例談柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊習(xí)題6.3第16題）用向量方法證明：對(duì)于任意的 ，d ∈ R ，恒有不等式

上述習(xí)題中的不等式

是二維柯西不等式.柯西不等式是高中數(shù)學(xué)中的經(jīng)典不等式之一，也是高中數(shù)學(xué)不等式版塊的必備知識(shí).n 維柯西不等式：對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 及 ，有

當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) λ 使得 時(shí)，等號(hào)成立.高考中也經(jīng)?？疾槎S柯西不等式和三維柯西不等式的應(yīng)用，以下結(jié)合具體例子總結(jié)二維柯西不等式和三維柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，

1利用柯西不等式求最值

在解答無理雙根函數(shù)最值和多元條件最值問題時(shí)，靈活運(yùn)用柯西不等式可以達(dá)到有效簡化運(yùn)算量的目的.

例1求 的最大值.

O 為使函數(shù)有意義，則 所以函數(shù)的定義域?yàn)閇4，5]，且 ygt;0

由柯西不等式可得

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù) 的最大值為2.

點(diǎn)本題反向運(yùn)用了二維柯西不等式“若 d 都是實(shí)數(shù)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立”求解.根據(jù)題中的數(shù)值特征，將函數(shù)解析式中的 轉(zhuǎn)化為 的過程中運(yùn)用了巧拆常數(shù)的技巧.

例2若正數(shù) 滿足 2 m + n = 6 ，則 的最小值為由柯西不等式可得

所以

則 當(dāng)且僅當(dāng) 且2 m + n = 6 ，即 時(shí)，等號(hào)成立，故 的最小值為

本題先改變 的形態(tài)結(jié)構(gòu)，再巧嵌結(jié)果為定值的因式 ，進(jìn)而運(yùn)用二維柯西不等式解答.

例3 已知函數(shù) f （ x ） = ∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 2 ∣

（1）求不等式 f （ x ） lt; 3 的解集；

（2）若 f （ x ） 的最小值為 a + 3 b ，求 的最 小值.

（1）當(dāng) xlt;1 時(shí)， f （ x ） = 3 - 2 x ，則 3 - 2 x lt; 3，所以 0

當(dāng) 1 ? x ? 2 時(shí)， f （ x ） = 1 ，則 1 lt; 3 ，所以 1 ? （204號(hào) x?2

當(dāng) x gt; 2 時(shí)， f （ x ） = 2 x - 3 ，則 2 x - 3 lt; 3 ，所以2

綜上，不等式 f （ x ） lt; 3 的解集為（0，3）.

（2）易知

當(dāng)且僅當(dāng) （ x - 1 ） （ x - 2 ） ? 0 ，即 1?x?2 時(shí)，等號(hào)成立，所以 a + 3 b = 1 由柯西不等式可得

所以 當(dāng)且僅當(dāng) b = 3 a ， a + 3 b = 1 ，即 a = 時(shí)，等號(hào)成立，故 的最小值為 中

本題第（1）問考查絕對(duì)值不等式的解法；第（2）問考查二維柯西不等式的應(yīng)用，運(yùn)用巧嵌因式的技巧，嵌入因式 后可求出 的最小值.

例4 （多選題）已知 a gt; 0 ， b gt; 0 ，且 2 a + 3 b = 2 ，則下列說法正確的有（ ）.

A 的最小值為 B. 的最小值為 C. 的最大值為 D. 的最小值為

對(duì)于選項(xiàng)A，由柯西不等式可得

則

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 2，即 時(shí)，等號(hào)成立，所以 的最小值為 ，故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，由柯西不等式可得

則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 3 a = 2 b ， 2 a + 3 b = 2 ，即 a = 時(shí)，等號(hào)成立，所以 的最小值為 故B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C，由柯西不等式可得

（204號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 2 a = 3 b + 1 ， 2 a + 3 b = 2 ，即 時(shí)，等號(hào)成立，所以 的最大值為 ，故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，由柯西不等式可得

所以 ，則

當(dāng)且僅當(dāng) b = 4 a ， 2 a + 3 b = 2 ，即

時(shí)，等號(hào)成立，所以 的最小

值為 ，故D錯(cuò)誤.綜上，選ABC.

本題考查了二維柯西不等式的運(yùn)用，對(duì)于選項(xiàng)A，巧添和為定值的因式 ，將 的結(jié)構(gòu)巧變?yōu)?/p>

對(duì)于選項(xiàng)B，巧添因式 .選項(xiàng)C中蘊(yùn)含結(jié)構(gòu) 選項(xiàng)D的解答巧嵌和為定值的因式 ，同時(shí)將 變形為

例5求函數(shù) 的值域.

0 令 ，則 sin θ - t cos θ = 2 t .由柯西不等式可得

所以 ，解得 故函數(shù) f （ θ ） 的值域?yàn)?

點(diǎn)本題是一道求三角函數(shù)值域的問題，令 θ=t，引入了參數(shù)t，將分式化為整式，體現(xiàn)了巧設(shè)待定參數(shù)和巧變結(jié)構(gòu)技巧的運(yùn)用.

例6已知 x ， y ， z 滿足 x + y + z = 1 ，求 的最小值.

一 由柯西不等式可得

，即

當(dāng)且僅當(dāng) x = 4 y = 9 z ， x + y + z = 1 ，即 x = 49'

時(shí)，等號(hào)成立，故 的

最小值為 中

本題的求解運(yùn)用了三維柯西不等式 以及巧嵌因式的技巧.

2用柯西不等式解方程

運(yùn)用柯西不等式解方程或方程組，本質(zhì)是根據(jù)柯 西不等式取等的條件求得方程或方程組的解.

例7 已知 ，求tan α 的值.

由柯西不等式可得

即 ，當(dāng)且僅當(dāng)-3sin α = cos α ，即tan 時(shí)，等號(hào)成立.

本題是一道根據(jù)三角函數(shù)方程求正切值的問題，求解中運(yùn)用了巧嵌因式的技巧以及柯西不等式取等的條件.

例8若 為實(shí)數(shù)， ，則

0 由柯西不等式可得 解析 .由柯西不等式取等條

件可得 ，則 =k，將p=

k r ， q = k s ， m = k t 代人 p r + q s + m t = 6 ，可得 E

，所以 ，故：

本題是解方程問題，利用了三維柯西不等式取等號(hào)條件，最終求出 p+q+m的值.

3 利用柯西不等式證明不等式

例9已知

（1）求證： a + b ? 4 （2）求證：

證明 （1）由柯西不等式可得 ，所以 ，則 a + b ? 4 ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 2 時(shí)，等號(hào)成立.

（2）由柯西不等式可得

所以 ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立.

本題是條件不等式的證明問題，第（1）問的證明反向運(yùn)用了二維柯西不等式；第（2）問巧嵌因式 ，先利用柯西不等式證明 2，再利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.

例10已知 都為正數(shù)，且 a + b + c = 3 ，證明：

證明 由柯西不等式可得

所以 ，則 （204號(hào)

當(dāng)且僅當(dāng)

即 a = b = c = 1 時(shí)，等號(hào)成立.

點(diǎn)求解本題時(shí)綜合運(yùn)用巧嵌因式、巧拆常數(shù)和巧變結(jié)構(gòu)的技巧，為逆向運(yùn)用三維柯西不等造條件.

例11已知 都是正數(shù)，且 a + b + c = 1

（1）若 b = c ，求證 （2）求證：

證明 （1）因?yàn)?b = c ，所以 a + 2 b = 1 ，則

故 f （ x ） 在 （ - ∞ ， - 2 b ） 上單調(diào)遞減，在 （ a ， + ∞ 上單調(diào)遞增，且

所以 f （ x ）?1

（2）因?yàn)? 都是正數(shù)，由柯西不等式可得

則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.

點(diǎn)本題第（1）問先去絕對(duì)值，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明；第（2）問先將 轉(zhuǎn)化，再巧嵌因式 （ a + b + c ） ，運(yùn)用三維柯西不等式證明.

4利用柯西不等式解答解析幾何問題

例12 已知直線 l ： a x - b y + 2 = 0 （ a gt; 0 ， b gt; 0 ） 過點(diǎn)（－1，2），求當(dāng) 取得最小值時(shí)直線 的斜率.

由已知可得 - a - 2 b + 2 = 0 ，則 a + 2 b = 2 . 由柯西不等式可得

則 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)a = 2 b ， a + 2 b = 2 ，即 時(shí)，等號(hào)成立， 取得最小值4，此時(shí)直線 的斜率

評(píng)將式子 變形為 （利用同構(gòu)巧嵌因式的技巧將其乘以一個(gè)和是定值的因式 ，再根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件以及 a + 2 b = 2 可得出直線 的斜率.

例13 設(shè)直線 l ： y = k x + m （ m ≠ 0 ） 與橢圓 E ： 交于 P ， Q 兩點(diǎn)，求 ΔOPQ 面積的最大值，并證明此時(shí)直線 O P 與直線 O Q 的斜率之積為定值（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

設(shè) ，則 ，故

因?yàn)? ，由柯西不等式可得

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 1x2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)△OPQ 面積的最大值為 直線 O P 與直線 O Q 的斜率之積 即直線 O P 與直線 O Q 的斜率之積為定值

柯西不等式題型靈活多變，常與方程、絕對(duì)值不等式和解析幾何等知識(shí)交會(huì)命題，在運(yùn)用柯西不等式時(shí)，常用巧拆常數(shù)、巧變結(jié)構(gòu)、巧嵌因式和巧換位置等技巧，在問題中運(yùn)用哪種技巧需要具體問題具體分析.（完）