在高考命題視角下，探討直觀想象核心素養(yǎng)的落實(shí)及應(yīng)對(duì)策略

直觀想象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中，對(duì)高考命題建議指出：高考命題要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.在命題中，選擇合適的問(wèn)題情境考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，每道題需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).核心素養(yǎng)水平分為三級(jí)：一級(jí)是在熟悉的情境中考查直觀想象，二級(jí)是在數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)情境中考查直觀想象，三級(jí)是在綜合數(shù)學(xué)情境中考查直觀想象，所以高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)于每一道題.基于此，本文梳理總結(jié)了歷年部分高考題，探究直觀想象核心素養(yǎng)在命題中的形式和考查水平等級(jí)的劃分，并提出應(yīng)對(duì)策略，以明確高考備考方向.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行了全面闡述，從定義、范圍、表現(xiàn)和目標(biāo)四個(gè)方面對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)進(jìn)行說(shuō)明，直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀理解問(wèn)題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.據(jù)此可知，在數(shù)學(xué)命題中落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)的主要題型包括向量、函數(shù)與圖像、統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析、圓錐曲線(xiàn)、立體幾何等.下面就具體題型和考查水平的劃分一一展開(kāi)討論.

1向量

向量的線(xiàn)性運(yùn)算基于幾何原理，如三角形法則和平行四邊形法則，所以向量題是落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)的主要題型.這里所指的向量包括平面向量和空間向量，下面以平面向量為例展開(kāi)討論.

例1（2024年天津卷15）如圖1所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn) E 為線(xiàn)段 C D 的三等分點(diǎn)， ，則 λ + μ = . ；若 F 為線(xiàn)段 B E 上的動(dòng)點(diǎn)， G 為 A F 的中點(diǎn)，則 的最小值為

以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則 ，B （ 1 ， 0 ） ， C （ 1 ， 1 ） ， D （ 0 ， 1 ）

，1），所以BE=（-1，1）， "1）.由于 ，則 μ （ 0 ， 1 ） ，解得 =1，則λ+μ= 由 B （ 1 ， 0 ） ， 可得直線(xiàn) B E 的方程為

設(shè) ，則 所以 ！ ，所以

故當(dāng) 時(shí)， 取得最小值 中

該題是2024年天津卷的填空題，從情境形式看，屬于數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，在平面向量的知識(shí)情境中考查向量共線(xiàn)、向量的數(shù)量積和向量基本定理，是平面向量知識(shí)情境問(wèn)題與平面直角坐標(biāo)系關(guān)聯(lián)問(wèn)題，是對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的二級(jí)水平的考查，題目本身體現(xiàn)數(shù)與形的聯(lián)系.解答時(shí)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用了數(shù)與形的關(guān)系.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析出數(shù)與形的關(guān)系，若數(shù)不能直觀表示，則可利用圖形進(jìn)行分析；若形不能分析，則可用數(shù)進(jìn)行描述，或是通過(guò)數(shù)與形相結(jié)合共同說(shuō)明問(wèn)題.

2 函數(shù)與圖像

向量作為一種兼具幾何和代數(shù)性質(zhì)的工具，為直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了獨(dú)特的視角.而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，同樣蘊(yùn)含著豐富的直觀想象元素，因?yàn)楹瘮?shù)的表示形式之一就是圖像，并且函數(shù)圖像也是研究函數(shù)的主要途徑之一.高中學(xué)習(xí)的函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)等，下面以三角函數(shù)為例展開(kāi)討論.

例2（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷16）已知函數(shù)f （ x ）=sin （ ω x + φ ） ，如圖3所示， A ， B 是直線(xiàn) y = 與曲線(xiàn) y = f （ x ） 的兩個(gè)交點(diǎn)，若 個(gè)交點(diǎn)，若|AB|= ，則f （ π ） = .

對(duì)比正弦函數(shù) y = sinx 的圖像易知點(diǎn)

0）為“五點(diǎn)作圖法\"中的第五點(diǎn)，所以

由題意知 .由

可得 兩式相減得 即 （202

（204號(hào) 解得 ω = 4 ，代入式 ① 得 所以

，則

該題是2023年新課標(biāo) I 卷的第16題，屬于填空題的壓軸題.已知三角函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)的解析式，這是常見(jiàn)的三角函數(shù)題.本題融合了三角函數(shù)的“五點(diǎn)作圖法”、函數(shù)零點(diǎn)等，題目本身就已經(jīng)融入了數(shù)與形的關(guān)系，屬于在關(guān)聯(lián)的知識(shí)情境中考查直觀想象，是對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的二級(jí)水平的考查.在解題時(shí)，關(guān)鍵是從圖像里識(shí)別出已知條件，并根據(jù)形與數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化，

3統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析

統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析是近幾年高考的熱點(diǎn)題型，統(tǒng)計(jì)圖主要用幾何圖形直觀形象地表示數(shù)據(jù)關(guān)系，所以統(tǒng)計(jì)圖分析題型也是考查直觀想象核心素養(yǎng)題型之一.統(tǒng)計(jì)圖有多種形式，高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的有條形圖、餅圖、雷達(dá)圖、折線(xiàn)圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖、直方圖等

例3 （2022年全國(guó)甲卷理2）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖4所示，則（ ）

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于 70 % B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于 8 5 % C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

由題意知講座前問(wèn)卷答題的正確率分別為65 % ， 60 % ， 70 % ， 60 % ， 65 % ， 7 5 % ， 90 % ，5 % ， 8 0 % ， 9 5 % ，將其按照從小到大的順序排列為6 0 % ， 6 0 % ， 6 5 % ， 6 5 % ， 7 0 % ， 7 5 % ， 8 0 % ， 8 5 % ， 9 0 % 9 5 % ，所以其中位數(shù)為 ，故A錯(cuò)誤.

講座后問(wèn)卷答題的正確率分別為 90 % ， 8 5 % .8 0 % ， 9 0 % ， 8 5 % ， 8 5 % ， 9 5 % ， 1 0 0 % ， 8 5 % ， 1 0 0 % ， ， 1 0 0 % ， ， 所以其平均數(shù)為

8 5 % + 9 5 % + 1 0 0 % + 8 5 % + 1 0 0 % ） = 8 9 . 5 % ， 故B正確.

由題圖可知講座前問(wèn)卷答題的正確率比講座后正確率的波動(dòng)更大，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤.

由題圖可知講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為9 5 % - 6 0 % = 3 5 % ，講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為 1 0 0 % - 8 0 % = 2 0 % ，故D錯(cuò)誤.

綜上，選B.

該題是2022年全國(guó)甲卷理科的第2題，考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與分析.從問(wèn)題情境看，其是熟悉的問(wèn)題情境，且沒(méi)有關(guān)聯(lián)其他知識(shí)，所以是對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的一級(jí)水平的考查.在解題時(shí)，關(guān)鍵是能從所給的統(tǒng)計(jì)圖中得出數(shù)據(jù)并計(jì)算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差.

4圓錐曲線(xiàn)

圓錐曲線(xiàn)也是落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)的主要載體，因?yàn)閳A錐曲線(xiàn)問(wèn)題屬于解析幾何問(wèn)題，解題時(shí)需要借助數(shù)與形的聯(lián)系將圖像反映出的問(wèn)題代數(shù)化.圓錐曲線(xiàn)涵蓋直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)等，還涉及解三角形問(wèn)題以及新定義的一些曲線(xiàn)，下面以新定義曲線(xiàn)為例進(jìn)行討論.

例4（2024年新課標(biāo)I卷

11，多選題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖5中曲線(xiàn)C 的一部分.已知 C 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O ，且 c 上的點(diǎn)滿(mǎn)足橫坐標(biāo)大于- 2 ，到點(diǎn) F （ 2 ， 0 ） 的距離與到定直線(xiàn) x = a （ a lt; 0 ） 的距離之積為4，則（ ）.

A. a = - 2

B.點(diǎn) 在 C 上

C. C 在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn) 在 C 上時(shí)，

因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn) O 在曲線(xiàn) C 上，所以 4.又 a lt; 0 ，所以 a = - 2 ，故A正確.

因?yàn)辄c(diǎn) 到點(diǎn) F （ 2 ， 0 ） 的距離與到定直線(xiàn)x = - 2 的距離之積為 ，所以點(diǎn) 在曲線(xiàn) C 上，故B正確.

設(shè) P （ x ， y ） （ x gt; 0 ， y gt; 0 ） 是曲線(xiàn) c 在第一象限的點(diǎn)，則 0 （ x + 2 ） = 4 ，所以 .令 則

因?yàn)?f （ 2 ） = 1 ，且 ，所以函數(shù) f （ x ） 在x = 2 附近單調(diào)遞減，即必定存在一小區(qū)間 （ 2 - ε ， 2 + ε 使得 f （ x ） 單調(diào)遞減，則在區(qū)間 上均有f （ x ）gt;1 ，即 P （ x ， y ） 縱坐標(biāo)的最大值一定大于1，故C錯(cuò)誤.

因?yàn)辄c(diǎn) 在 C 上，所以 且

則

所以 ，故D正確.

綜上，選ABD.

該題是2024年新課標(biāo)I卷的11題，屬于多選題的壓軸題.題目以新穎的絲帶造型為問(wèn)題情境，關(guān)聯(lián)了新概念、曲線(xiàn) C 的軌跡及方程和曲線(xiàn)C 的性質(zhì)，屬于綜合情境問(wèn)題，是對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的三級(jí)水平的考查.解決這類(lèi)問(wèn)題的策略如下：一是充分利用好圖形，除了題目明確的已知條件外，能從圖形中抽象出相關(guān)的關(guān)系，或者能抽象出數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，即形化數(shù)；二是能將數(shù)抽象成形，借助圖形分析問(wèn)題，然后抽象出一般規(guī)律，形成方法；三是能從關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)和方法抽象出一般聯(lián)系，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

5 立體幾何

立體幾何是考查直觀想象核心素養(yǎng)的典型題型，因?yàn)樵诮鉀Q立體幾何問(wèn)題時(shí)需要借助立體圖形來(lái)直觀反映相關(guān)問(wèn)題，而且立體幾何題是每年必考的題型，從直觀想象的三個(gè)層次水平來(lái)看，雖然立體幾何題是熟悉題型，但是問(wèn)題往往關(guān)聯(lián)著眾多知識(shí)，如點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系和空間向量等知識(shí)，所以立體幾何問(wèn)題通常是考查直觀想象核心素養(yǎng)的三級(jí)水平.

例5（多選題）如圖6所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形， P A ⊥ 底面ABCD， 為線(xiàn)段 P B 的中點(diǎn)， F 為線(xiàn)段 B C 上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）.

A.平面 A E F 上平面 P B C B.AE//平面 P C D C.當(dāng) P C //平面 A E F 時(shí)，三棱錐E-ABF的體積為 D.當(dāng) F 是 B C 的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐E-ABF外接球的表面積為 5 π

因?yàn)? 為線(xiàn)段 P B 的中點(diǎn)，所以A E ⊥ P B .因?yàn)?P A ⊥ 底面ABCD， B C ? 底面 A B C D ，所以 P A ⊥ B C .因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以 A B ⊥ B C 又 P A ∩ A B = A ， P A ? 平面P A B ， A B ? 平面 P A B ，所以 B C ⊥ 平面PAB.因?yàn)锳 E ? 平面 P A B ，所以 B C ⊥ A E .又 P B ∩ B C = B ，PBC平面 P B C ， B C ? 平面 P B C ，所以 A E ⊥ 平面PBC.因?yàn)?A E ? 平面 A E F ，所以平面 A E F ⊥ 平面P B C ，故A正確.

當(dāng) F 為線(xiàn)段 B C 的中點(diǎn)時(shí)，由 E 為線(xiàn)段 P B 的中點(diǎn)，可得 E F / / P C . 又 E F 平面 P C D ， P C ? 平面P C D ，所以 E F /平面 P C D .假設(shè) A E / / 平面 P C D ，結(jié)合 A E ∩ E F = E A E C平面 A E F ， E F ? 平面 A E F ，則平面 A E F / / 平面 P C D .又 A F ? 平面 A E F ，所以A F / / 平面 P C D .又 A F ? 平面 A B C D ，平面 A B C D ∩ 平面 P C D = C D ，所以 A F / / C D .顯然 A F 與 C D 不平行，故B錯(cuò)誤.

當(dāng) P C / / 平面 A E F 時(shí)， E F / / P C . 因?yàn)?E 為線(xiàn)段P B 的中點(diǎn)，所以 F 為線(xiàn)段 B C 的中點(diǎn)，則 因?yàn)?P A ⊥ 平面ABCD， A B ? 平面 A B C D ，所以 P A ⊥ A B .又 P A = A B = 2 ， E 為線(xiàn)段 P B 的中點(diǎn)，所以 .因?yàn)?B C ⊥ 平面 P A B ， P B C 平面P A B ，所以 B C ⊥ P B ，所以三棱錐 E -ABF的體積為

故C正確.

因?yàn)?A E ⊥ 平面 P B C ， B E ⊥ B F ，所以三棱錐E-ABF可補(bǔ)全為長(zhǎng)方體.設(shè)三棱錐 E -ABF的外接球半徑為 R ，則 ，所以三棱錐E-ABF外接球的表面積為 5 π ，故D正確.

綜上，選ACD.

該題是立體幾何問(wèn)題，主要考查空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系、線(xiàn)面平行的判定定理、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)以及幾何體體積公式等，所以該題是綜合數(shù)學(xué)情境問(wèn)題，考查直觀想象核心素養(yǎng)的三級(jí)水平.解決這類(lèi)問(wèn)題的方法如下：一是鞏固基礎(chǔ)，清楚空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征，理解線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征；二是能從立體圖形中發(fā)現(xiàn)空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系、空間角和距離，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征.這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是在證明空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系時(shí)，有些條件必須從圖形中直觀想象出來(lái)；三是從眾多關(guān)聯(lián)知識(shí)和方法中抽象出聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征.

6數(shù)形結(jié)合思想

許多代數(shù)問(wèn)題往往需要借助幾何知識(shí)輔助求解，我們稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合包括三種形式：數(shù)轉(zhuǎn)換為形、形轉(zhuǎn)化為數(shù)和數(shù)與形同時(shí)使用，其中形轉(zhuǎn)化為數(shù)和數(shù)與形同時(shí)使用的題型在前面已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)了，這里主要討論通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)換為形分析問(wèn)題的情況.這類(lèi)問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)情境問(wèn)題往往具有幾何意義，或可以通過(guò)代換的形式轉(zhuǎn)化為與形有關(guān)的知識(shí).下面以復(fù)數(shù)為例展開(kāi)討論.

例6已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 是虛數(shù)單位），則 的最大值為

設(shè) z = x + y i（ x ， y ∈ R） .因?yàn)?∣ z - 3 + 4 i∣ = 1，所以 ，則復(fù)數(shù) z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是在以 M （ 3 ， - 4 ） 為圓心、1為半徑的圓上，故

式 ① 表示圓 上任意一點(diǎn) A （ x ， y ） 到定點(diǎn) B （ 7 ） 的距離（如圖7）.

由圓的性質(zhì)可知 的最大值是點(diǎn) （ 7 ， - 1 ） 到圓 （ x -

的圓心 （ 3 ， - 4 ） 的距離加半徑，即

該題是復(fù)數(shù)與三角函數(shù)、圓相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境題型，是對(duì)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的二級(jí)水平的考查.由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的求模公式抽象出 （ x - ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科直觀想象核心素養(yǎng)的落實(shí)形式以及答題策略展開(kāi)探究，重點(diǎn)分析直觀想象核心素養(yǎng)在向量、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)圖、圓錐曲線(xiàn)、立體幾何等方面的落實(shí)情況，希望能對(duì)學(xué)生的復(fù)習(xí)備考有所啟發(fā).