透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，立足內(nèi)涵拓思維

在數(shù)學(xué)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)與綜合應(yīng)用場(chǎng)景中，“相等”與“不等”這兩個(gè)不同的應(yīng)用場(chǎng)景既是獨(dú)立存在的，又是相對(duì)作用的，是辯證唯物主義中一對(duì)對(duì)立矛盾的存在，同時(shí)兩者是一個(gè)統(tǒng)一的整體.依托數(shù)學(xué)應(yīng)用場(chǎng)景的創(chuàng)新設(shè)計(jì)與綜合設(shè)置，“相等”與“不等”的應(yīng)用場(chǎng)景，看似是對(duì)立的雙方，在一些具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題中，兩者之間經(jīng)常會(huì)根據(jù)實(shí)際場(chǎng)景及數(shù)學(xué)條件，以各種不同的形式進(jìn)行合理的辯證聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“相等”與“不等”之間的巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而加以綜合應(yīng)用.

而基于雙變量方程條件下的代數(shù)式的最值（或取值范圍）求解問(wèn)題，是巧妙實(shí)現(xiàn)“相等”與“不等”之間合理轉(zhuǎn)化的一個(gè)重要場(chǎng)景，可以有效考查考生的“四基”與“四能”，成為各類(lèi)數(shù)學(xué)考試命題中的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問(wèn)題之一.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題〔2025屆江蘇省蘇州市震川一中、常熟中學(xué)、西交大附中等四校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）〕已知a，b∈R，且a+ba+1+b+1=2，則a+b的最大值是，最小值是.

此題以雙變量所對(duì)應(yīng)的分式方程來(lái)創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，立足方程中的“相等”關(guān)系，求解雙變量所對(duì)應(yīng)的和式代數(shù)式的最大值與最小值.

具體解題時(shí)，基于復(fù)雜的分式方程，利用方程的恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化，或通過(guò)合理的換元變形，結(jié)合變形后對(duì)應(yīng)的方程條件，借助線性規(guī)劃或三角換元來(lái)處理，結(jié)合不等式知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)來(lái)應(yīng)用；或通過(guò)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與不等式的聯(lián)系，結(jié)合雙變量關(guān)系式的性質(zhì)，借助基本不等式或不等式性質(zhì)等來(lái)處理，合理進(jìn)行放縮與轉(zhuǎn)化；或通過(guò)方程的整體思維與換元處理，借助方程成立時(shí)判別式的條件，化方程為不等式，利用不等式的求解來(lái)綜合與應(yīng)用.思維方式多樣，殊途同歸，給問(wèn)題的突破與求解開(kāi)拓更加寬廣的空間.

2 問(wèn)題破解

2.1 換元思維

解法1：換元法——線性規(guī)劃.

設(shè)a+1=x≥0，b+1=y≥0，x，y不同時(shí)為0，則有a=x2-1，b=y2-1.

由a+ba+1+b+1=2，可得x2+y2-2x+y=2，整理有（x-1）2+（y-1）2=4.該方程表示以C（1，1）為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分（包括在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)），如圖1所示.

由a+ba+1+b+1=2，可得

[JZ]a+b=2（a+1+b+1）=2（x+y）.

令z=x+y，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線z=x+y與圓C相切于點(diǎn)（1+2，1+2）時(shí)，直線z=x+y在y軸上的截距z最大，此時(shí)zmax=2+22，從而（a+b）max=2（x+y）max=4+42；

而當(dāng)直線z=x+y過(guò)圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)D（0，1+3）或E（1+3，0）時(shí)，zmin=1+3，從而（a+b）min=2（x+y）min=2+23.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

解法2：換元法——三角換元.

設(shè)a+1=x≥0，b+1=y≥0，x，y不同時(shí)為0，則有a=x2-1，b=y2-1.

由a+ba+1+b+1=2，可得x2+y2-2x+y=2，整理有（x-1）2+（y-1）2=4，該方程表示以C（1，1）為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分（包括在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)）.

三角換元，可令x=1+2cos α，y=1+2sin α，α∈-π6，2π3].

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2a+1+2b+1=2x+2y=4+4cos α+4sin α=4+42sinα+π4.

由α∈-π6，2π3]，可得α+π4∈π12，11π12].故當(dāng)α+π4=π2，即α=π4時(shí)，（a+b）max=4+42；當(dāng)α+π4=π12或11π12，即α=-π6或2π3時(shí)，（a+b）min=2+23.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

2.2 不等式思維

解法3：不等式法——基本不等式1.

由a+ba+1+b+1=2，可知a+bgt;0，a≥-1，b≥-1，且a，b不同時(shí)為-1.

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2（a+1+b+1）≤22×

（a+1）+（b+1）=22×a+b+2，即（a+b+2）-22×a+b+2-2≤0，解得0≤a+b+2≤2+2，即a+b+2≤6+42，則a+b≤4+42，當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+1，即a=b=2+22時(shí)，等號(hào)成立.

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2（a+1+b+1）≥2（a+1）+（b+1）=2a+b+2，

即（a+b+2）-2a+b+2-2≥0，解得a+b+2≤1-3（舍去）或a+b+2≥1+3，即a+b+2≥4+23，則a+b≥2+23，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1，b=3+23或b=-1，a=3+23時(shí)，等號(hào)成立.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

2.3 函數(shù)與方程思維

解法4：方程法——判別式.

依題，由a+ba+1+b+1=2，可設(shè)t=a+bgt;0，a+1=x≥0，則有a=x2-1，b=t-a=t-x2+1.

由a+ba+1+b+1=2，可得tx+t-x2+2=2，即t-2x=2t-x2+2，兩邊平方并整理可得8x2-4tx+t2-4t-8=0.

以上關(guān)于x的一元二次方程在[0，+∞）上有實(shí)根，則其判別式Δ=（-4t）2-32（t2-4t-8）≥0，即t2-8t-16≤0，解得0lt;t≤4+42，即0lt;a+b≤4+42，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+22時(shí)，等號(hào)成立.

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2（a+1+b+1）≥2（a+1）+（b+1）=2a+b+2，

即（a+b+2）-2a+b+2-2≥0，解得a+b+2≤1-3（舍去）或a+b+2≥1+3，即a+b+2≥4+23，則a+b≥2+23，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1，b=3+23或b=-1，a=3+23時(shí)，等號(hào)成立.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

3 變式拓展

變式已知a，b∈R，且a+ba+1+b+1=2，則a+b的取值范圍是.

4 教學(xué)啟示

4.1 思路歸納，規(guī)律總結(jié)

解決此類(lèi)涉及雙變量的代數(shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題時(shí)，挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵，拓展條件的本質(zhì)，一般的解題思路主要有以下幾個(gè)方面：

（1）依托條件巧妙轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，或?qū)?shù)法思維等.

（2）不等式的合理放縮，主要是利用不等式的基本性質(zhì)，以及重要不等式（基本不等式、均值不等式、柯西不等式以及權(quán)方和不等式等）的應(yīng)用.

（3）基于代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，從中挖掘?qū)?yīng)的幾何意義，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離及一些曲線的軌跡與方程等），數(shù)形結(jié)合.

4.2 綜合創(chuàng)設(shè)，能力提升

涉及多變量（往往以雙變量為主）場(chǎng)景下的函數(shù)、方程及不等式等綜合應(yīng)用問(wèn)題，形式多樣，變化多端，可以很好地考查考生的“四基”，特別是對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的考查與基本能力的應(yīng)用，有很好的選拔效果與區(qū)分效應(yīng)，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)思想方法的要求比較高，具有較好的區(qū)分度.