車門應(yīng)設(shè)計為多高（精確到 1c m ？

設(shè)該區(qū)域的公共汽車車門最低高度為 x cm.根據(jù)題意可知 P （ X ） ? x ） lt; 1 % . 因為 X ～ ，所以

P （ X ≥ x ） = 1 - P （ X lt; x ） =

則 ，查表可得 ，解得 x gt; 1 8 9 . 3 1 ，故該區(qū)域公共汽車車門應(yīng)至少設(shè)計為 1 9 0 c m ，才能滿足 9 9 % 以上的成年男子頭部不與車門頂部碰撞的要求.

本題是非標準正態(tài)分布問題，利用公式轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布是解題的關(guān)鍵.

3掌握 原則的應(yīng)用

假設(shè) ，則

P （ μ-2 σ?X?μ+2 σ ）≈0 . 9 5 4 5 ，

例5公司規(guī)定某圓柱形零件的外直徑 X 應(yīng)該服從正態(tài)分布 ，質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5 . 7c m ，請問該廠生產(chǎn)的零件是否合格？

要判斷某批零件是否合格，根據(jù)檢驗規(guī)則可知只需隨機抽查1件產(chǎn)品看其尺寸是否落在 （ μ - 3 σ ， μ + 3 σ ） 之內(nèi)，若是，則合格；若不是，則不合格.因為圓柱形零件的外直徑 ，所以 X 在 （ 4 - 3 × 0 . 5 ， 4 + 3 × 0 . 5 ） 之外取值的概率只有0.0027，而抽查出的1件產(chǎn)品的外直徑 5 . 7 ∈ （ 2 . 5 ，5.5），說明在一次實驗中出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，由此可判定這批零件不合格.

判斷某批零件是否合格，需遵照約定的檢驗規(guī)則看隨機抽查的零件是否滿足 3 σ 原則.

一例6在一次數(shù)學(xué)測驗中，某班學(xué)生的分數(shù) X 服從正態(tài)分布 ，且滿分為150分，這個班共有54名學(xué)生，估計這個班在這次數(shù)學(xué)測驗中及格（不少于90分）的人數(shù)和130分以上的人數(shù).

因為 ，所以 μ = 1 1 0 ， σ = 20，則

P （ 9 0?X?1 3 0 ） =

又

P （ Xgt;1 3 0 ） + P （ Xlt;9 0 ） = 1 - P （ 9 0?X?1 3 0 ） ，

所以

P （ X?9 0 ） = P （ Xgt;1 3 0 ） + P （ 9 0?X?1 3 0 ） ≈

0 . 1 5 8 7 + 0 . 6 8 2 7 = 0 . 8 4 1 4

則此班級及格的人數(shù)為 人，130分以上人數(shù)約為 5 4 × 0 . 1 5 8 7 ≈ 9 人.

解題時可通過分析總體密度曲線的特征，并結(jié)合已知概率求解三個特殊區(qū)間概率的值，關(guān)鍵是把握 3 σ 原則的應(yīng)用.

例7已知隨機變量 ，隨著σ 的增大，則概率 P （ ∣ X - μ ∣ lt; 2 σ ） 的值（ ）.

A.保持不變 B.單調(diào)減小C.單調(diào)增大 D.增減性不確定

由題意可知

P （ ∣ X - μ ∣ lt; 2 σ ） =

P （ μ-2 σ

所以選A.

點 評

根據(jù)正態(tài)分布的 3 σ 原則，可知隨機變量 X 分布在 （ μ - 2 σ ， μ + 2 σ ） 中的概率約為0.9545.

4理解與其他知識的交會

例8 已知隨機變量 ，且滿足P （ X?1 ） = P （ X ? a - 3 ） ，則 的最小值為

因為隨機變量 ，且 P （ X?1 ） = P （ X?a - 3 ） ，所以 1 + a - 3 = 2 × 1 ，解得a = 4 ，則 0 lt; x lt; 4 ， 0 lt; 4 - x lt; 4 ，且

當(dāng)且僅當(dāng) 即 x = 1 （負值舍）時，等號成立，所以 的最小值為4.

本題是正態(tài)分布條件下的最小值問題，熟練運用正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

處理正態(tài)分布問題的對策就是依據(jù)所給信息，挖掘題目的特點，靈活運用正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì).在日常復(fù)習(xí)訓(xùn)練過程中，只有注重對思維方法的總結(jié)以及解題經(jīng)驗的積累，才能在后續(xù)考試中從容應(yīng)對.

（完）