從函數(shù)的幾何特征入手尋求導(dǎo)數(shù)的破題之法

在北京高考數(shù)學(xué)命題中，導(dǎo)數(shù)問題已突破傳統(tǒng)知識(shí)考查的邊界，成為檢驗(yàn)學(xué)生多維能力的關(guān)鍵載體本文以一道經(jīng)典導(dǎo)數(shù)題目為例，對該題進(jìn)行多角度分析，以期為學(xué)生復(fù)習(xí)備考提供有益的參考.

1 試題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù) ，曲線 f （ x ） 在 （ - 1 ， f （ - 1 ） ）處的切線方程為 y = - x - 4

（1）求 的值；

（2）求證： f （ x ） 只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）記 f （ x ） 的零點(diǎn)為 ，曲線 f （ x ） 在 處的切線 l 與 x 軸交于 ，若 ，求 的取 值范圍.

分析本題第（1）問、第（2）問難度不大，但在做題的過程中要明確解題路徑和方法，同時(shí)需注意對計(jì)算結(jié)果的預(yù)判和檢驗(yàn).以第（1）問為例，題目要求兩個(gè)參數(shù)的值，從方程思想入手，需要兩個(gè)方程來求解，分別由點(diǎn)在切線上和在切點(diǎn)處原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與切線斜率相同來提供，這是解題路徑.在具體列方程求解之前，也可以對 的取值進(jìn)行預(yù)判：由題意可知此函數(shù)不含參數(shù)，后面兩小問都需要對原函數(shù)進(jìn)行處理，則原函數(shù)的形式不宜過于復(fù)雜，可以猜測 a = ± 1 的概率比較大.另一方面，注意到 b 作為常數(shù)項(xiàng)，幾何屬性是對原函數(shù)的上下平移，則過于復(fù)雜的結(jié)果對函數(shù)的研究意義不大，可以猜測 b = ± 1 或0.解方程之后需要對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)（注意不是對解題過程進(jìn)行重復(fù)），在本題中，直接代入切點(diǎn)坐標(biāo)或在不含參情況下重新求導(dǎo)都不失為有效的檢驗(yàn)方法.

解 （1）由題意知 ，所以曲線 y = f （ x ） 在 x = - 1 處的切線的斜率為 .又曲線 y = f （ x ） 在 x = - 1 處的切線方程為 y = - x - 4 ，所以

（2）由（1）知 ，令 ，解得 x = 0

當(dāng) x 變化時(shí)， 的變化情況如表1所示，所以 且當(dāng) xlt;0 時(shí)， f （ x ） lt; 0 ；當(dāng) x = 2 時(shí)， 0，則函數(shù) f （ x ） 在 上存在唯一 ，使得 ，即函數(shù) f （ x ） 在 上存在唯一零點(diǎn).

2一題多解

本文重點(diǎn)研究第（3）問的解法，前兩問的解題過程已經(jīng)提供了原函數(shù)的全部信息.在開始第（3）問的研究前，先畫出函數(shù)f （ x ） 的大致圖像，如圖1所示.

解法1 由（2）知切線 的斜率為 .又 f （ t ） = （ t - 1 ） ：

，所以 令（20號(hào) y = 0 ，得

設(shè) ，則

令 ，由（2）可知 t = - 1 或

當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如表2所示當(dāng) t lt; 0 時(shí)， g （ t ） ? g （ - 1 ） = - 4 lt; 0 ，即 ，由（2）知 ，故符合題意；當(dāng) t gt; 0 時(shí)， g （ t ） ? ，即 ，不符合題意.

綜上，t的取值范圍為 （ - ∞ ， 0 ）

解法1是導(dǎo)數(shù)問題的常見解法，即依據(jù)題意，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).但對于本題來說，此方法頗為煩瑣.一方面，原函數(shù)的信息并沒有得到充分而有效的利用；另一方面，對于新函數(shù) g （ t ） 的處理也極易陷入泥沼，進(jìn)退兩難.因此，該方法不應(yīng)該作為首選方法.

解法2因?yàn)? ，令 y = 0，得x1= .令 t ，則

又 ，所以回到解法1中的式 ① 完成余下步驟即可.

解法2是在解法1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，在構(gòu)造并處理新函數(shù)的過程中，復(fù)雜的函數(shù)表示對求導(dǎo)的準(zhǔn)確性和對函數(shù)性質(zhì)的研究造成了極大的困擾.解法2選擇進(jìn)一步優(yōu)化，先不代入函數(shù)表達(dá)式，保留函數(shù)的整體形式，進(jìn)行整體求導(dǎo)，從而實(shí)現(xiàn)“撥云見日、柳暗花明”的效果.

解法3由（2）知當(dāng) t lt; 0 時(shí)， ，又 ι ： y - ，令 y = 0 ，得

由（2）知 ，故符合題意.

由（2）可知當(dāng) tgt;0 時(shí)， ，又 l ： y - f （ t ） = ，設(shè)

（2則

當(dāng) x gt; 0 時(shí)， ，因?yàn)?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0707/79DX6NiWFydVKB936zsEzZ.webp"/> ，所以當(dāng) x 變化時(shí)， 的變化情況如表3所示，則 F （ x ） ? F （ t ） = 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) x = t 時(shí)，等號(hào)成立，故 又 ，所以 ，不符合題意.

綜上， 的取值范圍為 （ - ∞ ， 0 ） ！

解法3的思路是在讀題的過程中，發(fā)現(xiàn)第（3）問的表述有非常強(qiáng)的幾何特征，在畫切線的過程中不難發(fā)現(xiàn)：若切點(diǎn)在 y 軸左側(cè)，切線斜率為負(fù)，與 x 軸的交點(diǎn)必在 x 軸負(fù)半軸（如圖2）；若切點(diǎn)在 y 軸右側(cè)，由原函數(shù)的凹凸性，切線一直在原函數(shù)圖像的右下方，則與 x 軸的交點(diǎn)必在原函數(shù)的零點(diǎn)右側(cè)（如圖3）.至此，通過畫圖已經(jīng)得出了本題的最終答案，接下來的重點(diǎn)只需聚焦在如何用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)語言把圖像中的幾何關(guān)系表述出來即可．

對比解法1和解法2不難發(fā)現(xiàn)，解法3從函數(shù)圖像入手，充分利用原函數(shù)的性質(zhì)快速得到最終結(jié)果，在書寫過程中要注意對幾何關(guān)系的代數(shù)轉(zhuǎn)化，繼而可以達(dá)到快速、準(zhǔn)確拿到滿分的目的，因此解法3是本題最推薦的解法.

3 總結(jié)與啟示

導(dǎo)數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，通過對文中題目的剖析，可以得到以下啟示.1）注意解后檢驗(yàn)的必要性，先猜后解和畫圖輔助都不失為行之有效的檢驗(yàn)手段.2）在解題過程中要善于運(yùn)用多種方法，從不同的角度思考問題，提高解題能力.3）在做導(dǎo)數(shù)題的過程中，考慮函數(shù)的幾何特征是非常必要的，應(yīng)充分利用幾何法直觀、好操作的屬性，結(jié)合代數(shù)法的嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算與論證，真正做到數(shù)形結(jié)合、自上而下解決函數(shù)問題

總之，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高考備考過程中要重視導(dǎo)數(shù)問題，通過先預(yù)判、多思考、多落實(shí)、勤總結(jié)，不斷提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

（完）