基于HPM的高中數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)支架設(shè)計

將數(shù)學(xué)置于其歷史發(fā)展情境中學(xué)習(xí)，能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（HPM）已成為國際數(shù)學(xué)教育研究的前沿?zé)狳c。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要重視數(shù)學(xué)文化教育，利用數(shù)學(xué)史素材，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，體驗數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思維。HPM為探索項目化、探究式的數(shù)學(xué)教學(xué)模式提供了新路徑。“等比數(shù)列\(zhòng)"是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)史素材。本文從整合數(shù)列的歷史發(fā)展線索，設(shè)計基于HPM的“等比數(shù)列\(zhòng)"項自化學(xué)習(xí)支架，為相關(guān)教學(xué)實踐提供參考。

一、HPM的內(nèi)涵與特點

HPM 即 History and Pedagogy of Mathematics 的縮寫，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教育中融人數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史背景和思想方法。HPM強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)知識置于其產(chǎn)生與發(fā)展的歷史語境中學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)家相似的認(rèn)知?dú)v程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟，從而感受數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵。一些數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典問題情境，如割圓術(shù)、航海問題等，也為數(shù)學(xué)探究活動創(chuàng)設(shè)了絕佳素材，能以此設(shè)計項目任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題中經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、猜想、論證的過程，塑造嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)?？傊?，HPM理念下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)：重視經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的教學(xué)價值，用數(shù)學(xué)史素材創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)學(xué)生興趣；注重呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與發(fā)展的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生探尋人類認(rèn)識事物的思想軌跡；關(guān)注數(shù)學(xué)文化的教育功能，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的社會價值，陶冶科學(xué)精神；突出學(xué)生的主體地位，鼓勵質(zhì)疑，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、HPM視角下項目化學(xué)習(xí)的優(yōu)勢

項目化學(xué)習(xí)作為一種“做中學(xué)\"的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在完成真實任務(wù)的過程中，通過主動探究和協(xié)作交流，建構(gòu)知識的意義，提升問題解決能力。教師將HPM引入項目化學(xué)習(xí)，能充分發(fā)揮二者的協(xié)同效應(yīng)。

豐富的數(shù)學(xué)史素材是開展項目化學(xué)習(xí)的肥沃土壤。數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中有許多有趣的問題情境，如古希臘的三大幾何作圖問題、斐波那契數(shù)列的兔子繁殖模型等，具有很強(qiáng)的開放性和探究性。學(xué)生只有綜合運(yùn)用所學(xué)知識，開展小組討論、動手操作，才能給出解決方案。教師可以將這些經(jīng)典問題整合成項目任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)和解決問題的意識與能力。

三、高中數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)面臨的挑戰(zhàn)

盡管HPM視角為高中數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)提供了新思路，但實踐中還面臨一些挑戰(zhàn)。為保證項自學(xué)習(xí)扎根數(shù)學(xué)史土壤，教師需廣泛鉆研數(shù)學(xué)發(fā)展史料，厘清數(shù)學(xué)知識的發(fā)生脈絡(luò)，甄選出契合教學(xué)內(nèi)容、易于項目化呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史實例。這些都考驗教師的知識積累和教學(xué)智慧。項目學(xué)習(xí)的開放性也給課堂組織帶來了不確定性，教師需要應(yīng)對學(xué)生的探究方向和節(jié)奏差異，適時把控和引導(dǎo)，讓學(xué)習(xí)始終圍繞項目目標(biāo)而展開。

長期以來，學(xué)生習(xí)慣了被動接受知識，缺乏主動探究意識，面對開放性的項目任務(wù)常常無從著手。尤其數(shù)學(xué)抽象性強(qiáng)，學(xué)生在探究過程中不可避免地會遇到挫折。

四、基于HPM的高中數(shù)學(xué)\"等比數(shù)列\(zhòng)"項目化學(xué)習(xí)支架設(shè)計

（一）“等比數(shù)列\(zhòng)"項目化學(xué)習(xí)支架的內(nèi)容設(shè)計

內(nèi)容設(shè)計是項目學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教師需立足學(xué)情、教材，精心選擇反映知識產(chǎn)生與發(fā)展脈絡(luò)的數(shù)學(xué)史素材，并設(shè)計適合項目化開展的問題情境和遞進(jìn)任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生探究知識的來龍去脈

1.項目情境創(chuàng)設(shè)

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，教師可以利用數(shù)學(xué)史上與等比數(shù)列相關(guān)的問題，創(chuàng)設(shè)項目學(xué)習(xí)情境。這里選取了古印度數(shù)學(xué)家在《阿里巴多注》一書中提出的“國王和宰相的棋盤問題”：國王很喜歡下國際象棋，有一天他想獎勵宰相。宰相提出：“請在棋盤的第一個格子里放1粒麥子，在第二個格子里放2粒麥子，在第三個格子里放4粒麥子，在以后每一個格子里都放雙倍于前一格的麥粒數(shù)，直到填滿64個格子。\"國王覺得這個要求太低了。如果照此計算，需要多少粒麥子呢？這個故事通過國王與宰相的對話，以趣味的方式引出等比數(shù)列問題，具有開放性，可設(shè)計多個層次的探究任務(wù)。學(xué)生置身其中，能產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究沖動。

2.項目問題設(shè)計

根據(jù)上述情境，教師提出項目總問題：“64格棋盤全填滿麥粒，國王需要準(zhǔn)備多少粒麥子？\"這個問題啟發(fā)學(xué)生從實際問題出發(fā)探索數(shù)學(xué)規(guī)律。為使探究循序漸進(jìn)，教師將總問題分解為以下子問題。

（1）國王在棋盤的前3格、前5格、前10格分別需要放多少粒麥子？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（2）這種規(guī)律符合等比數(shù)列嗎？數(shù)列的前幾項、公比、通項公式如何確定？（3）棋盤有64個格子，國王需準(zhǔn)備多少粒麥子？討論計算方法。（4）如果棋盤格數(shù)改為 n ，數(shù)列前幾項、公比發(fā)生變化，推導(dǎo)通項公式。（5）假設(shè)麥粒直徑約 0.5cm ，棋盤面積不變，你認(rèn)為故事情節(jié)現(xiàn)實嗎？

這些問題由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生在“特殊一一般—特殊”的探究路徑中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的規(guī)律，建構(gòu)通項公式，再應(yīng)用公式解決實際問題，在抽象與具體的往復(fù)中深化理解，提升抽象概括能力。最后一個問題又回到情境，引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)模型的局限性，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

3.項目任務(wù)策劃

針對上述問題，教師精心策劃探究任務(wù)，搭建“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生分層遞進(jìn)、協(xié)作探究，使學(xué)生逐步掌握“等比數(shù)列\(zhòng)"的知識體系。

項目任務(wù)一：麥粒觀察。教師提供裝有麥粒的小袋，引導(dǎo)學(xué)生觀察、測量麥粒的大小。教師引導(dǎo)學(xué)生討論如何快速計數(shù)麥粒，引出用稱重法間接測量的思路，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

項目任務(wù)二：數(shù)列探究。學(xué)生合作完成以下探究：

（1）小組討論前3格、前5格、前10格麥?？倲?shù)規(guī)律，引出“前一項 ×2 ”的遞推關(guān)系。（2）借助Excel列表，驗證數(shù)列公比為2，找出通項公式。（3）利用通項公式和編程工具，計算64格棋盤的麥?？倲?shù)，體會數(shù)學(xué)的簡潔與強(qiáng)大。（4）變換棋盤格數(shù)為 n ，用字母表達(dá)通項，推導(dǎo)通項公式，提升抽象概括能力。（5）討論若麥粒堆積，棋盤容納麥粒的現(xiàn)實性，感悟數(shù)學(xué)模型的適用條件。

通過層層探究，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、抽象、應(yīng)用的過程，掌握了等比數(shù)列的特征、通項公式及其應(yīng)用，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合、歸化與類比等數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識和能力。

4.項目反思設(shè)計

反思是項目學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探究過程，提煉知識體系，挖掘更深層次的內(nèi)涵。具體如下：

（1）這個問題啟發(fā)我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列的哪些知識？（2）你通過哪些思考方法和探究策略解決問題？（3）從麥粒問題你感悟到數(shù)學(xué)的哪些特征？（4）麥粒問題在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有何重要意義？

學(xué)生通過反思，梳理知識的形成過程，歸納數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)而探究問題的歷史地位，感悟先賢的智慧，樹立文化自信。反思不僅能使學(xué)生獲得知識，還塑造了學(xué)生理性思維的品質(zhì)。

（二）“等比數(shù)列\(zhòng)"項目化學(xué)習(xí)支架的過程設(shè)計

基于以上內(nèi)容設(shè)計，本研究建構(gòu)“情境導(dǎo)入一探究新知一協(xié)作解決一拓展應(yīng)用一反思優(yōu)化\"五步項目化設(shè)計，并提供相應(yīng)的支架。

1.情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，教師以“國王與棋盤”的歷史故事導(dǎo)人新課，借助多媒體動畫，生動還原宰相向國王請賞時棋盤擺放麥粒的場景，讓學(xué)生身臨其境地感受數(shù)學(xué)問題的神奇與魅力。伴隨故事情節(jié)的展開，教師適時拋出問題：“如果按照宰相的要求，國王需要準(zhǔn)備多少粒麥子？面對這個看似簡單實則不易回答的問題，你能設(shè)計一個切實可行的方案來幫助國王解決難題嗎？\"學(xué)生帶著滿腹疑問和解決問題的使命感，躍躍欲試地投入項目探究中。生動有趣的歷史情境導(dǎo)入搭建起一個引人入勝的故事性支架，創(chuàng)設(shè)懸念，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究欲望，使其在輕松愉悅中開啟一段精彩的數(shù)學(xué)探險之旅。

2.探究新知，發(fā)現(xiàn)問題

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生以小組為單位，圍繞“如何幫助國王解決麥粒問題\"這一任務(wù)展開頭腦風(fēng)暴，提出解決問題的初步設(shè)想和思路。教師巡視指導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)觀察棋盤中麥粒擺放的數(shù)量變化規(guī)律，引導(dǎo)他們逐步類比到所學(xué)的等比數(shù)列知識。通過小組成員的集體討論與合作探究，學(xué)生嘗試?yán)脭?shù)列知識解決現(xiàn)實問題，在解決問題的過程中逐漸發(fā)現(xiàn)“公比”“通項\"等關(guān)鍵概念，建立起數(shù)列知識與問題情境的內(nèi)在聯(lián)系。探究活動猶如一個發(fā)現(xiàn)性支架，在問題解決的驅(qū)動下，引領(lǐng)學(xué)生主動探索、建構(gòu)新知，經(jīng)歷知識生成的過程，體驗發(fā)現(xiàn)法則的快樂，進(jìn)而萌發(fā)進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)奧秘的強(qiáng)烈意愿。

3.協(xié)作解決，構(gòu)建模型

洞察到棋盤麥粒排列蘊(yùn)含的等比數(shù)列規(guī)律后，學(xué)生開展頭腦風(fēng)暴，熱烈討論計算麥?？倲?shù)的高效方法。教師適時介入，點撥學(xué)生利用Excel電子列表進(jìn)行便捷求和計算，展示借助編程工具批量計算的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生體會現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大功能。學(xué)生通過小組內(nèi)協(xié)作交流、動手實踐操作，共同探索構(gòu)建求解等比數(shù)列和的數(shù)學(xué)模型，在合作攻關(guān)中突破前進(jìn)道路上的認(rèn)知障礙。小組間交流匯報、集思廣益、不斷完善、優(yōu)化解決方案。在這個環(huán)節(jié)，協(xié)作活動搭建起一個互助性支架，讓學(xué)生在同伴互助和工具運(yùn)用中深度參與問題解決的全過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的艱辛與快樂，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的綜合能力。

4.拓展應(yīng)用，遷移創(chuàng)新

成功解決棋盤麥?；締栴}后，教師適時引入拓展和變式問題，如改變棋盤的格數(shù)為任意的 n ，鼓勵學(xué)生舉一反三。學(xué)生在前期探究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用等比數(shù)列知識，將具體的視角上升到抽象的高度，歸納出“首項、公比、通項\"的一般表達(dá)式，建立起知識的內(nèi)部邏輯聯(lián)結(jié)。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)一步思考并討論所建數(shù)學(xué)模型的適用條件和局限性，感悟數(shù)學(xué)的抽象本質(zhì)和現(xiàn)實應(yīng)用的條件約束。拓展活動形成一個連接性支架，引導(dǎo)學(xué)生遷移運(yùn)用已有知識，培養(yǎng)其批判性反思和創(chuàng)新意識。學(xué)生在拓展探究中實現(xiàn)知識的縱向延伸和橫向遷移，真正理解所學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì)和外在價值，做到學(xué)以致用、觸類旁通。

5.總結(jié)反思，評價優(yōu)化

項目探究告一段落后，師生共同回顧探究歷程，梳理知識形成的邏輯脈絡(luò)。教師引導(dǎo)學(xué)生反思：“通過參與這個項目，你收獲了哪些寶貴的數(shù)學(xué)知識？在探究過程中，你主要運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？從數(shù)學(xué)文化的視角來審視，國王與棋盤問題在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有何重要意義？\"學(xué)生暢所欲言，交流探究心得，分享問題解決的認(rèn)知體驗，在對話碰撞中加深對等比數(shù)列知識的領(lǐng)悟，體會數(shù)學(xué)文化的博大精深。反思活動形成一個抽象提升支架，幫助學(xué)生將問題情境中的數(shù)學(xué)知識上升到系統(tǒng)化、條理化的高度，內(nèi)化形成理性思維的品質(zhì)，升華對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的感悟。梳理反思環(huán)節(jié)讓學(xué)習(xí)真正內(nèi)化為學(xué)生自己的經(jīng)驗和素養(yǎng)。

項目探究后，教師還精心設(shè)計了拓展任務(wù)，布置學(xué)生查閱文獻(xiàn)資料，了解“國王與棋盤\"問題的歷史地位和影響，以小組為單位編制“等比數(shù)列的發(fā)展簡史\"手抄報。通過延伸探究，學(xué)生在歷史長河中感悟先賢的睿智，在數(shù)學(xué)文化的熏陶中鞏固學(xué)習(xí)成果。

拓展任務(wù)讓數(shù)學(xué)走出課堂，融入學(xué)生的生活中，煥發(fā)出歷久彌新的文化魅力。

（三）“等比數(shù)列\(zhòng)"項目化學(xué)習(xí)支架的資源設(shè)計

為落實項目化學(xué)習(xí)活動，保障研究有序開展，教師系統(tǒng)開發(fā)了一系列配套的教學(xué)資源，形成科學(xué)完備、可資借鑒的項目學(xué)習(xí)實施方案。

1.教師指導(dǎo)手冊

針對項目學(xué)習(xí)的備課、實施、評價等環(huán)節(jié)，教師編制了詳盡的教師指導(dǎo)手冊。手冊涵蓋項目導(dǎo)學(xué)案、重難點提示、課堂觀察記錄表、學(xué)生發(fā)展性評價量規(guī)等內(nèi)容，形成可操作的項目化教學(xué)設(shè)計框架，為教師的教學(xué)實踐提供全程指導(dǎo)。教師依據(jù)手冊優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，合理把控節(jié)奏，及時記錄反思，精準(zhǔn)調(diào)控指導(dǎo)策略，不斷改進(jìn)項目教學(xué)的實施效果。指導(dǎo)手冊的開發(fā)大幅提升了項目教學(xué)的科學(xué)性、規(guī)范性和可持續(xù)性。

2.學(xué)生學(xué)習(xí)單

學(xué)生學(xué)習(xí)單是對接項自活動各環(huán)節(jié)、引導(dǎo)學(xué)生自主探究的重要資源。學(xué)習(xí)單主要包括項目任務(wù)單、探究活動記錄單、學(xué)習(xí)反思與評價單等。項目任務(wù)單明確告知項目學(xué)習(xí)目標(biāo)、時間進(jìn)度、考核方式，引導(dǎo)學(xué)生自主規(guī)劃探究步驟。探究活動記錄單梳理探究過程，記載重要發(fā)現(xiàn)、心得體悟。學(xué)習(xí)反思與評價單引導(dǎo)學(xué)習(xí)回顧與自我診斷。多樣的學(xué)習(xí)單構(gòu)成一個清晰的學(xué)習(xí)路線圖，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自我管理、自我評價的良好習(xí)慣。學(xué)習(xí)單讓每個學(xué)生都成為學(xué)習(xí)的主人。

3.在線學(xué)習(xí)平臺

教師依托云課堂、智慧教室等成熟工具，搭建項自學(xué)習(xí)在線平臺。平臺集發(fā)布項目任務(wù)、共享學(xué)習(xí)資源、展示學(xué)習(xí)成果、在線交流互動等功能于一體，打破時空藩籬，拓展學(xué)習(xí)空間。師生借助平臺，在項目實施前共同研討分工計劃，實施中隨時分享交流研究進(jìn)展，實施后展示拓展研究成果，真正實現(xiàn)課內(nèi)外學(xué)習(xí)、線上線下互動的無縫對接和深度融合。在線平臺讓學(xué)習(xí)更加開放、生成、連通，成為師生探究型學(xué)習(xí)共同體的重要支撐。

4.評價量規(guī)

全面落實項目學(xué)習(xí)理念，還需要一套科學(xué)的評價標(biāo)準(zhǔn)。為此，教師制定了覆蓋認(rèn)知、探究過程、情感態(tài)度、創(chuàng)新能力等多維度的項目學(xué)習(xí)評價指標(biāo)體系。評價采取學(xué)生自評、生生互評、師生共評的多元方式，通過評價量規(guī)及時診斷學(xué)生在項目學(xué)習(xí)各環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)狀態(tài)，幫助查漏補(bǔ)缺。學(xué)生在評價過程中不斷反思、自我調(diào)節(jié)、優(yōu)化改進(jìn)，評價結(jié)果有助于教師調(diào)控指導(dǎo)策略，因材施教。發(fā)展性評價突破靜態(tài)考核的局限，讓學(xué)習(xí)在可視化、精準(zhǔn)化的即時反饋中持續(xù)優(yōu)化，讓每個學(xué)生在合作探究中都有機(jī)會張揚(yáng)特長、提升素養(yǎng)。

基于HPM的高中數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)是一種深度學(xué)習(xí)模式。，教師通過創(chuàng)設(shè)“國王與棋盤\"的問題情境，開展\"特殊一一般一特殊\"的探究，并在過程中融入數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)反思升華，使學(xué)生在知識建構(gòu)、方法內(nèi)化、品質(zhì)塑造等方面獲得全面發(fā)展。HPM為高中數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)注入了文化底蘊(yùn)，而項目化學(xué)習(xí)又為HPM的課堂落地提供了可行路徑，二者相得益彰。未來，我們將繼續(xù)深化實踐，推動更多基于HPM的項目化學(xué)習(xí)活動，為深化高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索行之有效的途徑。

（作者單位：廣西玉林市容縣高級中學(xué)）

編輯：趙文靜