例析不等式的證明策略

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.近幾年的數(shù)學(xué)強(qiáng)基競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)以不等式為背景的證明題，尤其是結(jié)構(gòu)具有一定對(duì)稱形式的不等式，它全面考查學(xué)生對(duì)重要不等式、基本不等式、柯西不等式，乃至琴生不等式等掌握的熟練程度，因而綜合性大、靈活性強(qiáng).本文結(jié)合部分不等式證明題的解答，揭示一些不等式的基本證明策略，希望能為讀者提供思路和幫助.

1典例剖析

例1 已知正數(shù) 滿足 a + b + c + d = 1 求證： （20

分析1使用基本不等式證明.

知識(shí)準(zhǔn)備若 x gt; 0 ， y gt; 0 ，則 ，當(dāng) 且僅當(dāng) x = y 時(shí)，等號(hào)成立.

證法1因?yàn)?a + b + c + d = 1 ，所以

（ 1 + a ） + （ 2 + b ） + （ 3 + c ） + （ 6 + d ） = 1 3 ， 于是

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.又 a + b + c + d = 1 ，所以當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.

綜上 得證.

既然能夠捕捉到數(shù)字13這條敏感信息，找到已知和待證之間的這層關(guān)系，那么按照多項(xiàng)式的乘法予以展開(kāi)，之后利用基本不等式就能順利求解.

分析2使用柯西不等式證明

知識(shí)準(zhǔn)備 ，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) k ，使得 時(shí)，等號(hào)成立.

證法2 記待證不等式為

因?yàn)?/p>

所以式 ① 等價(jià)于

即證

亦即證

也即證

又 a + b + c + d = 1 ，所以

（ 1 + a ） + （ 2 + b ） + （ 3 + c ） + （ 6 + d ） = 1 3 .

于是式 ② 等價(jià)于

由柯西不等式得

當(dāng)且僅當(dāng)

即 時(shí)，等號(hào)成立.

又 a + b + c + d = 1 ，所以當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.

綜上， 得證.

利用柯西不等式證明不等式一直是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)、難點(diǎn).難在需要靈活根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)題目條件或結(jié)論中的相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化與變形，為利用柯西不等式創(chuàng)造條件.因此，熟練掌握柯西不等式的各種變式及其推論是很有必要的.本題就需要把已知條件配湊為所證結(jié)論中分母的結(jié)構(gòu)形式，從而使問(wèn)題得解.

分析3使用加權(quán)形式的琴生不等式證明.

鑒于一些學(xué)生對(duì)琴生不等式不太熟悉，所以先補(bǔ)充相關(guān)知識(shí).

知識(shí)準(zhǔn)備 1）凸（凹）函數(shù)的定義

如果函數(shù) f （ x ） 在 （ a ， b ） 上連續(xù)且二階可導(dǎo)，對(duì)任意的 x ∈ （ a ， b ） ，若 恒成立，則 f （ x ） 在 （ a ，b ）上是凸函數(shù)；若 恒成立，則 f （ x ） 在 （ a ，b ）上是凹函數(shù).

2）凸（凹）函數(shù)的性質(zhì)（1）如果 f （ x ） 在 （ a ， b ） 上是凹函數(shù)，那么

（2）如果 f （ x ） 在 （ a ， b ） 上是凸函數(shù)，那么

說(shuō)明：凹函數(shù)的兩個(gè)自變量的算術(shù)平均數(shù)的函數(shù)

值不小于其函數(shù)值的算術(shù)平均值，凸函數(shù)的兩個(gè)自變量的算術(shù)平均數(shù)的函數(shù)值不大于其函數(shù)值的算術(shù)平均值.

（3）上述性質(zhì)推廣到 n 個(gè)自變量的情況如下：如果函數(shù) f （ x ） 在 （ a ， b ） 上是凹函數(shù)，那么對(duì)于任意的 ，都有

若 f （ x ） 是凸函數(shù)，則不等號(hào)方向相反，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，此不等式即為琴生不等式.

（4）若 f （ x ） 是 （ a ， b ） 上的凸函數(shù)，則對(duì)任意的 為正數(shù)，有

若 f （ x ） 是凹函數(shù)，則不等號(hào)方向相反，此不等式即為加權(quán)形式的琴生不等式.

證法3構(gòu)造函數(shù) ，則

所以 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是凹函數(shù).又因?yàn)?a + b + c + d = 1 ，所以由琴生不等式的加權(quán)形式得

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)了相關(guān)知識(shí)（人教版普通高中教科書(shū)必修第一冊(cè)第101頁(yè)第8題（2）），教材中雖未提及凸（凹）函數(shù)這一概念，但在歷年競(jìng)賽和各地高考試題中涉及凸（凹）函數(shù)知識(shí)或以凸（凹）函數(shù)為背景的試題頻繁出現(xiàn).本題使用加權(quán)形式的琴生不等式顯得更為簡(jiǎn)潔.

2 類題分析

例2在△ABC中，角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 a ， ，求證：

證明不等式的左邊部分可證明如下.

因?yàn)楹瘮?shù) 在 （ 0 ， + ∞ ）上是凸函數(shù)，所以 ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b 時(shí)，等號(hào)成立.

又因?yàn)楹瘮?shù) 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是增函數(shù)， ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

同理可證 ，當(dāng)且僅當(dāng) b = c 時(shí)，等號(hào)成立； 當(dāng)且僅當(dāng) c = a 時(shí)，等號(hào)成立.三式相加得

又 a + b + c gt; 0 ，所以

當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 時(shí)，等號(hào)成立.

不等式的右邊部分可證明如下.

因?yàn)槭禽啌Q對(duì)稱式，所以 地位平等，不妨設(shè) γ ? b ? a ，則

所以 .又因?yàn)楹瘮?shù) 在（0，+ ∞ i ）上是增函數(shù)，所以

同理可證 .三式相加得

即

得證.2號(hào)

求證本題時(shí)多次使用琴生不等式，然后利用不等式同向的可加性使問(wèn)題獲解.

例3 已知正數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=4，求證：

證法1由正數(shù) 滿足 a + b + c + d = 4 可得

b + c + d = 4 - a gt; 0 ? 0 lt; a lt; 4 ，

同理可得

則待證不等式等價(jià)于

構(gòu)造函數(shù) ，則

所以函數(shù) f （ x ） 在（0，4）上是凸函數(shù)，于是

所以

當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c = d = 1 時(shí)，等號(hào)成立.

綜上， 12得證.

證法2由于在已知條件和待證的結(jié)論中， ，c ， d 地位平等，都是輪換對(duì)稱式，因此所證不等式成立的條件一定是 a = b = c = d .因?yàn)?a + b + c + d = 4 且4的算術(shù)平均值是1，而 a ， b ， c ， d 相等時(shí)就是 a = b = c = d = 1 ，所以

由 a + b + c + d = 4 ，可得

b + c + d = 4 - a gt; 0 ? 0 lt; a lt; 4 ，

同理可得

不妨令 - 1

所證不等式等價(jià)于

令 ，則 ，故 1

g （ x ） 在 [ 0 ， 1 ） 上單調(diào)遞增，所以

即 同理可證 兩式相加可得

即

亦即

當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c = d = 1 時(shí)，等號(hào)成立

綜上 12得證.

利用琴生不等式證明這道題顯得較為簡(jiǎn)捷.由于本題涉及輪換對(duì)稱不等式，因此也可以用均值替換的方法進(jìn)行證明.

例4已知正數(shù) x ， y ， z 滿足 x + y + z = x y z ，求

證明 由題意可知 為正數(shù)，且 x + y + z = x y z ，則

由基本不等式可得

當(dāng)且僅當(dāng) x = y = z 時(shí)，等號(hào)成立.

由柯西不等式可得

當(dāng)且僅當(dāng) x = y = z 時(shí)，等號(hào)成立.

得證.

本題的證明需要綜合運(yùn)用基本不等式與柯西不等式，要求考生具備敏銳的信息捕捉能力以及知識(shí)的遷移應(yīng)用能力.

從這幾道題的探索過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，一些不等式尤其是輪換對(duì)稱不等式，本身形式很美，體現(xiàn)出它的外在美.同時(shí)，解法很有技巧性，體現(xiàn)出它的內(nèi)在美.對(duì)于準(zhǔn)備參加強(qiáng)基競(jìng)賽或重點(diǎn)高校自主招生的學(xué)生而言，有必要自主學(xué)習(xí)琴生不等式.琴生不等式并不復(fù)雜，它源于教材，既有根可循，又有法可尋，可謂是“有源之水，有本之木”.另外，學(xué)生還需要重點(diǎn)掌握基本不等式及多維的柯西不等式.

3牛刀小試

練習(xí)1已知 Δ A B C 的內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 ，求證：

證明 由正弦定理及柯西不等式可得

同理可得

三式相加得

綜上， 得證.

練習(xí)2 已知 a ， b ， c 為 Δ A B C 的三邊， S 為Δ A B C 的面積，若 ，求證：

證明 由余弦定理得

所以

z cos C ） - 2 z a b cos C =

當(dāng)且僅當(dāng)

即 時(shí)，等號(hào)成立.（2號(hào)

綜上， 得證.

本文系山東省教育教學(xué)研究課題“大單元視域下普通高中數(shù)學(xué)任務(wù)鏈進(jìn)階驅(qū)動(dòng)教學(xué)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2023JXY343）的階段性成果.

（完）