基于高考新情境選擇壓軸題的題型剖析與求解策略

本文圍繞高考數(shù)學(xué)新情境選擇壓軸題展開，詳細(xì)剖析以新概念、新運(yùn)算、新性質(zhì)、新背景、新公式為背景的題型.通過典型例題解析，總結(jié)解題思路與方法，并給出備考建議，旨在助力學(xué)生攻克此類難題，提升備考效率.

1引言

近年來，選擇壓軸題巧妙地融入新概念、新運(yùn)算、新性質(zhì)、新背景、新公式等元素，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，深入探究此類題型，對學(xué)生精準(zhǔn)把握高考命題規(guī)律，有效提升解題能力意義非凡.

2新情境選擇壓軸題的類型剖析

2.1新概念導(dǎo)向的壓軸題

例1若數(shù)列 滿足對于任意正整數(shù) ，都有 ，且 ，則稱數(shù)列 為4 T 數(shù)列”已知 為“ T 數(shù)列”，則下列說法正確的是.

A.

B.

C.數(shù)列 是等差數(shù)列

D.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S=

O 對于選項(xiàng)A，根據(jù)“ T 數(shù)列”的定義，令 m = 解析 n = 1 ，則 又 ，所以 ，故A錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)B，在 中，令 m = 1，可得

即 ，則 （204號 ，故 又 ， 所以 ，故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C，由 ，可知相鄰兩項(xiàng)

的差不是常數(shù)，所以數(shù)列 不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)D，由 ，可得

又 ，所以 則數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為

故D正確.

綜上，選D.

此類問題通過定義全新的數(shù)列，考查學(xué)生對概念的理解和運(yùn)用能力.解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握定義中的條件，通過合理賦值、推導(dǎo)，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.這要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力，能夠從抽象定義中提煉出關(guān)鍵信息，運(yùn)用特殊數(shù)列知識進(jìn)行求解.例如，在學(xué)習(xí)“ T 數(shù)列”時(shí)，可以類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的學(xué)習(xí)方法.等差數(shù)列是通過后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值恒定來定義，等比數(shù)列是通過后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值恒定來定義，而4 T 數(shù)列”則是通過 與 以及 m n 的關(guān)系來定義.通過對比不同數(shù)列定義方式的異同，可以更深刻地理解“ T 數(shù)列”的本質(zhì)特征，從而更好地解決相關(guān)問題.

2.2 新運(yùn)算導(dǎo)向的壓軸題

例2定義運(yùn)算 ? ”：對于任意兩個(gè)數(shù)列 和 （204號 以及正整數(shù) m （2號 已知數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 滿足 ，且數(shù)列 滿足 ，若數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，且 ，則 n 的最小值

為（ ）

A. 4 B.5 C.6 D. 7

O 解析

由題意可知 ，則

對 ① 兩邊同時(shí)乘3可得

由 ②- ① 可得

故

設(shè) ，則

設(shè)B\"=1+2+3+…+n，則B=\" 設(shè) ，則

因?yàn)? ，所以 化簡得 ，即 4003.

令 ，則 f ( x ) 在 [ 0 ， + ∞ ] 上單調(diào)遞增.計(jì)算可知 f ( 4 ) < 0 ， f ( 5 ) < 0 f ( 6 )<0 ， f ( 7 )>0 ，故選D.

本題將新定義運(yùn)算、數(shù)列的通項(xiàng)公式以及不等式等多個(gè)知識點(diǎn)緊密結(jié)合，全面考查學(xué)生

對所學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力.在計(jì)算的過程中，每一步都需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對學(xué)生的知識掌握程度和思維靈活性要求較高.

2.3新性質(zhì)為導(dǎo)向的壓軸題

例3(2023 年新課標(biāo)I卷11，多選題)已知函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)? 則（ ）.

A. f ( 0 ) = 0

B. f ( 1 ) = 0

C. f ( x ) 是偶函數(shù)

D. x = 0 為 f ( x ) 的極小值點(diǎn)

方法1 (賦值法)對于選項(xiàng)A，令 x = y = 0 則 f ( 0 ) = 0 ，故A正確.

對于選項(xiàng)B，令 x = y = 1 ，則 f ( 1 ) = 0 ，故B正確.

對于選項(xiàng)C，令 x = y = - 1 ，則 f ( 1 ) = f ( - 1 ) + f ( - 1 ) = 2 f ( - 1 ) ，再結(jié)合選項(xiàng)B的分析可知f ( - 1 ) = 0 令 y = - 1 ，則

即 f ( - x ) = f ( x ) .因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) 的定義域?yàn)? ，所以 f ( x ) 為偶函數(shù)，故C正確.

對于選項(xiàng)D，不妨令 f ( x ) = 0 ( x ∈ R) ，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí) f ( x ) 無極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

綜上，選ABC.

方法2 （構(gòu)造法）對于選項(xiàng)ABC的判斷，同方 法1.

對于選項(xiàng) D，若 ，則 由此結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到對數(shù)的運(yùn)算法則.不妨令 =lnlx|，構(gòu)造函數(shù)f(x)={χ2ln|x|，χ0，

當(dāng) x = 0 時(shí)， f ( x ) = 0

當(dāng) 時(shí)， 1).令 ，解得 ；令 ，解得 0 < ，所以 f ( x ) 在 )上單調(diào)遞減，在 ，+ ∞ . 上單調(diào)遞增.

又 f ( x ) 為偶函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性易得 f ( x ) 在 上單調(diào)遞增，在 ( - ∞ ， )上單調(diào)遞減(如圖1)，則 x = 0 是函數(shù) f ( x ) 的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

本題以抽象函數(shù)為背景，將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生對特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況.面對較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式，通常需要結(jié)合具體選項(xiàng)通過賦值法求解，這是處理該類多選題的優(yōu)選方法.對于涉及函數(shù)奇偶性的判斷問題，可以結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義以及題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)求解.

例4 (多選題)已知函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)? - ∞ ， 0 ) ? ( 0 ， + ∞ ) ，且滿足下面2個(gè)性質(zhì)：

( 1 ) f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) ; (2)當(dāng) 時(shí)， f ( x )>0 下列說法正確的是（ ）.

A. f ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上是增函數(shù) B. f ( x ) 是偶函數(shù) C.若 f ( a ) = f ( b ) ，則 a = b D.若 f ( a ) + f ( b ) = f ( c ) ，則 a b = c

對于選項(xiàng)A，設(shè) ，且 （20 ，所以 當(dāng) 時(shí)， f ( x ) > 0 ，所以

因?yàn)? （204號

，所以 ，即

，則 f ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ）上是增函數(shù)，故A正確.

對于選項(xiàng) B，令 x = y = 1 ，由 f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) ，得 f ( 1 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) ，則 f ( 1 ) = 0 . 令 x = - 1 ， y = - 1 ，則 f ( 1 ) = f ( - 1 ) + f ( - 1 ) 又 f ( 1 ) = 0，所以 f ( - 1 ) = 0 . 令 y = - 1 ，則 f ( - x ) = f ( x ) + f ( - 1 ) = f ( x ) ，所以 f ( x ) 是偶函數(shù)，故B正確.

對于選項(xiàng)C和D，由選項(xiàng)B可知 f ( 1 ) = 0 . 令 y = ，則 ，故 若 f ( a ) = f ( b ) ，則 f ( a ) - f ( b ) = 0 ，即

若 f ( a ) + f ( b ) = f ( c ) ，則 f ( a b ) = f ( c ) .結(jié)合選項(xiàng)A和B可知 f ( x ) 在 ( - ∞ ， 0 ) 上單調(diào)遞減，在 ( 0 ， + ∞ ) 上單調(diào)遞增，則 ，故C和D錯(cuò)誤.

綜上，選AB.

新性質(zhì)問題綜合性較強(qiáng)，它要求學(xué)生在掌握函數(shù)基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能夠根據(jù)新給出的性質(zhì)進(jìn)行深入的拓展和推理.這類題目考查學(xué)生對知識的遷移應(yīng)用能力以及邏輯思維的嚴(yán)密性和連貫性.對于與新性質(zhì)有關(guān)的題，學(xué)生需要從不同角度思考問題，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解.在學(xué)習(xí)函數(shù)的新性質(zhì)時(shí)，可以利用函數(shù)圖像來輔助理解.例如，對于本題中的函數(shù) f ( x ) ，雖然無法準(zhǔn)確畫出其圖像，但可以根據(jù)已知性質(zhì)畫出 f ( x ) 的大致圖像.因?yàn)?f ( x ) 在（0，+ ∞ ）上是增函數(shù)且為偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于 軸對稱，在 y 軸右側(cè)單調(diào)遞增，這樣有助于更直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)結(jié)論.

2.4新背景為導(dǎo)向的壓軸題

例5 (2023 年新高考Ⅱ卷12，多選題)在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為 α ( 0 < α < 1 ) ，收到。的概率為 1 - α ；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為 β ( 0 < β < 1 ) ，收到1的概率為 1 - β . 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1)，下列說法正確的是（ ）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依 次收到1，0，1的概率為 B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1， 0，1的概率為 C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的 概率為 （20 D.當(dāng) 0 < α < 0 . 5 時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸 方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0 的概率

對于選項(xiàng)A，采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1，0，1.發(fā)送1收到1的概率是 1 - β ；發(fā)送0收到0的概率是 1 - α .由獨(dú)立事件概率的乘法公式可知依次收到1，0，1的概率為

故A正確.

對于選項(xiàng)B，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，依次收到1，0，1，即第一次發(fā)送1收到1（概率為 1 - β ，第二次發(fā)送1收到0（概率為 β ），第三次發(fā)送1收到1（概率為 1 - β ) ，則由獨(dú)立事件概率的乘法公式可得

故B正確.

對于選項(xiàng)C，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，譯碼為1表示收到的信號中出現(xiàn)1的次數(shù)多，有以下兩種情況，

情況1：收到兩個(gè)1一個(gè)0，其概率為

情況2：收到三個(gè)1，其概率為 .因此，采用

三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為

故C錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)D，采用單次傳輸方案，發(fā)送0，譯碼為0的概率為 ；采用三次傳輸方案，發(fā)送0，譯碼為O表示收到的信號中出現(xiàn)0的次數(shù)多，有以下兩種情況，

情況1：收到兩個(gè)0一個(gè)1，其概率為

情況2：收到三個(gè)0，其概率為 .因此，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率為

當(dāng) 0 < α < 0 . 5 時(shí)，有

即采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次 傳輸方案譯碼為0的概率，故D正確.

綜上，選ABD.

本題將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際應(yīng)用緊密結(jié)合，解題過程中需要學(xué)生根據(jù)信號傳輸和譯碼規(guī)則準(zhǔn)確找到與概率知識相關(guān)的元素，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力.求解這類問題要求學(xué)生具備較強(qiáng)的閱讀理解能力，能夠從復(fù)雜的題設(shè)條件中提取關(guān)鍵信息，建立數(shù)學(xué)模型.生活中還有很多類似的場景可以用這類知識來分析.比如，密碼學(xué)中的信息加密傳輸，為保證信息安全，會對數(shù)據(jù)進(jìn)行多次加密和校驗(yàn)；在質(zhì)量檢測領(lǐng)域，對產(chǎn)品進(jìn)行多次抽樣檢測來判斷產(chǎn)品是否合格.通過了解這些應(yīng)用場景，學(xué)生能更好地體會數(shù)學(xué)的價(jià)值，也更能熟練地掌握相關(guān)知識.此類問題不僅能考查學(xué)生的閱讀理解能力，還能考查學(xué)生分析信息、處理信息以及優(yōu)化解題路徑的能力.

例6 (多選題)常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如

，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼 ；而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需兩個(gè)數(shù)碼0和1，如四位二進(jìn)制的數(shù) ，等于十進(jìn)制的數(shù)13.把 位 n 進(jìn)制中的最大數(shù)記為 M ( m ，n )，其中 （202 ， n?2 ， M ( m ， n ) 為十進(jìn)制的數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）.

A. M ( 4 ， 2 ) = M ( 2 ， 4 ) （20

B.

C.

D. M ( n + 2 ， n + 1 )>M ( n + 1 ， n + 2 )

對于選項(xiàng) ，所以 M ( 4 ， 2 ) = M ( 2 ， 4 ) ，故A正確.

對于選項(xiàng) ，故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C，當(dāng) n?2 時(shí)，由二項(xiàng)式定理可得

當(dāng)且僅當(dāng) n = 2 時(shí)，等號成立.當(dāng) n = 2 時(shí)， M ( 2 n ， 3 ) ；當(dāng) n > 2 時(shí)， 的展開項(xiàng)數(shù)多于M ( 2 n ? 3 ) 的展開項(xiàng)數(shù)且對應(yīng)項(xiàng)更大，所以 M ( 2 n ， 3 ) ，故C正確.

對于選項(xiàng) 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) = ，則 （204號 f ( x ) 在( e， + ∞ ) 上單調(diào)遞減.當(dāng) n ? 2 時(shí)， e< n + 1 < n + 2 .f ( n + 1 ) > f ( n + 2 ) ，即 ，M ( n + 2 ， n + 1 )>M ( n + 1 ， n + 2 ) ，故D正確.

綜上，選ACD.

該題巧妙融合進(jìn)制轉(zhuǎn)換與大小比較的知識，考查邏輯思維和運(yùn)算能力.解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用等比數(shù)列求和公式.整體難度中等偏上，選項(xiàng)A和B側(cè)重考查基礎(chǔ)運(yùn)算，選項(xiàng)C和D綜合度較高，能有效區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.

2.5 新公式為導(dǎo)向的壓軸題

例7 (多選題)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量 X 所有可能的取值為 ，且 ，定義 X 的信息熵 ，則（ ）.

A.若 n = 1 ，則 H ( X ) = 0

B.若 n=2 ，則 H ( X ) 隨著 的增大而增大 C.若 $\\pmb { \\mathscr { p } } _ { i } = \\frac { 1 } { n } ( i = 1 ， 2 ， \\cdots ， n )$ ，則 H ( X ) 隨著 n 的 增大而增大 D.若 n = 2 m ，隨機(jī)變量 Y 所有可能的取值為1， 2 ， ? s ， m ，且 ， 則 H ( X )?H ( Y )

對于選項(xiàng)A，若 n = 1 ，則 ，故A正確.

對于選項(xiàng)B，若 n = 2 ，則

設(shè) ，則

1 單調(diào)遞增； 時(shí)： 單調(diào)遞減，所以 H ( X ) 不是隨著 的增大而增大，故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C，若 $\\pmb { \\mathscr { p } } _ { i } = \\frac { 1 } { n } ( i = 1 ， 2 ， \\cdots ， n )$ ，則

因?yàn)閷?shù)函數(shù) 在定義域上單調(diào)遞增，所以隨著 n 的增大， 增大，即 H ( X ) 隨著 n 的增大而增大，故C正確.

對于選項(xiàng)D，若 n= 2m ，則隨機(jī)變量 Y 所有可能的取值為 1 ， 2 ， ? s ， m ，且 1 ， 2 ， ? s ， m ) ，則

$\\begin{array} { c } { \\begin{array} { c } { { ( \\mathrm { { X } } ) = - \\displaystyle \\frac { \\lambda ^ { 2 } } { \\lambda - \\lambda ^ { 2 } } \\rho _ { 1 } \\log _ { 2 } \\rho _ { 3 } = \\displaystyle \\frac { \\lambda ^ { 2 } } { \\rho _ { 2 } } \\rho _ { 3 } \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 3 } } = } } } \\\\ { { { } } } \\\\ \\\\ { { { \\mathrm { ~ \\rho _ { 1 } \\log _ { 2 } ~ \\frac { 1 } { \\rho _ { 1 } } + \\rho _ { 2 } \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 2 } } + \\cdots + } } } \\\\ { { { } } } \\\\ \\\\ { { { \\mathrm { ~ \\rho _ { 3 m - 1 } \\log _ { 2 } ~ \\frac { 1 } { \\rho _ { 3 m - 1 } } + \\rho _ { 3 m } \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 2 m } } } ， } } } \\\\ { { { } } } \\\\ \\\\ { { { { \\begin{array} { c } { { H { ( \\mathrm { Y } ) - ( \\rho _ { 1 } + \\rho _ { \\mathrm { t x } } ) \\log _ { 2 } \\rho _ { 1 } + \\rho _ { 3 m } } } \\\\ { { { } } } \\\\ { { { ( \\rho _ { 3 } + \\rho _ { \\mathrm { t x } - \\lambda ^ { 2 } ) \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 2 } + \\rho _ { 3 m - 1 } } + \\cdots + } } } \\\\ { { { } } } \\\\ { { { ( \\rho _ { s } + \\rho _ { \\mathrm { s m - 1 } } ) \\log _ { 3 } \\frac { 1 } { \\rho _ { s } + \\rho _ { s m - 1 } } - } } } \\end{array} } } } } \\end{array} } } } \\end{array}$

由于 ，則 ，故log2 ，所以 · ，則 H ( X ) > H ( Y ) ，故D錯(cuò)誤.

綜上，選AC.

這類問題主要考查學(xué)生對新公式的理解能力，要求學(xué)生在理解公式含義的基礎(chǔ)上，能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算，并通過對公式的變形和分析得出相關(guān)結(jié)論.它檢驗(yàn)了學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行推理的能力.以信息熵公式為例，它在數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.在圖像壓縮中可以利用信息熵來衡量圖像數(shù)據(jù)的不確定性，通過計(jì)算不同像素值出現(xiàn)的概率，進(jìn)而計(jì)算圖像的信息熵.信息熵越大，說明圖像數(shù)據(jù)的不確定性越高，也就意味著圖像中包含的信息越豐富，在壓縮時(shí)就越難無損壓縮.學(xué)生了解這些應(yīng)用，就能更深入地理解公式背后的意義，也能提高運(yùn)用公式解決實(shí)際問題的能力.

3復(fù)習(xí)備考建議

1)注重概念理解，夯實(shí)知識基礎(chǔ)

在復(fù)習(xí)備考中，學(xué)生應(yīng)回歸數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，對于數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)不能靠死記硬背，要深人理解其內(nèi)涵與外延.比如，在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，學(xué)生不僅要理解函數(shù)的定義，還要通過分析不同函數(shù)的解析式、圖像以及它們在實(shí)際問題中的應(yīng)用，加深對函數(shù)概念本質(zhì)的理解.在高三備考階段，遇到新概念問題，學(xué)生可嘗試列舉簡單例子或繪制圖表，將抽象概念具體化，同時(shí)將新概念與已學(xué)知識建立聯(lián)系，化未知為已知.

2)發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)，提升運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).學(xué)生應(yīng)在熟練掌握常規(guī)四則運(yùn)算以及乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)等運(yùn)算，同時(shí)注重提升運(yùn)算技能，如因式分解、消元法、換元法等，簡化運(yùn)算，在練習(xí)中培養(yǎng)認(rèn)真仔細(xì)的運(yùn)算習(xí)慣，減少運(yùn)算失誤.

（完）