彰顯基礎突綜合，探究本質提能力

解三角形及其綜合應用，是高中階段重要的基本知識點之一.立足平面向量的應用，巧妙融合平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等相關知識，是高考命題中常考常新的基本考查點.此類綜合應用問題，以解答題形式設置時，場景更加豐富，內(nèi)容更加充實，可以有機串聯(lián)初、高中階段相關知識點，構建不同知識模塊之間的巧妙聯(lián)系，合理交匯與融合，全面落實“在知識交匯點處命題”的指導精神，更加靈活巧妙地考查學生的“四基”與“四能”，備受各方關注.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2025屆全國T8高三部分重點中學12月聯(lián)合測評數(shù)學試卷·15）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且1+sin Acos A=1+sin Bcos B.

（1）判斷△ABC的形狀；

（2）設AB=2，且D為邊BC的中點，求當∠CAD最大時△ABC的面積.

此題以三角形為問題場景，利用三角形中兩內(nèi)角所滿足的三角關系式為條件來合理創(chuàng)設，第（1）問通過判斷△ABC的形狀來考查三角關系式的恒等變換與轉化，結合題設場景中的三角關系式，通過二倍角公式、和差化積公式、半角公式等不同的三角恒等變換公式，巧妙轉化；第（2）問基于等腰三角形的場景，結合一邊長的確定以及一邊中點的確定，進而確定對應角最大時△ABC的面積，關鍵在于確定對應角的三角函數(shù)值的最值情況，結合等號成立的條件來進一步確定三角形的面積.

2 問題破解

（1）解法1：二倍角公式法.

依題，結合二倍角公式，得sinA2+cosA22cos2A2-sin2A2=sinB2+cosB22cos2B2-sin2B2，所以sinA2+cosA2cosA2-sinA2=sinB2+cosB2cosB2-sinB2，則sinA2cosB2-cosA2sinB2=0，即sinA2-B2=0.

因為A，B∈（0，π），所以A2-B2=0，所以A=B，即△ABC為等腰三角形.

解法2：和差化積公式法.

由1+sin Acos A=1+sin Bcos B，可得（1+sin A）cos B=（1+sin B）cos A，即cos B+sin Acos B=cos A+cos Asin B，所以cos A-cos B=sin Acos B-cos Asin B=sin（A-B）.

結合和差化積公式與二倍角公式，可得

[JZ]-2sinA+B2sinA-B2=2sinA-B2cosA-B2，

即sinA-B2cosA-B2+sinA+B2=0.

由A，B∈（0，π），可得cosA-B2gt;0，sinA+B2gt;0，所以sinA-B2=0，即A-B2=0，則A=B，所以△ABC為等腰三角形.

解法3：半角公式法.

由1+sin Acos A=1+sin Bcos B，得cos Agt;0， cos Bgt;0，從而A，B∈0，π2.

于是π4+A2，π4+B2∈0，π2.

由1+sin Acos A=1+sin Bcos B，可得1-cosπ2+Asinπ2+A=1-cosπ2+Bsinπ2+B，利用半角公式可得tanπ4+A2=tanπ4+B2.

因為函數(shù)y=tan x在0，π2上是增函數(shù)，所以π4+A2=π4+B2，即A=B，故△ABC為等腰三角形.

（2）解法1：余弦定理法.

由（1）及題設，有AC=BC=2CD，由余弦定理，結合基本不等式，可得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC×

AD=AC2+AD2-14AC22AC×AD=34AC2+AD22AC×AD=3AC8AD+AD2AC≥23AC8AD×AD2AC=32，當且僅當3AC8AD=AD2AC，即ADAC=32時等號成立.

所以∠CAD≤π6，即∠CAD的最大值為π6.

當∠CAD取得最大值時，由ADAC=32可得△ACD為直角三角形，∠ACD=π3.

又由（1）可得△ABC為正三角形，所以△ABC的面積S=34×22=3.

解法2：重心法.

如圖1所示，取AB的中點E，連接CE，交AD于點G.又點D為BC的中點，所以點G是△ABC的重心.

依題知AE=1，設GE=t，則CE=3t.

結合兩角差的正切公式以及基本不等式，可以得到tan∠CAD=tan（∠CAB-∠DAB）=tan∠CAB-tan∠DAB1+tan∠CABtan∠DAB=3t-t1+3t×t=2t1+3t2≤2t21×3t2=33，當且僅當1=3t2，即t=33時等號成立.

所以tan∠CAD≤33，則∠CAD≤π6，即∠CAD的最大值為π6.當∠CAD取得最大值時，由t=33可得△ABC為正三角形.

所以△ABC的面積S=34×22=3.

解法3：正弦定理法.

由（1）及題設，有AC=BC=2CD.

結合正弦定理，可得CDsin∠CAD=ACsin∠CDA.

所以sin∠CAD=CDsin∠CDAAC=12sin∠CDA≤12，當且僅當sin∠CDA取得最大值1時，∠CAD最大，此時∠CDA=π2，即∠CAD的最大值為π6，可得AD⊥BC，則△ABC為正三角形.

所以△ABC的面積S=34×22=3.

3 變式拓展

變式1〔2025屆江西省部分高中學校高三（上）聯(lián)考數(shù)學試卷〕在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且1+sin Acos A=1+sin Bcos B.

（1）證明：A=B；

（2）若D為邊BC的中點，求∠CAD的最大值.

變式2〔2025屆湖北省新八校協(xié)作體高三（上）聯(lián)考數(shù)學試卷（10月份）〕在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2bsin A-3a=0.

（1）求角B的大小；

（2）求cos A+cos B+cos C的取值范圍.

4 教學啟示

4.1 “數(shù)”“形”綜合，化歸轉化

在實際破解此類解三角形及其綜合問題時，挖掘問題內(nèi)涵，往往可以從“數(shù)”與“形”這兩個基本視角切入與應用，或借助題設條件中的對應邊、角的代數(shù)關系，挖掘“數(shù)”的本質與內(nèi)涵，結合三角函數(shù)的基本概念、三角恒等變換公式等有序進行數(shù)學運算；或利用題設情境中幾何圖形的形狀，回歸“形”的實質與本形，巧妙直觀想象，合理化歸轉化.

4.2 依托本質，拓展思維

對于涉及解三角形及其綜合應用問題，要依托問題中對平面幾何、解三角形等場景的挖掘與分析，回歸問題的本質與內(nèi)涵，結合相關的定理、公式等合理應用，并通過函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、三角函數(shù)等相關的基礎知識加以綜合與應用.

在此基礎上，合理拓展數(shù)學思維，結合問題的切入點、解析點及結論點等不同視角，借助不同的數(shù)學思維方式來切入與應用，從而實現(xiàn)問題的優(yōu)化與創(chuàng)新應用.