順勢元導遣心路，明道優(yōu)術拓思域

作為高考中的主干知識之一的解三角形，其中相關元素或代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題的設置與考查，是命題中常見的一類綜合應用問題，也是高考的熱點與重點問題之一.特別是解三角形解答題，其相關元素或代數(shù)式的最值（或取值范圍）的場景是多變的，或涉及角、邊的最值，或涉及周長、面積的最值，或涉及綜合關系式的最值等，根據(jù)不同的場景與應用條件，選取合適的技巧與方法，成為突破與解決問題的關鍵.

1 問題呈現(xiàn)

問題〔2025屆四川省瀘州市高三（上）第一次診斷數(shù)學試卷〕設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos Aa=cos B+cos Cb+c.

（1）求A；

（2）若2b2+c2的最大值為6+23，求a的值.

此題以解三角形為問題場景，借助三角函數(shù)為載體，通過正弦定理與余弦定理，結(jié)合三角恒等變換公式等，實現(xiàn)三角形中對應角的求解，以及三角形中最值應用問題的求解.

第一問，關鍵是利用題設條件中的三角關系式，結(jié)合統(tǒng)一化思想，或利用正弦定理化邊為角，利用三角恒等變換公式及三角函數(shù)的基本性質(zhì)，確定對應三角形的內(nèi)角；或利用余弦定理化角為邊，利用代數(shù)關系式的變形與關系式的構建，進而來確定對應三角形的內(nèi)角.

第二問，基于第一問中的結(jié)果A=π3，從角參法與邊參法等不同思維視角切入.基于角參法，化邊為角，通過三角恒等變換公式的應用，將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為對應的三角函數(shù)關系式，結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)及有界性等加以合理放縮與轉(zhuǎn)化；基于邊參法，立足邊的關系，合理構建對應的目標函數(shù)，借助函數(shù)與導數(shù)的應用來切入，而齊次化思維的應用與分式的構建，成為破解問題的一個精彩變換與應用.

2 問題破解

（1）方法1：角參法.

由cos Aa=cos B+cos Cb+c及正弦定理，可得cos Asin A=cos B+cos Csin B+sin C，即sin Bcos A+sin Ccos A=sin Acos B+sin Acos C，即sin Bcos A-sin Acos B=sin Acos C-sin Ccos A，整理可得sin（B-A）=sin（A-C）.

顯然（B-A）+（A-C）=B-C=±π不合題設條件，舍去.

所以B-A=A-C，即A=B+C2.結(jié)合A+B+C=π，得A=π3.

方法2：邊參法.

由cos Aa=cos B+cos Cb+c及余弦定理，可得b2+c2-a22bca=a2+c2-b22ac+a2+b2-c22abb+c，整理有b2+c2-a2=bc.

由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又0lt;Alt;π，所以A=π3.

（2）方法1：角參法.

由（1）知A=π3.由正弦定理，可得asin A=bsin B=csin C=a32，則b=2asin B3，c=2asin C3.

故2b2+c2=4a2（2sin2B+sin2C）3=2a2（3-2cos 2B-cos 2C）3.

由A=π3，可得B+C=2π3，即B=2π3-C，則2b2+c2=2a233-2cos4π3-2C-cos 2C]=2a23（3+3sin 2C）.

由0lt;Clt;2π3，可得0lt;2Clt;4π3，則當2C=π2，即C=π4時，2b2+c2取得最大值2a23（3+3）=6+23，解得a2=3，所以a=3（負值舍去）.

綜上分析，a=3.

方法2：換元+導數(shù)法.

由（1）知A=π3.由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=12，則a2=b2+c2-bc.

2b2+c2a2=2b2+c2b2+c2-bc=2bc2+1bc2+1-bc.令t=bcgt;0，構建函數(shù)f（t）=2t2+1t2-t+1=2+2t-1t2-t+1，tgt;0.

求導可得f′（t）=2（t2-t+1）-（2t-1）（2t-1）（t2-t+1）2=-2t2+2t+1（t2-t+1）2.令f′（t）=0，解得t=1+32.故當t∈0，1+32時，f′（t）gt;0；當t∈1+32，+∞時，f′（t）lt;0.

所以f（t）max=f1+32=2+233，即2b2+c2a2≤2+233，則2b2+c2≤2+233a2.故2b2+c2取得最大值2+233a2=6+23，解得a2=3，從而a=3（負值舍去）.

綜上分析，a=3.

3 變式拓展

3.1 同源變式

變式1設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos Aa=cos B+cos Cb+c.

（1）求A；

（2）若a=3，求2b2+c2的最大值.

變式2（填空題）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos Aa=cos B+cos Cb+c.若2b2+c2的最大值為6+23，則a的值為.

3.2 推廣變式

變式3（2025屆全國T8高三部分重點中學12月聯(lián)合測評數(shù)學試卷·15）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且1+sin Acos A=1+sin Bcos B.

（1）判斷△ABC的形狀；

（2）設AB=2，且D為邊BC的中點，求當∠CAD最大時△ABC的面積.

4 教學啟示

其實，涉及解三角形應用場景下的最值（或取值范圍）問題，一直是高考命題中的個基本考查點之一，可以涉及三角形的邊參代數(shù)式、角參三角式及三角形的周長、面積等相關的基本要素的最值（或取值范圍）問題等，設計形式變化多端，設置方式新穎，成為全面考查學生的“四基”與“四能”的一個重要方向.

而在解決以上涉及解三角形中的最值（或取值范圍）問題時，比較常用的基本技巧與方法有：

（1）利用解三角形中對應的邊參或角參的二次函數(shù)構建，結(jié)合對應變量的取值限制或隱含條件的限制，通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合來確定相應的最值（或取值范圍）；

（2）以解三角形中對應的角參為主元，合理進行三角恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙轉(zhuǎn)化為諸如正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（A≠0）的形式等，利用三角函數(shù)的有界性來合理放縮，進而確定相應的最值（或取值范圍）；

（3）利用解三角形中對應的邊參所對應的代數(shù)式，結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構特征進行合理的配湊與巧妙的轉(zhuǎn)化，借助基本不等式或重要不等式（均值不等式、柯西不等式、權方和不等式等）合理放縮，巧妙確定相應的最值（或取值范圍）；

（4）利用三角形中邊參或角參的相關函數(shù)的構建（分式函數(shù)、根式函數(shù)及其他比較復雜的函數(shù)類型等），通過函數(shù)與導數(shù)的應用，利用導數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等來確定相應的最值（或取值范圍）；

（5）根據(jù)解三角形中具體問題場景的應用，合理構建對應的平面幾何圖形或平面直角坐標系等，利用三角形對應頂點的軌跡確定，巧妙借助特殊位置法或臨界位置法等，合理判斷相應的最值（或取值范圍）.