聚焦高考常見二項(xiàng)式定理相關(guān)題型的深度剖析

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，在試卷中占有一定分值.在歷年高考中，二項(xiàng)式定理常以客觀題的形式出現(xiàn)，并且相關(guān)試題的命題風(fēng)格與考查方向相對(duì)穩(wěn)定.本文深入剖析與二項(xiàng)式定理相關(guān)的常見題型.

1求二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)及相關(guān)量

在二項(xiàng)展開式中，常常會(huì)出現(xiàn)諸如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、整式項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng)等特殊項(xiàng).求解這些特殊項(xiàng)的關(guān)鍵在于借助二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 .通過分析題目所給條件，構(gòu)建關(guān)于 r 的方程或不等式，從而確定 r 的取值.

1）求特定項(xiàng)的系數(shù)

例1 （2024年北京卷4）在 的展開式中， 的系數(shù)為（ ）.

A. 15 B.6 C.-4 D.-13 易知 的二項(xiàng)展開式為

r = 2 求特定項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，準(zhǔn)確寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，根據(jù)通項(xiàng)中 x 的冪次列方程求解 r ，進(jìn)而確定特定項(xiàng)系數(shù)，求解時(shí)要認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò).

2）求常數(shù)項(xiàng)

例2 （2024年天津卷11）在 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

O 易知 的二項(xiàng)展開式為 解析

令 6 （ r - 3 ） = 0 ，可得 r = 3 ，則 ，故常數(shù)項(xiàng)為20.

求常數(shù)項(xiàng)就是令二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中 x 的冪次為0，解出 r ，再代入計(jì)算，需注意通項(xiàng)公式的正確運(yùn)用以及組合數(shù)的計(jì)算.

3）求有理項(xiàng)

例3 已知 （其中 ∣ a gt; 0 ∣ 的展開式中的第7項(xiàng)為7，則展開式中的有理項(xiàng)共有（ ）.

A.6項(xiàng) B.5項(xiàng) C.4項(xiàng) D.3項(xiàng)

C 解析

易知展開式的第7項(xiàng)為

由題意可得 ，所以 n = 7 ， a = 1 ，則展開式的通項(xiàng)為

（ k = 0 ， 1 ， 2 ， ? s ， 7 ） .

令 ，則 k = 0 ， 3 ， 6 ，所以展開式中的有理項(xiàng)共有3項(xiàng)，故選D.

點(diǎn)求有理項(xiàng)，需令通項(xiàng)中 x 的冪次為整數(shù)來確定 r ，再根據(jù)已知條件求出 n 和 a ，最后利用i判斷有理項(xiàng)個(gè)數(shù).

4）求展開式中系數(shù)的最大值

例4 （2024年全國甲卷理13） 的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是

易知 的二項(xiàng)展開式為

設(shè)展開式中第 r + 1 項(xiàng)系數(shù)最大，則

即 又 ，所以 r = 8 ，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)的系數(shù)為 點(diǎn)找二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，可依據(jù)通項(xiàng)設(shè)第r + 1 項(xiàng)最大建立不等式組求解，但要清楚二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算組合數(shù).

5）展開式系數(shù)最小的問題

例5 的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（ ）.

A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)

易知 展開式的通項(xiàng)公式為 （ 0 ? r ? 1 0 ， r ∈ 【系數(shù)為

當(dāng) r 為奇數(shù)時(shí)， 才能取得最小值.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知 是 的最大項(xiàng)，所以當(dāng) r = 5 時(shí)， 取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小，故選C.

確定展開式系數(shù)的最小項(xiàng)，可結(jié)合通項(xiàng)系數(shù)正負(fù)規(guī)律和二項(xiàng)式系數(shù)的大小判斷，但要注意系數(shù)正負(fù)規(guī)律與二項(xiàng)式系數(shù)變化特點(diǎn).本題當(dāng) r 為奇數(shù)時(shí)展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，于是只需考慮 r 為奇數(shù)的情形.

6）求相關(guān)量的最大值

例6已知 ，若存在 k ∈ 使得 ，則 k 的最大值為

易知二項(xiàng)式 的通項(xiàng)為

二項(xiàng)式 的通項(xiàng)為

所以

若 ，則 k 為奇數(shù)，此時(shí)

所以 ，則 k lt; 1 0 0 - k ，解得 k lt; 50.又 k 為奇數(shù)，所以 k 的最大值為49.

本題聚焦于二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分別寫出 與 的通項(xiàng)公式，然后根據(jù) 的條件，分析出 k 的取值特點(diǎn)，進(jìn)而確定 k 的最大值.在整個(gè)解題過程中，要清晰二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式進(jìn)行分析和計(jì)算，避免混淆概念導(dǎo)致出錯(cuò).

2求多項(xiàng)式和（積）的展開式中的指定項(xiàng)

對(duì)于多項(xiàng)式和（積）的展開式問題，可以將其化歸轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題求解.

例7 （2022年新高考I卷 的展開式中 的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.

因?yàn)? ，所以 的展開式中含 的項(xiàng)為

故 的展開式中 的系數(shù)為－28.

例8若 ，則 a" 3"=

易知

所以 （2號(hào)

將已知展開式左邊轉(zhuǎn)化為 的形式是解題的關(guān)鍵.

3求展開式中的系數(shù)和

在求解展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和，以及奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和問題時(shí)，可以用賦值法進(jìn)行求解，一般依據(jù)題目所給式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇賦值.

例9（多選題） 的展開式中 x 的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則（ ）.

A. a = 3

B.展開式中常數(shù)項(xiàng)為3

C.展開式中 的系數(shù)為30

D.展開式中 x 的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64

設(shè) .令 x = 1 ，則

令 x = - 1 ，則

由 ①- ② 可得

因?yàn)檎归_式中 x 的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64，所以 2 × 6 4 = 6 4 （ a - 1 ） ，解得 a = 3 ，故A正確.

令 x = 0 ，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ，故B正確.

因?yàn)?/p>

其中 展開式的通項(xiàng)為

所以 展開式中 的系數(shù)為 ，故C錯(cuò)誤.

由于各項(xiàng)的系數(shù)和 則偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 1 2 8 - 6 4 = 6 4 ，故D正確.

綜上，選ABD.

點(diǎn)用賦值法求冪指數(shù)為整數(shù)項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)和時(shí)，可通過 x 取特殊值構(gòu)建等式，然后相加減得出奇數(shù)或偶數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)和.

例10（2022年浙江卷12）已知多項(xiàng)式 （ x + 2 ） · ，則

易知含 的項(xiàng)為 · ，則 令 x = 0 ，則

令 x = 1 ，則 ，所以 （2

求解展開式的系數(shù)和，賦值法是常用方法.首先要深入分析式子的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)所求系數(shù)和的類型（如所有項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等），選取恰當(dāng)?shù)?x 值代入原式.在代入計(jì)算時(shí)，確保每一步計(jì)算的準(zhǔn)確性，因?yàn)槿魏我惶幱?jì)算失誤都可能導(dǎo)致最終結(jié)果錯(cuò)誤.

例11 求和： 令 ，則

故

觀察式子 ，與二項(xiàng)式定理相似，但是缺少 ，需進(jìn)行配湊.

4近似計(jì)算及同余問題

近似計(jì)算需先關(guān)注精確度，通過選取二項(xiàng)展開式的前幾項(xiàng)來計(jì)算結(jié)果.利用二項(xiàng)式定理處理整除和求余數(shù)問題時(shí)，通常把被除式轉(zhuǎn)化為與除式相關(guān)的二項(xiàng)式形式，再運(yùn)用配湊法、消去法求解.

例12 （精確到0.01）.

易知原式等價(jià)于

3 2 - 0 . 1 6 - 1 = 3 0 . 8 4 .

近似計(jì)算要關(guān)注精確度，選取展開式的前幾項(xiàng)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意各項(xiàng)的系數(shù)及冪次，保證結(jié)果精確.

例13 現(xiàn)給出一個(gè)同余問題：如果 a 和 b 被 除得的余數(shù)相同，那么稱 和 b 對(duì)模 m 同余，記為 a ≡ b （ m o dm ） .若 ， ，則 b 的值可以是（ ）.

A.2023 B.2024 C.2025 D.2026

C 解析

因?yàn)?

5 2 0 2 4"-C 2 0 2 4 1 5"2 0 2 3"+" C "2 0 2 4 2 5 2 0 2 2 "-… -C 2 0 2 4 2 0 2 3 5 1" + 1 = 5 （ 5 2"0 2 3 "-" C 2 0 2 4 1 5 2 0 2 2"+

所以 能被5整除，則 5 "（ 5 20 2 3 "- C 2 0 2 4 1 5 2 0 2 2 "+ C 2 0 2 4 2 5 2 0 2 1 "- 除以5余數(shù)為1，故 除以5余數(shù)為1.

又 2 0 2 3 ÷ 5 = 4 0 4 ? s 3 ， 2 0 2 4 ÷ 5 = 4 0 4 ? s 4 2 0 2 5 ÷ 5 = 4 0 5 ， 2 0 2 6 ÷ 5 = 4 0 5 ? s 1 ，所以 b 的值可以是2026，故選D.

解決同余問題時(shí)，可將原式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式形式，再利用二項(xiàng)式展開得出余數(shù)，從而進(jìn)行逐項(xiàng)驗(yàn)證.

5 二項(xiàng)式系數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

二項(xiàng)式系數(shù)與組合數(shù)之間存在著緊密的聯(lián)系，在高考中常以等式的形式出現(xiàn).這類問題主要考查學(xué)生對(duì)排列組合公式的理解和運(yùn)用，通過分析各個(gè)等式是否成立，能有效檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度.

。例14（多選題）在下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中， ，則正確的是（ ）.

A. （204號(hào) B. C. D.

0 對(duì)于選項(xiàng) ，故 解析

A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?/p>

所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?/p>

所以C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，令

（204則

令 x = 1 ，可得 ，故D正確.

綜上，選ACD.

判斷排列組合等式時(shí)，可依據(jù)排列組合公式對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析.

6 與導(dǎo)數(shù)交會(huì)

求解與導(dǎo)數(shù)交會(huì)的二項(xiàng)式問題時(shí)，需對(duì)二項(xiàng)展開式的等式兩邊求導(dǎo)，再通過賦值法求出相關(guān)系數(shù).這不僅考查了對(duì)二項(xiàng)式定理的理解，還考查了對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力，體現(xiàn)了知識(shí)的綜合性.

例15 （多選題）已知 ，且存在正整數(shù) n ，滿足 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. n = 6 （204號(hào)B. C. 展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為126D. 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)和第四項(xiàng)

因?yàn)? ，所以對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得 .令 x = 1 ，則

令

則 ，所以

由 ①- ② 得

解得 n = 6 ，故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B和C，有

在 ③ 中，令 x = 1 ，則

由選項(xiàng)A知 n = 6 ，則

在 ③ 中，令 x = 0 ，結(jié)合選項(xiàng)A知 n = 6 ，則 ，故B錯(cuò)誤，C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D， 的展開式共有7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為 ，最大的二項(xiàng)式系數(shù)為 ，所以 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.

綜上，選AC.

對(duì)于與導(dǎo)數(shù)交會(huì)的二項(xiàng)式問題，解題的核心思路是對(duì)等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，然后通過賦值來求解相關(guān)系數(shù).

（完）