聚焦平面向量中的取值范圍(最值)問題

平面向量中的最值問題在高中數(shù)學中頗為常見，它融合了多個知識點，是數(shù)學知識體系的一個重要交會點.這類問題通常綜合考查學生對平面向量定義、性質(zhì)、定理及運算法則的掌握情況和應用能力.平面向量背景下的最值問題，因其綜合性強、涉及知識點廣泛、解法靈活多變而備受關(guān)注.本文通過具體例子探討平面向量取值范圍（最值）問題的求解策略，以期幫助學生提升解題能力.

1代數(shù)式（參數(shù)）的取值范圍（最值）問題

求解有關(guān)代數(shù)式（參數(shù)）的取值范圍問題，要關(guān)注以下兩點：一是通過平面向量的運算、性質(zhì)構(gòu)建線性組合或利用三點共線的等價條件得到系數(shù) x ， y 之間的等式關(guān)系；二是運用基本不等式或二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

例1（1）已知點 A （ - 1 ， - 1 ） ， B （ 1 ， - 1 ） ，若圓 上存在點 M 滿足 · ，則實數(shù) a 的取值范圍是

（2）如圖1所示，在 ΔOPQ 中， M ， N 分別是邊O P ， O Q 的中點，點 R 在直線 M N 上，且 ，則 的最小值是

（1）設(shè)點 M （ x ， y ） ，則 解析 ，故 （20 化簡整理得 ，顯然點 M 在以 （ 0 ， - 1 ） 為圓心、2為半徑的圓上.因為該圓與 有公共點，所以

（2號解得 ，故實數(shù) 的取值范圍為

（2）因為點 M ， N 分別是邊 O P ， O Q 的中點，所以 又 ，所以 因為點 R 在直線 M N 上，所以2 x + 2 y = 1 ，即 ，則

當且僅當 取得最小值

1

2 向量模的取值范圍（最值）問題

在解決向量模的取值范圍（最值）問題時，常用以下兩種方法.

1）代數(shù)法：運用向量的基本性質(zhì)和運算規(guī)則將復雜的向量問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題，

2）幾何法：根據(jù)題設(shè)條件厘清所求的向量模表示的幾何意義，仔細分析題設(shè)條件，將原問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.

例2已知 P 是圓 上的動點， A ， B 是圓 上的兩點，若 ，則 的取值范圍是

因為點 P 在圓 上，點A ， B 在 上，如圖2所示.設(shè) D 是 A B 的中點，連接 C D ， A C ，則 C D 垂直平分 A B ，所以

故點 D 在以 C 為圓心、1為半徑的圓上，即點 D 在圓 上.

由 ，可得 即 為圓 M 上的點與圓 上的點的距離.因為

所以

故 的取值范圍是

3數(shù)量積的取值范圍（最值）問題

求數(shù)量積的取值范圍（最值）的方法通常有兩種.

1）坐標法：利用平面直角坐標系結(jié)合有關(guān)向量的坐標運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解.

2）向量法：對問題進行適當轉(zhuǎn)化，然后通過平面幾何直觀性進行分析求解，

一例3如圖3所示，已知菱形ABCD的邊 B C 上有一點 E ，邊 D C 上有一點F （點 E ， F 不與頂點重合），且 ，若Δ A E F 是邊長為 的等邊三角形，則 的取值范圍是

如圖4所示，過點 A 作 A G ⊥ B C 于點 G ，作 A H ⊥ C D 于點 H .因為四邊形ABCD為菱 ，所以

因為 Δ A E F 是等邊三角形，所以 ， ，則 R tΔ A G E?R tΔ A H F ，故 ∠ G A E = ∠ H A F ，所以

∠ G A E + ∠ E A H = ∠ H A F + ∠ E A H ，

即 在四邊形GAHC中，有

則

設(shè) ，則 設(shè) b ，因為 ∣ B G ∣ lt; ∣ B E ∣ lt; ∣ B C ∣ ，所以 .在Δ A B E 中，由余弦定理可得

易知

設(shè) ，則 a b = 2 S ，故

因為 ，且 bgt;0 ，所以 又 ，所以

設(shè)函數(shù) ，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得 g （ x ） 在 （ S ， 2 S ） 上單調(diào)遞減，所以

即 ，則 2 Slt;3lt;3 S ，解得 s ∈ ，故

平面向量中的取值范圍（最值）問題是高考中常見題型，屬于新高考命題頻繁出現(xiàn)的考點.解決這類問題的方法多種多樣，主要涉及的知識點包括平面向量的模、坐標表示、夾角、數(shù)量積等.求解這類問題要善于挖掘題目條件，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或平面幾何最值問題，這一過程對學生的數(shù)學思維能力、探究能力要求較高.

（完）