立足基礎(chǔ) 探尋規(guī)律

直線與圓相結(jié)合的問題是高考的重要考查知識點(diǎn)，逐步成為近幾年的高考熱點(diǎn)題型.解題的核心在于探討點(diǎn)、直線與圓之間的相互關(guān)系，深人分析點(diǎn)與圓之間的距離、直線與圓的交點(diǎn)情況以及圓在平面中的位置，這對邏輯推理能力有著較高的要求.本文分析一些熱門題型，旨在剖析并優(yōu)化解題路徑.

1 弦長問題

在求解直線與圓的弦長問題時，常用的方法是幾何法.首先依據(jù)直線和圓的方程繪制出相應(yīng)的圖形，并通過圓的方程確定圓心的位置和半徑的大小，然后根據(jù)給出直線的幾何特征、圓的性質(zhì)以及勾股定理等知識構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，進(jìn)而求解問題.

例1已知圓 經(jīng)過點(diǎn) （ - 2 ， 0 ） ，且與圓 ： 相切于原點(diǎn) O 若直線 l： ax+ b y + 2 a - b = 0 （ a ， b 不同時為0）與圓 交于 A ， B 兩點(diǎn)，當(dāng) ∣ A B ∣ 取得最小值時， 與圓 交于 C， D 兩點(diǎn)，求 的值.

因?yàn)閳A 與圓 相切，且

即點(diǎn) （ - 2 ， 0 ） 在圓 的外部，所以圓 與圓 外切，則 三點(diǎn)共線.因?yàn)? 0，所以

則圓心 ，故圓心 在直線 y = - 2 x 上.

設(shè)圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因?yàn)閳A 過原點(diǎn) O （ 0 ， 0 ） ，所以 .又圓 經(jīng)過點(diǎn) （ - 2 ， 0 ） ，所以

解得 t = - 1 ，故圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則圓 的圓心坐標(biāo)為 （ - 1 ， 2 ） ，又直線 l ： a x + b y + 2 a - b = 0 可化為

a （ x + 2 ） + b （ y - 1 ） = 0 ，

所以直線 恒過點(diǎn) P （ - 2 1），易知 ，故點(diǎn) P 在圓 的內(nèi)部.如圖1所示，設(shè)點(diǎn) 到直線 的距離為 d ，則 ，要使 ∣ A B ∣ 取得最小值，則 d 取得最大值，所以 ，此時 ，所以 ，則直線 的方程為 x + y + 1 = 0 . 又圓心 到直線 x + y + 1 = 0 的距離 ，所以

2 最值問題

有關(guān)直線與圓的最值問題，近年來成為高考命題的熱點(diǎn)，頻繁出現(xiàn)在不同類型的題目中.求解這類較為綜合的題型，可以考慮運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建起直觀的幾何模型，將復(fù)雜問題簡單化.

例2已知 M （ x ， y ） 為圓 1 4 y + 4 5 = 0 上任意一點(diǎn).

（1）求 的最大值和最小值；

（2）求 的最大值和最小值.

（1）易知圓 設(shè) ，則 k x - y + 3 k + 4 = 0 易知該直線與圓 有交點(diǎn)，所以 ，解得 故 的最大值為 ，最小值為

（2）易知 又 表示點(diǎn) M （ x ， y ） （2號到點(diǎn) 的距離的平方，即

因?yàn)?M （ x ， y ） 在圓 上，圓心坐標(biāo)為（2，7），半徑為 ，所以 ，則

故 所以

則

故 的最大值為一50，最小值為—58.

3相切問題

求解直線與圓相切的問題，通常將切線的方程、切線的長度以及切點(diǎn)所形成的三角形視為解題的切入點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合切線的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式以及余弦定理等知識逐步進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo).

例3已知圓 C 的圓心在原點(diǎn)，且與直線 x + 相切，點(diǎn) P 在直線 x = 8 上，過點(diǎn) P 作圓 C 的兩條切線 P A ， P B ，切點(diǎn)為 A ， B

（1）求四邊形 O A P B 面積的最小值；

（2）求證：直線 A B 過定點(diǎn).

（1）因?yàn)閳A心（0，0）到直線 的距離為半徑，所以 ，故圓 C 的方程為 如圖2所示，連接 O A ，O B ， O P ，因?yàn)?P A ， P B 是圓 c 的兩條切線，所以O(shè) A ⊥ A P ， O B ⊥ B P ，則 Δ O A P?Δ O B P ，故

易知 P O 的最小值為8，所以四邊形 O A P B 面積的最小值為

（2）由（1）可知 A ， B 在以 O P 為直徑的圓上.設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 （ 8 ， b ） （ b ∈ R） ，則線段 O P 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故以 O P 為直徑的圓的方程為

即 因?yàn)?A B 為兩圓的公共弦，由 可得直線 A B 的方程為8 x + b y = 1 6 （ b ∈ R） ，所以直線 A B 恒過定點(diǎn)（2，0）.

4軌跡問題

求解與圓相關(guān)的軌跡問題常用的方法是定義法、直接法以及相關(guān)點(diǎn)法，解題時要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活選擇適合的方法.

例4如圖3所示，仕平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，已知圓 是圓 C 上的動點(diǎn)，且 的中點(diǎn)為 M ，求點(diǎn) M 的軌跡方程.

因?yàn)閳A ，即 ，所以圓 C 的圓心為 ，半徑 R = 4

由題意可得 則點(diǎn) M 的軌跡是以 為圓心、 r = 2 為半徑的圓，所以點(diǎn) M 的軌跡方程為

直線與圓相結(jié)合是平面幾何中的一個核心問題，與平面幾何的基礎(chǔ)知識聯(lián)系比較緊密.求解這類問題的關(guān)鍵是深入挖掘圖像中隱含的信息，準(zhǔn)確把握問題的本質(zhì)，另外需要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想巧妙地將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以便利用代數(shù)工具進(jìn)行求解.

（完）