傳承中考查“四層四翼” 創(chuàng)新中落實核心素養(yǎng)

近五年高考數(shù)學卷中全面考查了解三角形的基本知識，命題方式新穎別致，緊扣《中國高考評價體系》中的“一核、四層、四翼”，試題體現(xiàn)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).

1近五年高考數(shù)學中解三角形試題考點透析

筆者研究發(fā)現(xiàn)，近五年高考數(shù)學中部分解三角形試題所考查的知識點、題型和核心素養(yǎng)詳細情況統(tǒng)計如表1所示.

從上述表格可以看出，解三角形是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，題型比較豐富，涉及選擇題、填空題和解答題，考查知識點全面，一般結合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識綜合考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式在解三角形中的應用.

2解三角形核心考點

解三角形重點要掌握正弦定理、余弦定理及其相關變形應用，會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題，會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題，會利用基本不等式和相關函數(shù)的性質解決三角形中的最值及取值范圍問題等.

2.1 正弦定理

設 Δ A B C 的內(nèi)角 A ， B ， C 所對的邊分別為

1）內(nèi)容： （ R 為 Δ A B C 的外接圓半徑）.

2）變形： ① sin 2Rsin 2R'sin （角化邊）； （邊化 角）； ③a ： b ： c = sin A ： sin B ： sin C ;

3）適用范圍： ① 已知兩角和一邊； ② 已知兩邊和

其中一邊的對角.

2.2 余弦定理

1）內(nèi)容： cos

2ac cos B C （兩邊及其夾角求 （204號

邊）；cos A= ，cos （三邊求角）.

2）適用范圍： ① 已知三邊； ② 已知兩邊及其 夾角.

2.3 三角形面積

為 a 邊上的高）. 為△ABC的內(nèi)切圓半徑）. 為△ABC的外接圓半徑）.5）海倫公式： （其中 ） ：

2.4 常見結論

1）三角形內(nèi)角和定理： A + B + C = π

2）在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

.3）在三角形中，大邊對大角，大角對大邊.

4）三角形中的射影定理：

b = a cos C + c cos A ， c = b cos A + a cos B

5 ） sin （ A + B ） = sin C ， sin （ B + C ） = sin A ，

（20sin （ A + C ） = sin B ， cos （ A + B ） = - cos C ，

cos （ B + C ） = - cos A ， cos （ A + C ） = - cos B ，

ancos

3 經(jīng)典試題

3.1 三角形中相關線段的長問題

例1（2024年新課標I卷15）記△ABC的內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，已知sin C =

（1）求 B ：

（2）若 Δ A B C 的面積為 ，求

（1）由余弦定理得

因為 0 lt; C lt; π ，所以 ，則 即 cosB 又 0 lt; B lt; π ，所以 中

（2）方法1 由（1）知 則 設△ABC的外接圓半徑為 R .由正弦定理可得 b = ， ，故

解得 R = 2 （負值舍），則

方法2由（1）知 則 .由正弦定理可得

聯(lián)立 ①② 解得 （負值舍）.

方法3 由（1）知 作 A D ⊥ B C ，則中

.設 A D = x ，則 D C = x ，

3x，所以

（20

解得 （負值舍），故

方法4由（1）知 則si .設Δ A B C 的外接圓半徑為 R .由正弦定理可得 a = ，則

解得 R = 2 （負值舍），故 ：

方法5以 B 為坐標原點，以 B C 為 x 軸，建立平面直角坐標系.作 A D ⊥ B C ，則

所以 ，故

解得 （負值舍）.

3.2 三角形的面積問題

例2 在△ABC中，角 A ， B ， C 所對的邊分別為 （20

（1）求 B ： （2）若 b = 1 ，求△ABC的面積.

0 （1）由余弦定理cos 及 解析

，可得cos .由于 C ∈ （ 0 ， π ） ，則 C = 又cos 且 ，所以 2 B = 則

：

（2）方法1 由（1）可知 ，且

由正弦定理可得

所以

方法2 由（1）可知 ，所以sin B = -cos A .由正弦定理可得

方法3 如圖1所示，過 A

點 A 作 A D ⊥ A C 交 B C 于點 （20 C D

D .由于 則， 圖1

所以

！ C D = 2 ，故

3.3 取值范圍問題

例3已知△ABC的內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別 為 ，向量 且

（1）求 A ;

（2）如圖2所示， ∠ B A C 的 平分線 A D 交 B C 于點 D ， A D = 1 ，求 的取值 范圍.

解析

（1）由 ，可知 cos A ），故

（204號 顯然 1 + cos A gt; 0 ，則

即 cos A = 3 （ 1 - cos A ） ，解得cos 又 A ∈

（ 0 ， π ） ，所以 0

（2）設 B D = x ， C D = y ，則 x gt; 0 ， y gt; 0 ，且 ，故

由于 A D 平分 ∠ B A C ，故

其中 kgt;0 ，所以 ，則 因此 則 又

所以 ，此時

又 ，所以 2bc cos ，故

當 b = c 時，等號成立.

對任意滿足 的實數(shù) ，令 0 ，則此時 構成一個滿足條件的 Δ A B C ，且

綜上 的取值范圍是

3.4 最值問題

例4在△ABC中，角 A ， B ， C 所對的邊分別為 （204號

（1）若 ，求△ABC的面積 S ：

（2）若角 C 的平分線與 A B 的交點為 D ， C D = ，求 a + b 的最小值.

（1）由題意可知

則

由正弦定理可得 ，則

因為 C ∈ （ 0 ， π ） ，所以 A

在△ABC中， ，由余弦定理可得

則 ，解得 a b = 1 ，因此

即△ABC的面積 S 為

（2）因為 C D 為角 C 的平分線， ，所以∠"A C D=∠ B C D "=π／ 6"在 Δ A B C 中，

，所以

由 可得 ，所以 a b =

.因為 a gt; 0 ， b gt; 0 ，由基本不等式可得 ，所以 當且僅當 a = 時，等號成立，故 a + b 的最小值為

3.5 證明問題

例5記 Δ A B C 的內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，已知點 D 在邊 A C 上，且 B D = A C ， B D ·sin A=B C sin C

（1）證明： Δ A B C 是等腰三角形； （2）若 ，求 sin C

（1）因為 A B sin A = B C sin C ， B D sin A = B C sin C ，所以 A B = B D .又 B D = A C ，所以A B = A C ，故△ABC是等腰三角形.

（2）設 B D = A B = A C = b ，若 ，則 在 Δ A B D 中，由余弦定理得

在 Δ A B C 中，因為 A + 2 C = π ，所以 故

3.6 實際應用問題

一例6某地有一座雕像，如圖3所示.某數(shù)學學習小組為測量雕像的高度，在地面上選取共線的三點A ， B ， C ，分別測得雕像頂?shù)难鼋菫? ，且 ，則雕像的高為 m.

如圖4所示，設雕像的高為 P O = h .由題意可知 ， O B = h ， ，其中OB為 的中線.

在 中，由余弦定理得 2 O B × A B cos ∠ O B A

在 中，由余弦定理得 2 O B × B C cos （ π - ∠ O B A ）

兩式相加可得 ，即

解得 （20

4復習備考策略

4.1 把握方向，提高效率

高考備考應依據(jù)《中國高考評價體系》，立足《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》，緊扣教材，依托“一核、四層、四翼\"評價體系，熟悉“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識\"的考查內(nèi)容，明確“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”的考查要求，遵循學生認知規(guī)律，把握新高考命題方向，注重能力立意和素養(yǎng)導向，

4.2 關注題型，挖掘規(guī)律

上面對近五年解三角形的題型進行了歸納，意在梳理出基本題型，尋找同一種題型的解題方法.從梳理的題型可以看出，解三角形仍是今后考查的熱點，除了常考的題型外，還應重點關注開放題、創(chuàng)新題等新題型.本文通過對近五年高考題深入研究，揭示了各題型之間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘出各題型之間蘊含的規(guī)律.

4.3深化思想，提升能力

近五年解三角形試題俗中出新，新中有變.因此，學生在復習備考時既要重視基本知識、基本技能、基本方法的積累，深刻領悟數(shù)學思想方法，又要注重培養(yǎng)自身的觀察能力、聯(lián)想能力、運算能力、反思能力.

本文系陜西省“十四五”教育科學規(guī)劃2024年度課題——新高考背景下生活情境在高中數(shù)學教學中的應用研究（SGH24Y0875）階段性研究成果.

（完）