單元視域下的高考數(shù)學(xué)真題分析及問題設(shè)計(jì)策略

摘要：文章以2024年新高考I卷第11題為研究對(duì)象，從單元視域角度分析試題組織、設(shè)計(jì)、呈現(xiàn)，并得出三點(diǎn)數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)策略.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；單元視域；試題設(shè)計(jì)

單元視域是指在教學(xué)過程中，以單元為基本單位，通過系統(tǒng)化的教學(xué)設(shè)計(jì)和組織，促使學(xué)生能夠在特定主題或知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和理解.它強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的整體性和系統(tǒng)性，注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和邏輯結(jié)構(gòu)，從而幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，提高其綜合應(yīng)用和解決問題的能力.

基于單元視域的高考數(shù)學(xué)真題分析及試題設(shè)計(jì)策略研究至關(guān)重要.通過這種視域下的研究，可以優(yōu)化試題設(shè)計(jì)，使其更具系統(tǒng)性、層次性和挑戰(zhàn)性，從而有效地評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并為教學(xué)實(shí)踐提供有針對(duì)性的指導(dǎo).

1 真題再現(xiàn)及分析

筆者選擇2024年新高考I卷第11題作為基于單元視域下的高考數(shù)學(xué)真題分析的對(duì)象，原因在于該題目綜合考查了學(xué)生對(duì)多元知識(shí)的掌握與應(yīng)用能力，包括解析幾何、函數(shù)、不等式等多個(gè)單元的內(nèi)容.題目通過巧妙設(shè)置曲線條件，要求學(xué)生運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法如距離公式和函數(shù)性質(zhì)來推導(dǎo)解答，充分體現(xiàn)了高考題目在知識(shí)整合、邏輯推理及綜合應(yīng)用能力上的高要求.對(duì)該題的分析能夠幫助教師和學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的交叉與融會(huì)貫通，從而提升應(yīng)試能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型" 可以看作圖1中的曲線C的一部分，已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x=a（alt;0）的距離之積為4，則（）.

A.a=-2

B.點(diǎn)（22，0）在C上

C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時(shí)，y0≤4x0+2

分析：本題考查了曲線與方程，利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性和利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.設(shè)點(diǎn)P（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，利用曲線與方程得曲線C的方程，再利用曲線C的方程判斷選項(xiàng)A，B，C.令f（x）=16（x+2）2-（x-2）2，利用導(dǎo)數(shù)判斷已知函數(shù)的單調(diào)性得曲線f（x）在點(diǎn)（2，1）左側(cè)附近單調(diào)遞減，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，則由題意知|x-a|（x-2）2+y2=4（alt;0），由曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)O得|a|=2.又alt;0，因此a=-2，故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，曲線C的方程為|x+2|×（x-2）2+y2=4.將（22，0）代入曲線C的方程得，|22+2|5|22-2|=4，所以點(diǎn)（22，0）在曲線C上，故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于C，因?yàn)閤gt;-2，由|x+2|（x-2）2+y2=4得y2=16（x+2）2-（x-2）2，因此令f（x）=16（x+2）2-（x-2）2，則f′（x）=-32（x+2）3-2（x-2）.因?yàn)閒′（2）=-12lt;0，f（2）=1，所以曲線f（x）在點(diǎn)（2，1）左側(cè)附近單調(diào)遞減，因此必存在一個(gè)很小的正數(shù)ε，當(dāng)x∈（2-ε，2）時(shí)，f（x）gt;f（2）=1，即必存在一個(gè)很小的正數(shù)ε，當(dāng)x∈（2-ε，2）時(shí)，y2gt;1，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時(shí)，y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，而曲線C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，所以y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，得y0≤4x0+2，故選項(xiàng)D正確.

1.1 單元視域下的試題組織

2024年新高考Ⅰ卷第11題的試題組織強(qiáng)調(diào)在統(tǒng)一的知識(shí)結(jié)構(gòu)中展開多維度的考查，充分體現(xiàn)了單元視域的教學(xué)理念.該題目以“設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶”為情境，通過分析曲線C的幾何性質(zhì)，綜合考查解析幾何中關(guān)于拋物線的知識(shí)與空間想象力、數(shù)形結(jié)合的能力.試題巧妙地融合曲線的定義、距離公式、幾何變換等知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生在統(tǒng)一的知識(shí)單元中進(jìn)行多角度的分析與運(yùn)用.這種組織方式不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用，更培養(yǎng)了學(xué)生在多種數(shù)學(xué)情境下的遷移能力，促使學(xué)生在解決問題時(shí)，能夠從整體單元的視角出發(fā)，充分調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)儲(chǔ)備和思維能力.通過這種整體化的知識(shí)組織，學(xué)生能夠更好地掌握單元內(nèi)各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解和運(yùn)用.

1.2 單元視域下的試題設(shè)計(jì)

在單元視域下，第11題的設(shè)計(jì)意圖明確，旨在通過情境化的問題引導(dǎo)學(xué)生從多種角度分析和解決問題.該題目首先給出一個(gè)具有實(shí)際背景的曲線問題，設(shè)置了多個(gè)答案選項(xiàng)，包括對(duì)參數(shù)a的確定、曲線上點(diǎn)的驗(yàn)證及對(duì)曲線在不同象限中的性質(zhì)探討等.這種設(shè)計(jì)不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的解析幾何知識(shí)，同時(shí)需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)模型，通過邏輯推理和計(jì)算來判斷各選項(xiàng)是否正確.通過對(duì)不同選項(xiàng)的分析，學(xué)生能夠更深刻地理解曲線的幾何性質(zhì)及相關(guān)參數(shù)的物理意義.這種多層次、多維度的設(shè)計(jì)，不僅提升了題目的挑戰(zhàn)性，也促使學(xué)生在解決問題的過程中，主動(dòng)運(yùn)用和聯(lián)系相關(guān)單元的知識(shí)，鍛煉了其在復(fù)雜情境下的綜合運(yùn)用能力，符合單元視域下教學(xué)設(shè)計(jì)的要求.

1.3 單元視域下的試題呈現(xiàn)

從單元視域角度看，第11題的呈現(xiàn)形式注重多維度考查和知識(shí)融合.試題以情境引入，將曲線C的幾何性質(zhì)與解析幾何的基本概念相結(jié)合，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用，幫助學(xué)生在具體情境中深化對(duì)抽象概念的理解.題目不僅考查了學(xué)生對(duì)拋物線的認(rèn)識(shí)，更涉及參數(shù)分析、空間幾何理解等多方面內(nèi)容，體現(xiàn)了單元視域下的知識(shí)整合和能力培養(yǎng).同時(shí)，題目通過設(shè)置不同的選項(xiàng)，促使學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比分析，這種呈現(xiàn)方式不僅引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地回顧和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，還通過多角度的考查進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)單元內(nèi)容的理解.最終，題目的呈現(xiàn)形式實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的全面考查.

2 基于試題分析的問題設(shè)計(jì)策略

2.1 構(gòu)建單元內(nèi)知識(shí)的系統(tǒng)性和整體性

在單元視域下，數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)應(yīng)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的系統(tǒng)性和整體性，通過有機(jī)整合單元內(nèi)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，提升學(xué)生的綜合能力.2024年新高考I卷第11題通過結(jié)合解析幾何中的曲線問題，展現(xiàn)了幾何與代數(shù)知識(shí)的整合.具體來說，該題目將距離公式、拋物線的定義與幾何推導(dǎo)有機(jī)結(jié)合起來，通過設(shè)定點(diǎn)與線的距離乘積為定值的幾何性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深入分析曲線的特性.這種設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了單元視域的要求，即將同一單元內(nèi)不同知識(shí)點(diǎn)整合在一起，使學(xué)生在解題過程中不再局限于某一孤立的知識(shí)點(diǎn)，而是需要從整體視角出發(fā)，理解并應(yīng)用相關(guān)知識(shí).為在教學(xué)中更好地實(shí)施這種策略，教師應(yīng)注重單元內(nèi)知識(shí)的系統(tǒng)構(gòu)建，通過設(shè)計(jì)多層次的問題串聯(lián)單元內(nèi)的相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生形成對(duì)知識(shí)的整體把握，并在解決復(fù)雜問題時(shí)，能夠綜合應(yīng)用多方面的知識(shí).

2.2 通過情境化設(shè)計(jì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

單元視域下的問題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)充分利用情境化的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)問題情境中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，從而提升數(shù)學(xué)建模能力[1].第11題以“設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶”為背景，將抽象的數(shù)學(xué)問題嵌入實(shí)際情境中，要求學(xué)生通過幾何建模分析問題的本質(zhì).這種情境化的設(shè)計(jì)不僅增強(qiáng)了題目的趣味性和現(xiàn)實(shí)感，還促使學(xué)生在解決問題時(shí)，能夠從生活化的情境出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.在實(shí)際教學(xué)中，教師可以通過引入真實(shí)情境或虛擬情境，設(shè)計(jì)一系列與單元知識(shí)相關(guān)的情境化問題，幫助學(xué)生在不同背景下理解和運(yùn)用知識(shí).同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活聯(lián)系起來，通過情境化的建模過程，提升其在復(fù)雜情境中提取、分析和解決問題的能力.這種基于情境的設(shè)計(jì)策略，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)際應(yīng)用能力，使其能夠在高考中應(yīng)對(duì)多樣化的問題情境.

2.3 多元化呈現(xiàn)方式，促進(jìn)知識(shí)的遷移與創(chuàng)新

數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)通過多元化的呈現(xiàn)方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移與創(chuàng)新應(yīng)用.第11題的設(shè)計(jì)通過設(shè)置不同類型的選項(xiàng)，如確定參數(shù)、驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)、探討曲線的幾何性質(zhì)等，考查學(xué)生在多元化情境中的思維應(yīng)變能力.多元化的呈現(xiàn)方式不僅能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，更能引導(dǎo)他們?cè)诿鎸?duì)不同問題形式時(shí)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行創(chuàng)新性解題.為在教學(xué)中有效實(shí)施這一策略，教師可以采用多樣化的教學(xué)手段，如圖形展示、表格分析、文字描述等多種形式呈現(xiàn)同一數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在不同表達(dá)方式下理解問題的核心，并訓(xùn)練他們的知識(shí)遷移能力.此外，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過探究性學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，嘗試對(duì)傳統(tǒng)問題進(jìn)行新的求解和思考，從而在知識(shí)的遷移與創(chuàng)新應(yīng)用上取得更好的成效.通過這種多元化的呈現(xiàn)策略，學(xué)生不僅能提高應(yīng)試能力，更能在未來的學(xué)習(xí)和生活中具備更強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]張勤.單元視角下高中化學(xué)情境化試題作業(yè)設(shè)計(jì)策略研究[J].安徽教育科研，2023（12）：113117.