2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷第13題解析與變式訓(xùn)練

導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及平面解析幾何的核心知識(shí)，是高考的高頻考點(diǎn).2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷的第13題聚焦該考點(diǎn)考查兩條曲線的公切線問題，該題題型多變、解法靈活且具有顯著的區(qū)分度.為加深學(xué)生對(duì)這類題型的理解，本文以該題為例，進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行變式訓(xùn)練，旨在助力學(xué)生全面、深入地掌握相關(guān)問題的解題要領(lǐng)，

1真題再現(xiàn)

例1（2024年新課標(biāo)I卷13）若曲線 在點(diǎn)（0，1）處的切線也是曲線 的切線，則 a =

由于曲線方程為 ，則 所以該曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為 ，故切線方程為 y = 2 x + 1

由于 ，則 設(shè)曲線 y = 上的切點(diǎn)為 ，則該曲線在點(diǎn) B 處的切線斜率為 xo+1=2，解得 .由題意可知

將 代人，整理可得

本題明確給出一條曲線在某點(diǎn)處的切線，鑒于曲線和切點(diǎn)均已知，很容易求出切線方程，進(jìn)而根據(jù)公切線的斜率相等以及點(diǎn) B 既在切線上又在曲線 上，建立方程，求出 的值.

2 變式訓(xùn)練

變式1已知直線 l ： y = k x + b 是曲線 （ x ? 0 的切線，也是曲線 的切線，則直線 的方程為

設(shè)直線 l 與曲線 相切于點(diǎn) （" x"1，" ），則 可得 ·

設(shè)直線 與曲線 相切于點(diǎn) ，則

結(jié)合 ，可得

設(shè) ，令 ， 則 ，故

令 ，則 在 [ 2 ， + ∞ ） 上恒成立，所以 在[ 2 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減，則 ，故 在 t ∈ [ 2 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減.當(dāng) t = 2 時(shí)， w （ 2 ） = ，此時(shí) x = 0 ，所以 ，則直線 的方程為 y = 2 x + 1

在未知切點(diǎn)求公切線時(shí)，若切點(diǎn)不同，先設(shè)y = f （x） 與 上的切點(diǎn)分別為

，則切線方程為 y - .同理可得 上的切線方程為 .因?yàn)榍芯€為同一條直線，所以 ，聯(lián)立方程即可求解.

變式2若直線 y= kx+ b 是曲線 的 切線，也是曲線 的切線，則 b 的值 為

設(shè) ，則

解析

設(shè)直線 y = k x + b 與 相切于點(diǎn) ，則切線方程為

整理可得

設(shè)直線 y = k x + b 與 相切于點(diǎn) ），則切線方程為

整理得

由題意可知兩條切線表示同一條直線，則

解得 此時(shí)公切線方程為

即 ，故

本題是已知兩條曲線的方程，求其公切線問題.由于切點(diǎn)未知，因此分別設(shè)出切點(diǎn)，求出兩曲線的切線方程，再依據(jù)切線方程的斜率和縱截距相等列方程組求解.

變式3已知函數(shù) 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則與曲線 y = f （ x ） 和 均相切的直線 ? 有（ ）.

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條由于 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 ，即

故 a = 0 ，所以

設(shè)直線 與 y = f （ x ） 相切于點(diǎn) ，則 切線方程為 ，整理 得

設(shè) ，直線 l 與 相切于點(diǎn) .因?yàn)? ，所以切線方程為

整理得 則 故 ①

當(dāng) 時(shí)， 0，方程 ① 存在2個(gè)非零解， 是方程 ① 的解，則方程 ① 有3個(gè)解，所有滿足題設(shè)條件的直線 有3條，故選C.

解決涉及公切線條數(shù)的判斷問題，需要根據(jù)兩條曲線在切點(diǎn)處的斜率相等以及切點(diǎn)既在切線上又在曲線上列方程，進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)問題.

變式4已知函數(shù) . ，若兩函數(shù)圖像在公共點(diǎn) A （ 1 ， 2 ） 處有相同切線，則 a + b =_

因?yàn)? ，所以

因?yàn)閮珊瘮?shù)圖像在公共點(diǎn) A （ 1 ， 2 ） 處有相同切線，所以 可得 故 a + b =

解決此類涉及共切點(diǎn)的公切線問題，往往通過(guò)求導(dǎo)處理，利用“該切點(diǎn)處的兩個(gè)函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)相等”這一關(guān)系建立方程（組），進(jìn)而求解方程（組）即可.

3小結(jié)

隨著高考題的不斷創(chuàng)新，曲線公切線問題的考查愈發(fā)頻繁.盡管這類問題較為復(fù)雜，但其解題過(guò)程卻遵循一定的規(guī)律.掌握這些規(guī)律，學(xué)生的解題效率將得到顯著提升.因此，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)注重總結(jié)和歸納相關(guān)解題技巧.

在高考數(shù)學(xué)試題中，許多問題之間存在著緊密的聯(lián)系.因此，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)巧妙地將課堂內(nèi)容與重點(diǎn)問題相結(jié)合，對(duì)真題進(jìn)行適當(dāng)變形與拓展，通過(guò)“一題多解\"和“一題多變\"有效鍛煉思維的靈活性，從而進(jìn)一步提升解題能力和應(yīng)變能力.