新課標(biāo)背景下化歸思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，要求教學(xué)過程以學(xué)生為中心，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維邏輯等核心素養(yǎng).圓周角的教學(xué)內(nèi)容主要涉及定義與定理的理解與掌握，以及相關(guān)題型的求解.傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)利用“提供表象-下定義”的模式，學(xué)生只能夠了解定義、定理，對(duì)于其深層次的推導(dǎo)過程并不熟悉.而利用化歸思想，轉(zhuǎn)換教學(xué)思路，能夠幫助學(xué)生理解定義、定理的推導(dǎo)過程，加深印象，提高教學(xué)成效，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo).

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；化歸思想；初中；數(shù)學(xué)

化歸思想簡單來說便是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的結(jié)合，其核心是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，實(shí)現(xiàn)化難為易、化繁為簡[1].在數(shù)學(xué)中，化歸思想被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如代數(shù)、幾何、三角函數(shù)、微積分等.通過化歸思想，可以更快地找到解決問題的方法，提高解題效率.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，同樣會(huì)遇到較為特殊的數(shù)學(xué)題目，使用常規(guī)解題方法，難以快速高效地完成問題解答.為此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換解題思路與方法，利用化歸思想，找尋解題新切入點(diǎn)，完成問題解答.

1 應(yīng)用化歸思想，開展定義教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱為“新課標(biāo)”）中要求培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，但傳統(tǒng)教學(xué)方法通常只注重學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，而忽略對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).在蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“圓周角”教學(xué)活動(dòng)中，教學(xué)內(nèi)容主要涉及圓周角概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí).教材中，將圓周角定義為“頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角”[2].傳統(tǒng)教學(xué)中，通常是教師先畫出圖形，根據(jù)圖形解釋圓周角定義.相對(duì)來說，在圖形的直觀呈現(xiàn)下，學(xué)生對(duì)圓周角的定義能夠有直觀的了解，并能夠記住這一定義，但學(xué)生通常“知其然，而不知其所以然”.

為落實(shí)新課標(biāo)數(shù)學(xué)思維能力的核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，教師需要轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，為學(xué)生提供足夠的思考空間，以發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，自主探索圓周角定義.應(yīng)用化歸思想的圓周角定義教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)方法為“提供表象（畫圖）-下定義（解釋圓周角定義）”，而在新課標(biāo)背景下，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維邏輯，教師可以采用“探索-建立表象-下定義”的教學(xué)流程.首先，在教學(xué)開始階段，教師可以提出問題：“平面幾何中，簡單來說，便是研究點(diǎn)、線、面、角以及它們之間的相互關(guān)系，如果以一個(gè)圓為基礎(chǔ)，那么能夠構(gòu)建出幾種與圓有關(guān)的角？”利用開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生打開思路，自主動(dòng)手繪制圖形.學(xué)生在繪制圖形時(shí)，通常腦海中并不具備清晰的表象，只能夠一邊探索，一邊構(gòu)建表象.而與圓相關(guān)的角通常只有以下四種（如圖1）.

學(xué)生在探索過程中，可以發(fā)現(xiàn)具有一定特殊性的圓為圖1①②兩種（即圓周角與圓心角），此時(shí)學(xué)生腦海中已經(jīng)有清晰的表象，教師可以順勢講解圓周角的定義，這樣學(xué)生能夠快速接受并深刻記憶圓周角定義.通過此方法，學(xué)生思維模式實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，為數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)打下基礎(chǔ).

2 利用轉(zhuǎn)化思想，開展定理教學(xué)

教材中，圓周角定理可以理解為“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，且都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半”.在圓周角定理教學(xué)中，同樣也可使用化歸思想.學(xué)生在探索圓周角與圓心角之間的關(guān)系時(shí)，通過直觀的目測，必然無法直接得到二者之間的數(shù)量關(guān)系.從本質(zhì)上來看，兩角之間的關(guān)系，是利用“數(shù)”來描述“形”，這本身便是化歸思想的表現(xiàn).另外，學(xué)生基于幾何直觀進(jìn)行目測，是感性的產(chǎn)物，而圓心角與圓周角之間的關(guān)系，是邏輯的產(chǎn)物，其中涉及直覺轉(zhuǎn)換為邏輯、感官轉(zhuǎn)換為推理，本質(zhì)上也契合化歸思想.為此，在教學(xué)實(shí)踐中，為促使學(xué)生對(duì)圓周角定理有更為深刻的了解與記憶，教師可以利用化歸思想，將未知的圓周角定理，轉(zhuǎn)化為已知的內(nèi)容，進(jìn)而求證定理.

例如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察所要證明的圓周角定理，并嘗試將其轉(zhuǎn)化為已知的等腰三角形和“三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”等知識(shí).以便能夠?qū)⑽粗獑栴}轉(zhuǎn)化為已知問題，便于學(xué)生求證.隨后，教師可以利用等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)出定理的結(jié)論.此過程中，需要讓學(xué)生明確每一步推導(dǎo)的依據(jù)和意義，并鼓勵(lì)學(xué)生積極參與推導(dǎo)過程，加深對(duì)定理的理解.最后，當(dāng)學(xué)生成功證明了定理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明過程，并思考是否可以通過其他方式證明定理，以便能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)造性，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1如圖2，OA，OB，OD為⊙O的半徑，AD為直徑，則∠AOB與∠ADB之間有何數(shù)量關(guān)系？

解析：根據(jù)已知條件可得△AOB與△BOD均為等腰三角形，其中∠ODB=∠OBD.∠AOB為△BOD外角，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，可知∠AOB=∠ODB+∠OBD，因此∠AOB=2∠ODB，其中∠AOB為圓心角.又AD為直徑，則∠ODB可表示為∠ADB.由此可驗(yàn)證圓周角定理.

例2如圖3，∠BOC與∠BAC分別為弧BC所對(duì)應(yīng)的圓心角與圓周角，求證∠BOC=2∠BAC.

解析：如圖4，連接AO并延長，交⊙O于點(diǎn)D，OA，OB，OC為半徑，則∠3=2∠1，∠4=2∠2，所以∠3+∠4=2（∠1+∠2），即∠BOC=2∠BAC.

3 從特殊到一般，拓展解題思路

在初中數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生難免會(huì)遇到較為特殊的問題，如可能涉及到一些不常見的數(shù)學(xué)概念或者復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系.而依靠傳統(tǒng)的教學(xué)模式，按照一定的步驟與方法去解決此類特殊問題，學(xué)生的解題思路將會(huì)受到極大制約.對(duì)于不熟悉的題型，學(xué)生可能會(huì)感到無從下手，不知道如何去分析和解決問題，或難以在短時(shí)間內(nèi)理清解題思路，從而導(dǎo)致解題效率低下.長此以往，學(xué)生會(huì)感到數(shù)學(xué)很難，無法從中獲得成就感，進(jìn)而影響到學(xué)習(xí)積極性.而利用化歸思想，引導(dǎo)學(xué)生找到問題中的已知知識(shí)點(diǎn)，并以此為出發(fā)點(diǎn)，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，能夠幫助學(xué)生拓寬解題思路，更為快速、準(zhǔn)確地解決問題.縱觀以往較為困難的中考數(shù)學(xué)題，本質(zhì)上都是考查相關(guān)概念與定理的綜合運(yùn)用，學(xué)生在充分了解有關(guān)定理與定義后，通過分析問題中的已知條件，可以更好地理解題目的本質(zhì)，找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而解決較為困難的問題.

例3如圖5，在△ABC中，OA=OB=OC，求∠ACB的度數(shù).

解題思路：根據(jù)已知條件OA=OB=OC，可利用圓的特點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則A，B，C為圓上的三個(gè)點(diǎn)，AB為圓的直徑，則∠ACB為圓周角.根據(jù)圓周角定理“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”，可得∠ACB=90°.

該題看似與圓周角無關(guān)，但實(shí)際上其本質(zhì)是圓周角的變化.針對(duì)此類題型，如果學(xué)生僅憑三角形的相關(guān)知識(shí)來解答，可能會(huì)需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算和推理.而利用化歸思想，將問題轉(zhuǎn)化為與圓周角相關(guān)的問題，則解答過程就會(huì)變得更加簡單和直觀.在例3中，如果只考慮三角形的性質(zhì)，可能需要通過計(jì)算三角形其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)來間接求出∠ACB的度數(shù).而利用化歸思想，根據(jù)已知條件OA=OB=OC，可以推斷出點(diǎn)A，B，C都在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.因此，∠ACB就是相應(yīng)圓心角的一半，根據(jù)圓周角定理可以快速得出∠ACB=90°的結(jié)論.

因此，在圓周角教學(xué)實(shí)踐中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生善用化歸思想，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，從而拓寬解題思路.同時(shí)，在實(shí)踐應(yīng)用過徑中，化歸思想的不斷運(yùn)用，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及創(chuàng)新能力都能起到提升作用，從而實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)對(duì)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求.

綜上所述，在圓周角教學(xué)過程中，化歸思想的運(yùn)用，能夠促使學(xué)生快速了解圓周角的定義與定理的推導(dǎo)過程，加深記憶，同時(shí)在相關(guān)問題的解答過程中，利用化歸思想，能夠快速解題，從而達(dá)到運(yùn)用自如的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]崔偉.化歸思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)解題中的應(yīng)用探索[J].數(shù)學(xué)之友，2023，37（2）：6061.

[2]袁婕妤.化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2024（1）：9192.