基于大概念的高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)教學(xué)的有效策略

在當(dāng)前的課堂教學(xué)環(huán)境中，由于時(shí)間和學(xué)生知識(shí)水平的限制，教師通常無法全面展示知識(shí)的形成和演變過程，更不用說幫助學(xué)生建立知識(shí)概念之間的復(fù)雜聯(lián)系。大概念教學(xué)法對(duì)教師理解學(xué)科知識(shí)框架提出了極高的要求。為了滿足不同需求或目標(biāo)，教師在教學(xué)過程中要確保正確講授教材中的知識(shí)概念，還要揭示概念的生成過程。這樣才能讓教學(xué)的內(nèi)容變得更加豐富，幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)的核心要領(lǐng)。理想的教學(xué)成果，并非堆砌繁雜的知識(shí)點(diǎn)，而是讓學(xué)生通過主動(dòng)探索和構(gòu)建，最終形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并深刻領(lǐng)悟基本的規(guī)律和方法。

在這個(gè)過程中，教師的角色轉(zhuǎn)變成引導(dǎo)者和促進(jìn)者，他們通過精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和問題解決能力。大概念教學(xué)法不僅是一種教學(xué)方法，更是一種教育理念，它鼓勵(lì)學(xué)生跳出傳統(tǒng)的知識(shí)框架，去探索、去創(chuàng)新，從而真正理解和掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

科學(xué)是尋求真理道路上的點(diǎn)滴發(fā)現(xiàn)，建立在確鑿無疑的事實(shí)之上。然而，若僅僅是事實(shí)的堆砌，缺乏邏輯的串聯(lián)，那便不足以稱之為科學(xué)。數(shù)學(xué)尤其需要這樣的邏輯鏈條來串聯(lián)。在現(xiàn)代教育環(huán)境中，教師應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)大概念進(jìn)行教學(xué)規(guī)劃和設(shè)計(jì)，在教育過程中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神，從而豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)維度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層次理解和應(yīng)用。在這樣的框架下，數(shù)學(xué)教學(xué)不再是簡單的知識(shí)傳遞，而是成為一場(chǎng)理性的探險(xiǎn)、一場(chǎng)思維的盛宴。

一、教學(xué)情分析

盡管在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標(biāo)\"）中“復(fù)數(shù)的三角表示\"已不再是考試的必備內(nèi)容，但它作為競(jìng)賽（說課）

活動(dòng)的主題，卻蘊(yùn)含著深刻的思考價(jià)值。復(fù)數(shù)概念的引人，本身就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域充滿創(chuàng)造力的理論飛躍。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是揭示數(shù)字和結(jié)構(gòu)之間關(guān)系的過程，更是探索和創(chuàng)造的過程，體現(xiàn)了從基本需求到建立完整科學(xué)體系的逐步發(fā)展路徑。在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)思維的理性力量在創(chuàng)新中扮演著重要的角色。然而，僅僅通過遵循固定的規(guī)則來解決數(shù)學(xué)題目并不能充分展現(xiàn)這種思維方式的強(qiáng)大動(dòng)力。以復(fù)數(shù)乘法為例，它是復(fù)數(shù)單元中的核心概念，展示了復(fù)數(shù)作為工具在實(shí)際應(yīng)用中的重要作用。復(fù)數(shù)乘法的學(xué)習(xí)過程不僅涉及數(shù)字和代數(shù)的基本操作，還深入揭示了復(fù)數(shù)概念背后的深層數(shù)學(xué)原理。通過理解和掌握復(fù)數(shù)乘法，學(xué)生能夠更好地應(yīng)用復(fù)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)整體概念的理解。

在課標(biāo)中，復(fù)數(shù)的三角表示被劃分為可選學(xué)習(xí)內(nèi)容，高考主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及其基礎(chǔ)的幾何意義。但在課程設(shè)置上，復(fù)數(shù)的三角表示卻與核心必修內(nèi)容并行。這種課程設(shè)計(jì)主要基于兩個(gè)關(guān)鍵原因：首先，復(fù)數(shù)的三角表示能將復(fù)數(shù)、向量以及三角函數(shù)融為一體，構(gòu)建起一個(gè)完整的知識(shí)體系。其次，它為簡化特定復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算提供了新的途徑，在數(shù)學(xué)計(jì)算中扮演了重要角色。更為重要的是，復(fù)數(shù)的三角表示是揭示復(fù)數(shù)乘法幾何意義的關(guān)鍵所在，對(duì)于深化學(xué)生的復(fù)數(shù)概念理解具有重要作用。

筆者認(rèn)為，教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)止步于復(fù)數(shù)的兩種表示形式的淺嘗輒止，而是要引導(dǎo)學(xué)生深入探究復(fù)數(shù)與代數(shù)、向量、幾何之間的聯(lián)系。教師可激發(fā)學(xué)生深入探究：“為何復(fù)數(shù)的代數(shù)形式需要轉(zhuǎn)換為三角形式？”這不僅能夠提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，還能夠培養(yǎng)他們深入解決問題的能力。

二、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入

教師：在數(shù)學(xué)的廣袤宇宙中，有一個(gè)公式如同明星般閃耀— （板書），它是許多數(shù)學(xué)分支的基石。這個(gè)公式就是歐拉公式。它究竟包含了哪些深?yuàn)W的數(shù)學(xué)概念？它是如何將復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算與三角函數(shù)聯(lián)系起來的呢？

同學(xué)們已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)乘除法，本節(jié)課我們將探索復(fù)數(shù)的三角表示方法，也就是指數(shù)形式。我們將介紹棣莫弗定理，利用復(fù)數(shù)的三角表示來闡釋復(fù)數(shù)乘除法的幾何含義。通過這些學(xué)習(xí)，同學(xué)們將更深入地理解復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位和作用，以及它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。

（二）教學(xué)內(nèi)容

1.計(jì)算N

（學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算，完成后教師出示答案。）

解：由定義可知， ，可得 ，所以計(jì)算

結(jié)果為

教師小結(jié)：我們根據(jù)這道例題可以看出，純虛數(shù)在計(jì)算冪時(shí)具有一定便利性。然而復(fù)數(shù)往往并非純虛數(shù)。

2.找規(guī)律：探索 的規(guī)律 ）

教師出示解題步驟：

已知 ，所以可得 根據(jù)上述規(guī)律進(jìn)行計(jì)算可得 Z），由此得出結(jié)論， 的循環(huán)周期為8，而8是實(shí)數(shù)。

教師：分析上述題目，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

學(xué)生：這些例題看起來都存在周期性。

$＼blacktriangle$ 任務(wù)一：尋找其他具有類似周期性的復(fù)數(shù)冪運(yùn)算例子，并試著計(jì)算它們的冪次，描述你觀察到的周期性。

（學(xué)生思考。）

教師：如何簡潔地描述這種周期性的規(guī)律呢？

學(xué)生：如果我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系上繪制這些復(fù)數(shù)，可能會(huì)更容易看出周期性的規(guī)律

教師：非常正確。通過在復(fù)平面上繪制這些復(fù)數(shù)的冪次，我們不僅能夠直觀地感受到周期性，還能欣賞到數(shù)學(xué)的美?，F(xiàn)在，讓我們?cè)趶?fù)平面上描繪出前面兩個(gè)例題中的復(fù)數(shù)冪次。

（教師出示圖1、圖2）

教師：觀察后，你們有何發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生積極討論，并提出各自的見解。）

教師小結(jié)：回顧一下，我們?cè)趶?fù)平面上表示復(fù)數(shù)時(shí)，主要關(guān)注兩個(gè)關(guān)鍵屬性一復(fù)數(shù)點(diǎn)至原點(diǎn)的距離（即模長），該點(diǎn)與實(shí)軸正方向的夾角（即輻角）。通過這些圖形，我們可以觀察到，當(dāng)我們對(duì)復(fù)數(shù) i 進(jìn)行冪運(yùn)算時(shí)，其對(duì)應(yīng)的向量圍繞原點(diǎn)進(jìn)行周期性的旋轉(zhuǎn)，但這種旋轉(zhuǎn)并不改變向量的長度。當(dāng)我們對(duì)另一個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行冪運(yùn)算時(shí)，雖然其輻角仍然呈現(xiàn)出周期性變化，但與此同時(shí)，模長卻隨著冪次的增加而相應(yīng)增長。

教師：根據(jù)剛才展示的例子和圖形，我們可以從復(fù)數(shù)的幾何特性出發(fā)，深入探討復(fù)數(shù)乘冪以及乘法運(yùn)算。為此，我們可以借鑒之前學(xué)過的關(guān)鍵概念復(fù)數(shù)的模長和輻角。

教師提問：既然我們決定從幾何視角切入研究復(fù)數(shù)，那應(yīng)采用何種策略讓復(fù)數(shù)與幾何學(xué)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)呢？

（學(xué)生積極思考并展開討論。）

教師小結(jié)：若想探究復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何行為，可以采用三角方法。即將復(fù)數(shù)的模長和輻角與其實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng)，從而在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)（利用模長和輻角來揭示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何特性）。

教師講解：復(fù)數(shù) Z=a+b i 與向量 對(duì)應(yīng)， 和實(shí)軸產(chǎn)生正向夾角，角度為 θ（0？θ？2π） ，我們將復(fù)數(shù)模長記作 ∣ z∣=r ，從幾何視角上來看， a=rcosθ，b=sinθ 可得 z=rcosθ+rsinθ i 。為了方便書寫，我們可以將 z= rcosθ+rsinθ i 簡化表示為 ，這就是教材上所說的“復(fù)數(shù)的指數(shù)形式”。

接下來，我們嘗試從三角的角度入手，觀察復(fù)數(shù)的乘法：

此時(shí)有兩個(gè)復(fù)數(shù)： ，那么二者相乘可得 ·$＼begin{array}{r l}amp; 我們可以結(jié)合之前所學(xué)的和差化積公式，可得

如果用指數(shù)形式來表示的話，可以得到

教師小結(jié)：你能根據(jù)我們上述的運(yùn)算推斷出我們今天所學(xué)的定理嗎？

學(xué)生：在復(fù)數(shù)的三角形式中，弱項(xiàng)計(jì)算兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積，可以將它們的模相乘，然后將它們的輻角相加。這種簡化了復(fù)數(shù)乘法的復(fù)雜性，還推導(dǎo)出著名的棣莫弗定理—若 ，那么 r\"eino

（三）課堂練習(xí)

1.使用剛剛驗(yàn)證的定理來解決 的次冪。

學(xué)生：先用三角形式表示這個(gè)復(fù)數(shù)

利用定理可得

2.已知 $＼scriptstyle{＼mathfrak{o}}=-{＼frac{1}{2}}+{＼frac{＼sqrt{3}}{2}}i$ ，計(jì)算 的值。

學(xué)生：先使用三角形式表示 ω 。

定理為 ，因此可得

3.自主嘗試推導(dǎo)復(fù)數(shù)相除公式（三角表示）。學(xué)生：如果用三角表示復(fù)數(shù)的除法的話，可得 $＼blacktriangle$ 任務(wù)二：從幾何角度出發(fā)，理解復(fù)數(shù)的乘除。

教師：仔細(xì)觀察圖片，你能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：把兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，也就是讓它們各自的模長相乘，再加上它們的輻角。

教師：那除法呢？

學(xué)生：將它們的模長進(jìn)行除法運(yùn)算，輻角相減就可以了。

教師：復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算要點(diǎn)可簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加；模數(shù)相除，幅角相減。同學(xué)們可在習(xí)題解題過程中靈活運(yùn)用這一特質(zhì)，提高復(fù)數(shù)運(yùn)算能力。

（四）課后練習(xí)

1.將下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化成三角形式。

（2）1-i

2.復(fù)數(shù) 化為代數(shù)形式為。

3.已知 求 ，把結(jié)果化為代數(shù)形式，并闡述幾何解釋。

4.設(shè)πl(wèi)t;0lt;5π ，則復(fù)數(shù)cos20+isin20 的幅角主值為（ ）。

A.2π-3θ C.0 D.θ-π

教師：通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決這些問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

（小組討論，分享討論結(jié)果。）

教師總結(jié)：有三角形式與代數(shù)形式的互化、三角形式的乘法、三角形式的除法等。

（五）課后拓展

1.數(shù)學(xué)巨擘棣莫弗

棣莫弗，一位在數(shù)學(xué)史上留下深刻印跡的杰出人物，他的一生見證了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的巨大飛躍。1667年5月26日，他出生于法國一個(gè)充滿文化氣息的家庭中。在那個(gè)動(dòng)蕩的年代，棣莫弗不僅更改了國籍，更在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了跨越式的成就。

棣莫弗的名字與一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)定理緊密相連一一棣莫弗定理，這是他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一大貢獻(xiàn)。他的研究不僅推動(dòng)了這一學(xué)科的發(fā)展，還對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。除了上述貢獻(xiàn)，棣莫弗在數(shù)學(xué)的其他分支也有所涉獵，他的著作為數(shù)學(xué)理論的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。棣莫弗的成就，至今仍然激勵(lì)著無數(shù)數(shù)學(xué)家和研究者，他的理論和思想繼續(xù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中發(fā)揮作用。

2.歐拉公式

我們所學(xué)的復(fù)數(shù)的指數(shù)形式還有另外一個(gè)名字—一歐拉公式，這一公式是由數(shù)學(xué)家歐拉于18世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的。這一公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有里程碑意義，它將復(fù)數(shù)理論與三角函數(shù)相融合，為復(fù)變函數(shù)理論的研討和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

級(jí)數(shù)定義才是指數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格表述。一般而言，指數(shù)函數(shù)可以被定義為： 當(dāng)我們進(jìn)人大學(xué)，就會(huì)在微積分中看到，級(jí)數(shù)是逐漸收斂的，而且它存在兩個(gè)特質(zhì)：

根據(jù)上述特質(zhì)，可以提供 的嚴(yán)格指數(shù)形式定義：

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)的獨(dú)到之處在于，它能憑借一些基礎(chǔ)的原則和觀察，通過相對(duì)簡潔的邏輯推理，讓看似截然不同思維領(lǐng)域的定理產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中眾多懸而未決的問題，亟須“未來的數(shù)學(xué)家們”探索新路徑，巧妙地運(yùn)用現(xiàn)有工具，發(fā)明全新的方法來解決。本節(jié)課所提供的案例讓學(xué)生重新理解復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，尤其是復(fù)數(shù)的乘法，為教學(xué)提供了一個(gè)獨(dú)特的視角。

在筆者看來，數(shù)學(xué)教育的核心在于展現(xiàn)思維理性和邏輯推理的力量。教師不應(yīng)將數(shù)學(xué)教學(xué)簡化為理論教學(xué)，而應(yīng)保證教學(xué)設(shè)計(jì)始終以邏輯和理性為靈魂。本節(jié)課的處理方式正是這一理念的具體體現(xiàn)，教師鼓勵(lì)學(xué)生以創(chuàng)新的思維方式，深入理解復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。通過這種方式，學(xué)生不僅能夠掌握知識(shí)，更能在解決問題的過程中，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教師應(yīng)對(duì)歷史上經(jīng)典數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程進(jìn)行創(chuàng)新性的改編，以便更好地適應(yīng)課堂教學(xué)。通過解決和探討經(jīng)典問題，學(xué)生能夠重新構(gòu)建對(duì)概念的理解方式。在設(shè)計(jì)一系列具有數(shù)學(xué)思維的問題序列中，教師為學(xué)生提供自主探究的平臺(tái)，讓學(xué)生從真正的問題出發(fā)，通過提問、追問和反思的過程，推動(dòng)課堂教學(xué)活動(dòng)的有序進(jìn)行，從而深化對(duì)概念的理解，

教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中既要考慮整體布局，又要關(guān)注細(xì)節(jié)。在大概念視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，力求教學(xué)簡潔而深刻。

（作者單位：安徽省安慶市望江中學(xué)）

編輯：張俐麗