已知遞推關系求通項an的幾種技巧

在高中階段，等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列模塊的學習重點.在已知遞推關系求解通項公式的過程中，常利用構造法將問題轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.在這一過程中，學生既要掌握數(shù)列的基礎知識，又要分析題目所給條件，準確識別數(shù)列的類型.

1待定系數(shù)法

型數(shù)列 例1已知數(shù)列 滿足 2，求 的通項公式.

因為 ，所以 1）.又 ，所以 是以9為首項、3為公比的等比數(shù)列，即 ，故

在探討 （其中 A ， B 為常數(shù)，且 A ≠ 1 ， A B ≠ 0 ; 型數(shù)列的通項公式時，首先將原遞推公式轉換為 形式，其次運用待定系數(shù)法確定常數(shù) M 的值，最后將原問題轉化為等比數(shù)列問題求解.

型數(shù)列例2在數(shù)列 中，已知 （ 。 ，求 的通項公式.

因為 ，所以

又 ，所以 是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，故 ，即

求 （ A ≠ 1 A B C ≠ 0 ; 型數(shù)列的通項公式時，令

再通過待定系數(shù)法求得 ? ， q ，則 是公比為 A 的等比數(shù)列.

3） 型數(shù)列

例3 已知數(shù)列 ，且 ，求 的通項公式.

解析 由 ，可得 且 則 是首項為 、公差為 的等差數(shù)列，所以 即

求 （其中 均為常數(shù)，p q （p- 1 ） ≠ 0 ） 型數(shù)列的通項公式時，共有3種方法.方法1：先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉化為 的形式，根據(jù)對應項系數(shù)相等求出 λ 的值，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解.方法2：先在原遞推公式兩邊同時除以q\"+1，得a\"+1 ，引入輔助數(shù)列 （其中 ，得 ，再利用待定系數(shù)法求解.方法3：也可在原遞推公式兩邊同時除以 p\"+1，得a+1 \"，引入輔助數(shù)列b（其中b=\" ，得 1·\"，再利用疊加法（逐差相加法）求解.

2 同型構造法

例4已知數(shù)列 滿足 ，且對于任意正整數(shù) n ，均有 ，求 的通項公式.

對 兩邊同時除以 n （ n + 1 ） ，可得 令 則 ，且 ，所以數(shù)列 是首項為2、公差為1的等差數(shù)列，則 .故

點 評

同型構造的核心思想是將 n + 1 和 和 等因子與數(shù)列項數(shù)相同的部分化歸成結構相同的形式，進而構造新數(shù)列求解，常見的模型如下.

模型1若 n+1a\"，則（n+1）an+1=na 構造 ，則 ，故 為常數(shù)列.

模型2若 則 構造 ，則 ，故 為常數(shù)列.

模型3 若 ，則

構造 則 故 為常數(shù)列.

模型4若 ，則 構造 ，則 ，故 為等比數(shù)列.

模型5 若 ，則 a\"+1.構造b\"=\"，則bn+1=bn+1，故{bn}為等差 數(shù)列.

模型 ? 若 ，則 構 造 α\"，則bn+1=b\"+1，故為等差數(shù)列.

模型7 若 ，則 構造 ，則 ，故 為等差數(shù)列.

3取對數(shù)構造法

例5已知正項數(shù)列 滿足 2，求 的通項公式.

因為 · ，且 ，所以1，兩邊取對數(shù)得 ，即

當 n?2 時，有

所以 ·

由于 ，則 ，故 ，則

點型如 或 （ 為常數(shù)）的數(shù)列，為方便計章，可兩邊取以 或首項為底的對數(shù).

4二階整體構造法

例6已知數(shù)列滿足 （ n ∈ ），且 ，證明： 是等比數(shù)列，并求 的通項公式.

0 由 ，得 解析 .因為 ， ，所以 ，所以 ，則 是首項為4、公比為2的等比數(shù)列，故（2 ，所以 ，即數(shù)列 是首項為 2、公差為1的等差數(shù)列，所以 2 + 1 × （ n - 1 ） = n + 1 ，則

針對 型數(shù)列，可通過二階整體構造法將之轉換為 ，求出數(shù)列 的通項公式，再通過同型構造法構造等差（或等比）數(shù)列求得數(shù)列 的通項公式，在特殊情況下需要運用數(shù)列的特征方程和特征根求通項公式.

構造技巧不僅是解題的工具，更是數(shù)學方法論的重要體現(xiàn).數(shù)列通項的構造過程不僅是解題過程的實踐，更是數(shù)學思維的深度訓練.通過對遞推關系的創(chuàng)造性重構，我們不僅能夠獲得數(shù)列的顯式表達式，更能體會到數(shù)學作為一門結構科學的內(nèi)在魅力.

（完）