從教材習(xí)題談?wù)勶h帶函數(shù)及其應(yīng)用

教材習(xí)題是高考復(fù)習(xí)備考的重要資料，挖掘習(xí)題的價(jià)值、回歸教材是提高復(fù)習(xí)備考效率的重要環(huán)節(jié).本文對(duì)一道教材習(xí)題進(jìn)行多角度分析，探究出了幾個(gè)一般性的性質(zhì)，希望能為學(xué)生復(fù)習(xí)備考提供參考.

1 問題的提出

題目（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) 101頁復(fù)習(xí)參考題3第12題)試討論函數(shù) y = x - 的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，并畫出函數(shù)圖像.

容易得出上述習(xí)題答案，但是對(duì)于一般的函數(shù) ，它們的圖像和性質(zhì)又是什么呢？

2 問題的解決

通過探究，上述兩種函數(shù)的圖像與性質(zhì)如表1所示.

因?yàn)楹瘮?shù) 和函數(shù)

的圖像像一條飄帶，因此很多資料上稱其為飄帶函數(shù).

3 問題的拓展

3.1從不等式角度看

通過幾何畫板可以畫出函數(shù) （2號(hào)ln 的圖像，如圖1所示，容易得出兩組不等式.

當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 0

上面兩組不等式稱為飄帶不等式，下面給出證明，當(dāng) x ? 1 時(shí)，令 貝

所以 F ( x ) 在 [ 1 ， + ∞ ) 上單調(diào)遞減，故 F ( x ) ? F ( 1 ) = 0，即 .令 則 ，所以 H ( x ) 在 [ 1 ， + ∞ ) 上單調(diào)遞增，故 H ( x ) ? H ( 1 ) = 0 ，即 當(dāng)且僅當(dāng) x = 1 時(shí)，等號(hào)成立.

因此，當(dāng) ，不等式

成立.

同理可證，當(dāng) 0 < x < 1 時(shí)，不等式 n 也成立.

通過代換，可以得到飄帶不等式的變形：

3.2從曲線的角度看

換個(gè)角度思考這個(gè)問題，如果把函數(shù) f ( x ) = 0)的圖像看作是曲線，則其是雙曲線，下面給出證明.

設(shè) 是 的圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn) 繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 后得到點(diǎn) Q ( x ， y ) ，則點(diǎn) Q ( x ， y ) 的軌跡為曲線 τ 根據(jù)旋轉(zhuǎn)公式

將點(diǎn) 代人 可得

2 x y ( a sin 2 θ + cos 2 θ ) = - 2 b .

令 ，聯(lián)立方程

解得 將 代回式 ① 整理得曲線 τ 的方程

為 ，顯然曲線 τ 為雙曲線.因此，旋轉(zhuǎn)之前的 也是雙曲線.同理可證 也是雙曲線.

4高考試題中的應(yīng)用

下面一起來看看如何運(yùn)用上面所研究的知識(shí)來解決最近幾年的高考試題和各地模擬試題.

4.1 飄帶不等式在數(shù)列不等式問題中的應(yīng)用

例1 （2023年天津卷20）已知函數(shù) f ( x ) =

(1)求曲線 y = f ( x ) 在 x = 2 處切線的斜率；(2)當(dāng) x>0 時(shí)，證明： f ( x )>1 (3)證明：

（求解過程略）.

(2)要證 f ( x )>1 ( x>0 ) ，只需證

即證 ，由飄帶不等式可知顯然成立.

(3)先證明不等式右邊.令

則

由(2)可判斷出 ，所以數(shù)列 為遞減數(shù)列，則 ，故不等式右邊得證.

下面證明不等式左邊.當(dāng) x > 1 ，飄帶不等式 成立，用 替換 x 得

即 兩邊同時(shí)乘 可得

則 ，所以

，則

：

以上各式相加得 即

故

本題作為壓軸題有一定的難度，特別是第(3)問的證明難度較大，用飄帶不等式證明是比較好的方法.第（2)問一眼就可以看出飄帶不等式的變形結(jié)構(gòu) ，那么解題思路就明晰了.第（3）問也是利用飄帶不等式 累加放縮求解.

4.2飄帶不等式在雙變量不等式問題中的應(yīng)用

例2 已知函數(shù)

(1)求 f ( x ) 的極值；

(2)若 ，且 a b > 1 ，證明：g ( a ) + g ( b ) > 0 .

( 1 ) f ( x ) 的極小值為 ，無極大值（求解過程略).

(2)因?yàn)? ，所以 （20號(hào) .由 ，可得 ；由 ，可得 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，即 ，故函數(shù) g ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) ）上單調(diào)遞增.因?yàn)? ，所以 .要證g ( a ) + g ( b ) > 0 ，只需證 ，即證 ，即證

令 ，則只需證 h ( x ) ? 0

當(dāng) x = 1 時(shí)， h ( x ) = 0

當(dāng) 0 ，由飄帶不等式可得ln 即 則 ，所以 ，故 h ( x ) > 0

當(dāng) x>1 時(shí)， ，由飄帶不等式可得 即

所以 ，故 h ( x ) > 0 綜上， . h ( x ) ? 0

將對(duì)數(shù)函數(shù)放縮，利用飄帶不等式求解，過程簡捷.

4.3飄帶不等式在比較大小問題中的應(yīng)用

例3（2022年新高考 I 卷7設(shè) ，c=-ln 0.9，則( ）.

A C.

當(dāng) 時(shí)，有

則

當(dāng) x<1 時(shí)，有 當(dāng)且僅當(dāng) x = 0 時(shí)，等號(hào)成立），所以 則 ，所以 ，故選C.

從飄帶不等式 （ 出發(fā)，求解過程快速、簡捷.

4.4從曲線的角度考查雙曲線性質(zhì)

例4坐標(biāo)平面 x O y 上的點(diǎn) P ( x ， y ) 也可表示為 P ( r cos θ ， r sin θ ) ，其中 r = ∣ O P ∣ ， θ 為 x 軸非負(fù)半軸繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與 O P 重合的旋轉(zhuǎn)角.將點(diǎn)P 繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 后得到點(diǎn) ，這個(gè)過程稱之為旋轉(zhuǎn)變換.

(1)證明旋轉(zhuǎn)變換公式： 利用該公式求點(diǎn) 繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后的點(diǎn) 的坐標(biāo).

(2)旋轉(zhuǎn)變換建立了平面上的每個(gè)點(diǎn) P 到 的對(duì)應(yīng)關(guān)系.利用旋轉(zhuǎn)變換可將曲線通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的曲線進(jìn)行研究.求將曲線 c （204 繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到的曲線方程，并求該曲線的離心率.

（求解過程略).

(2)方法1 (旋轉(zhuǎn)變換化標(biāo)準(zhǔn)式)設(shè)曲線 C 上的任一點(diǎn) P ( x ， y ) 繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到的點(diǎn)為 ，則點(diǎn) 繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到點(diǎn) P ( x ， y ) ，故

因?yàn)辄c(diǎn) P ( x ， y ) 在曲線C 上，所以

化簡得x'2_ ，故曲線 C 繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到的曲線方程為x2- ，該曲線為雙曲線，其離心率為2.

方法2 （公式法)先證明一個(gè)結(jié)論：設(shè)雙曲線方程為 ，角 α 是漸近線 y = 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到漸近線 的夾角，則離心率 因?yàn)? ，所以 由于平移前和平移后 C 的離心率相等，故本題可以用公式 求解離心率.曲線 的兩條漸近線為 和 y 軸，它們夾角為 （20 所以

本題是新定義題型，源于教材習(xí)題的推廣.對(duì)于第(2)問，可以用旋轉(zhuǎn)變換公式將非標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的離心率轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，也可以用方法2中的公式 求解，該公式也適用于一般的非標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程，關(guān)鍵是正確找到角 α

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂)》指出，數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)\"活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源.習(xí)題是教材的重要組成部分，是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，也是高考命題的重要題源.要想發(fā)揮教材習(xí)題的價(jià)值，學(xué)生就要靜下心挖掘教材課后習(xí)題的拓展探究，探究其一般性規(guī)律，探究其與高考試題的銜接.