例談高考數(shù)列不等式證明中通項放縮的策略

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高等數(shù)學研究極限的重要載體，是初等數(shù)學和高等數(shù)學的重要銜接點，更是各地高考中的熱點和難點，而數(shù)列不等式的證明更是難點中的難點.此類問題所對應(yīng)的數(shù)列一般不能直接求和，通常需要對通項或求和后的結(jié)果進行適當變形放縮后才能求和.放縮法的基本思想是通過放縮將原本不能求和的數(shù)列變成可以求和的數(shù)列.下面將結(jié)合具體例題分類歸納放縮的策略.

1放縮成等差數(shù)列求和

若數(shù)列 的通項公式是關(guān)于 n 的根式且根式化簡后是 n 的1次式，可以考慮把它放縮成等差數(shù)列，如 n + 2 ：

一例1已知等差數(shù)列 的首項為1，前 n 項和為

（1）求數(shù)列 的通項公式；

（2）若 ，數(shù)列 的前 n 項和為 ，求證：

（求解過程略）.

（2）由（1）可知 所以 .由 ，可得

所以n（n+1） 又

所以n（n+1） ，即

先將數(shù)列 分別放縮成可求和的等差數(shù)列 和 ，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可證明.

2放縮成等比數(shù)列求和

若數(shù)列 是等比數(shù)列，數(shù)列 滿足 ka，+b'則可以通過適當變形將b。放縮為等比數(shù)列.

例2（2014年全國 I 卷理17）已知數(shù)列 滿足

（1）證明： 是等比數(shù)列，并求 的通項公式；

（2）證明

證明 （證明和求解過程略）.

（2）由（1）知 ，所以

在第（2）問中，通過對通項 中的指數(shù)部分舍掉常數(shù)后降冪，放縮為可求和的等比數(shù)列，在放縮時需要保持指數(shù)的底數(shù)不變.

變式1已知數(shù)列 的前 n 項和為 （ ），數(shù)列 為等比數(shù)列，且 分別為數(shù)列 的第2項和第3項.

（1）求數(shù)列 與數(shù)列 的通項公式；

（2）求證：

（求解過程略）.

（2）設(shè)

故

在此題中，對 放縮時發(fā)現(xiàn)分母中有兩項均為等比數(shù)列，此時可以舍掉變化相對較慢的項，確保在 n 足夠大時，二者極限一致，減小放縮帶來的誤差.

變式2 已知數(shù)列 滿足 ，求證： （20

證明 因為

當 n = 1 時，等號成立，所以

在證明數(shù)列不等式時，若要證明的數(shù)列通項公式中涉及指數(shù)函數(shù)，則可以考慮通過加減常數(shù)、分離常數(shù)、待定系數(shù)、舍掉變化相對較慢的部分等方法，將其放縮為可求和的等比數(shù)列.

3放縮后可裂項求和

1）等差型

對于數(shù)列 ，若 f （ n ） 是關(guān)于 n 的多項式函數(shù)，可以考慮將其放縮為幾個因式的乘積后再進行裂項求和，如數(shù)列 可以放縮為 （即 ），進而裂項為

已知等差數(shù)列 滿足 為等比數(shù)列 的前 n 項和，

（1）求 的通項公式；

4anb\"，n為奇數(shù)，

（2）設(shè) 證明：n 為偶數(shù)，

（求解過程略）.

（20 n 為奇數(shù)，（2）由（1）知n 為偶數(shù).

設(shè) ，其中奇數(shù)項的和為 ，偶數(shù)項的和為 ，則

兩式相減并整理得

故 A

所以

故

在本題中，先將 放縮成 然后將其裂項為 進行求和.當 f （ n ） 是關(guān)于 n 的2次多項式函數(shù)時，考慮用 進行放縮.

2）根式型

對于數(shù)列 ，若 f （ n ） 為兩個根式的和時，可以通過分母有理化，將通項轉(zhuǎn)化為兩項之差，以便求和時抵消中間項.例如， 非負且不同時為

當 a ≠ b 時，不妨設(shè) a gt; b ，則

然后舍掉 后提取 ，再放縮，如

當 a = b 時，可通過舍掉 后，提取 a ，再放縮，如

例4（2019年浙江卷理20）設(shè)等差數(shù)列 的前 n 項和為 ，數(shù)列 滿足：對任意 成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列 的通項公式；

（2）記 ，證明：

（求解過程略）.

（2）結(jié)合（1）可得

則

變式 求證：

證明 因為對于任意的 ，都有

所以

。點對于這類數(shù)列不等式問題，往往需要先將其適當放縮變形為 的形式，然后通過分母有理化裂項求和.

3）指數(shù)型

對于數(shù)列 ，如果其通項公式是分式形式，且分子或分母含有關(guān)于 n 的指數(shù)部分，除了可以將其放縮為等比數(shù)列外，還可以考慮通過適當放縮后對其進行裂項.

例5已知數(shù)列 的前 n 項和為 ，且滿足

（1）求 的通項公式；

（2）證明

（求解過程略）.

（2）當 n ? 2 時 成立.

當 n?3 時，設(shè)

則 取 所以

故

變式已知數(shù)列 是等比數(shù)列，其前 n 項和為 ，數(shù)列 是等差數(shù)列，滿足

（1）求數(shù)列 的通項公式；

（2）證明：

， （求解過程略）.

（2）由（1）可得

因為 ，所以

即

觀察例5和變式，注意到例5的第（2）問中， 并不包含 n 的1次或2次項，因此它也符合前面提到的“放縮成等比數(shù)列求和”變式2的形式，也可以放縮為

然后求和證明.在變式中，式子 包含了 k 的1次和2次項，這時就不能直接放縮為等比數(shù)列了，而是要利用分式的性質(zhì)放縮后再裂項求和.

4放縮后可錯位相減求和

例6（2021年天津卷19）已知 是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為 是公比大于0的等比數(shù)列，

（1）求 和 的通項公式.

（2）記

（i）證明： 是等比數(shù)列；

（i）證明：

（求解過程略）.

（2）（i （證明過程略）.

（i）由題意知

所以

故

設(shè) 2n-1，則

兩式相減得

所以 2\"-1，故

。點對于本題第（ii）問，因為無法直接求解 akak+1，所以應(yīng)先放縮去除根號，再利用錯位相減法證明.

（完）