巧借數(shù)形結合，妙解高考真題

摘要：數(shù)形結合思想是數(shù)學解題與應用中的一種常用思想方法.結合2024年高考數(shù)學真題實例，從一些問題中常見的幾何內涵、代數(shù)意義、函數(shù)特征、圖形本質等層面入手，合理挖掘本質與內涵，巧妙進行科學構建，依托相應的數(shù)學建模，確定與之相吻合的幾何模型或圖形，借助幾何直觀數(shù)形結合，巧妙快速分析與解決問題，有效指導復習備考.

關鍵詞：數(shù)形結合；函數(shù)；向量；解三角形；面積

我國著名數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”

數(shù)學問題中，“數(shù)”與“形”是問題的兩個展現(xiàn)形式，也是兩個研究對象，也是問題的兩個基本要素，相互獨立又密切聯(lián)系，形成一個和諧完美的統(tǒng)一整體.在解決一些數(shù)學問題時，我們經常合理挖掘題目條件及內涵，借助“數(shù)”的基本屬性來構建出“形”的結構特征，直觀想象，數(shù)形結合，給問題的分析與解決創(chuàng)造條件.特別是在解答高考真題時，數(shù)形結合思想是非常重要的一種基本思想方法.

1 基于幾何內涵呈現(xiàn)圖形特征

例1（2024年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷·3）已知向量a=（0，1），b=（2，x），若b⊥（b-4a），則x=（）.

A.-2B.-1C.1D.2

解析：如圖1，在平面直角坐標系中，設OA=4a，OB=b，則|OA|=4.設P為x軸正半軸上一點，且|OP|=2.

由AB=b-4a，結合條件b⊥（b-4a），得OB⊥AB，則點B在以OA為直徑的圓上.

由b=（2，x），可知點B在直線PB：x=2上.

在平面直角坐標系中，數(shù)形結合可知，PO，PB均為以OA為直徑的圓的切線.結合平面幾何的基本性質，可得x=|PB|=|PO|=2.

故選擇答案：D.

點評：平面向量自身同時兼?zhèn)洹皵?shù)”與“形”的雙重特征，而依托問題條件中的平面向量的坐標運算，回歸平面幾何內涵，在平面直角坐標系中展示對應的平面幾何圖形，借助向量之間的關系來構建對應直線的位置關系及相關點的軌跡等，進而給問題的突破與求解奠定基礎.合理挖掘幾何內涵，往往是處理一些代數(shù)問題時，利用直觀想象與數(shù)形結合來分析與求解的關鍵所在.

2 基于代數(shù)意義抽象直觀圖形

例2（2024年高考數(shù)學北京卷·10）已知M={（x，y）|y=x+t（x2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐標系中的點集.設d是M中兩點間的距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則（）.

A.d=3，Slt;1B.d=3，Sgt;1

C.d=10，Slt;1D.d=10，Sgt;1

解析：依題意，對任意給定x∈[1，2]，x2-x=x（x-1）≥0.

而t∈[0，1]，可知x≤x+t（x2-x）≤x+（x2-x）=x2，即x≤y≤x2.

又x∈[1，2]，則可轉化為滿足對應的平面區(qū)域y≤x2，

y≥x，

1≤x≤2即為所求集合M表示的圖形.

作出相應的平面區(qū)域，如圖2中的陰影部分所示，其中A（1，1），B（2，2），C（2，4）.

數(shù)形結合，可知任意兩點間距離的最大值d=|AC|=10.

利用化曲為直思維，集合M表示的圖形即陰影部分的面積滿足Slt;S△ABC=12×1×2=1.

故選擇答案：C.

點評：問題的實質是集合中的點集的代數(shù)內涵，而通過合理的設置，結合兩點間的距離及圖形的面積等幾何元素的引入，從而合理引導學生通過平面圖形來切入與應用，由“數(shù)”引導“形”的思維，進而借助平面幾何圖形的構建，利用圖形中元素的數(shù)形結合來研究與分析.

3 基于函數(shù)特征作出函數(shù)圖象

例3（2024年高考數(shù)學全國甲卷文·16）曲線y=x3-3x與y=-（x-1）2+a在（0，+∞）上有兩個不同的交點，則a的取值范圍為.

解析：依題，令x3-3x=-（x-1）2+a，分離參數(shù)可得a=x3-3x+（x-1）2=x3+x2-5x+1.

構建函數(shù)g（x）=x3+x2-5x+1，其中x∈（0，+∞），則g′（x）=3x2+2x-5=（3x+5）（x-1）.令g′（x）=0，解得x=1或x=-53（舍去）.

當x∈（0，1）時，g′（x）lt;0，函數(shù)g（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，g′（x）gt;0，函數(shù)g（x）單調遞增.又g（0）=1，g（1）=-2；當x→+∞時，g（x）→+∞.

作出函數(shù)g（x）的草圖，如圖3所示.

依題可知方程a=x3+x2-5x+1在（0，+∞）上有兩個不同的根，則知函數(shù)g（x）的圖象與直線y=a有兩個交點，數(shù)形結合可知a∈（-2，1）.

所以a的取值范圍為（-2，1）.

故填答案：（-2，1）.

點評：根據(jù)題設條件，經常將對應的函數(shù)問題方程化處理，結合分離參數(shù)，并構造新函數(shù)，結合函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，確定對應函數(shù)的單調區(qū)間與極值情況.基于函數(shù)特征與本質內涵，通過作出對應函數(shù)的圖象，數(shù)形結合來直觀分析與求解，往往是解決此類問題比較常見的思路.

數(shù)形結合思想的其中一個重點是“以形助數(shù)”，在解題時要著重培養(yǎng)這種數(shù)形結合思想意識，做到“心中有圖”“見數(shù)想圖”，以開拓自己的形象思維.借助數(shù)形結合思想來分析與解決問題時，要回歸問題的“圖形”意識，或從條件中的圖形入手來應用，或結合條件中的幾何意義來“生圖”，從而構建條件與圖形之間的等價聯(lián)系，腦海中形成清晰的圖形形象，合理迅速聯(lián)想到相關的圖形，進而準確利用幾何圖形中合元素的關系來直觀想象與分析求解.

4 基于圖形本質構建特殊圖形

在解決一些含有圖形本質內涵的數(shù)學問題時，如三角函數(shù)、解三角形、平面向量以及解析幾何等，基于問題內涵與實質，回歸圖形本質，合理構建特殊的直觀圖形，呈現(xiàn)原問題中沒有給出的幾何圖形等，依托特殊圖形的直觀形象與數(shù)形結合，給問題的分析與求解創(chuàng)造條件，以方便更加直觀快捷地處理問題．

例4（2025屆河南省“青桐鳴大聯(lián)考”高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學試卷·14）已知雙曲線C：x2－y2b2=1（2lt;blt;4）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l分別交C的左、右兩支于A，B兩點.若∠AF2B=∠AF1F2，則2|F1F2|+|BF2|的最小值為.

解析：如圖4所示，在△AF2B和△F2F1B中，因為∠AF2B=∠F2F1B，且∠ABF2=∠F2BF1，所以△AF2B∽△F2F1B.

利用相似三角形的基本性質，可得|BF1||BF2|=|BF2||BA|=|F1F2||F2A|.

結合雙曲線的定義，可得|BF1|=|BF2|+2，|AF1|=|AF2|－2.

所以|AB|=|BF1|－|AF1|=（|BF2|+2）－（|AF2|－2）=|BF2|－|AF2|+4.

設|F1F2|=2c，則可得|BF1||BF2|=|BF2|+2|BF2|=|BF2||BA|=|BF2||BF2|－|AF2|+4=|F1F2||F2A|=2c|AF2|=|BF2|+2c|BF2|+4，所以有（|BF2|+2）（|BF2|+4）=|BF2|（|BF2|+2c），可得|BF2|=4c－3.

所以2|F1F2|+|BF2|=4c+4c－3=4（c－3）+4c－3+12≥4×2（c－3）×1c－3+12=20，當且僅當c－3=1c－3，即c=4時，等號成立.

所以2|F1F2|+|BF2|的最小值為20.故填答案：20.

點評：在解決解析幾何問題中，特別是題設條件中涉及平面幾何的基本特征性質（如線段相等，角平分線等），可以依托解析幾何與平面幾何二者之間的聯(lián)系，利用平面幾何中“形”的幾何特征與平面圖形的性質來直觀分析，合理數(shù)形結合，實現(xiàn)解析幾何問題的巧妙解決，使得數(shù)學運算更加簡捷有效．

數(shù)形結合，特別是由“數(shù)”化“形”，借助問題條件與數(shù)量關系等，挖掘幾何內涵、代數(shù)意義、函數(shù)特征、圖形本質等，概括出對應的幾何意義或結構特征，等價轉化為相關的圖形性質，合理構建對應幾何模型，結合圖形的直觀分析，巧妙打破不同數(shù)學知識與思想方法間的壁壘，充分發(fā)揮數(shù)學想象力，使得復雜問題簡單化、抽象問題具體化，形象直觀，豁然開朗.