一道立體幾何與解析幾何綜合題目的命制

摘要：立體幾何和解析幾何是高考中的必考內(nèi)容，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).本命題小組立足幾何問(wèn)題設(shè)計(jì)了新定義探究，對(duì)接平面解析幾何和空間立體幾何兩大模塊，命制了一道圓錐曲線綜合題目.

關(guān)鍵詞：折疊空間距離;軌跡;橢圓

1 展示命題

原創(chuàng)題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）.若以x軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個(gè)半平面（如圖1所示），則稱(chēng)此時(shí)點(diǎn)P，Q在空間中的距離為“點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸的折疊空間距離”，記為Z（PQ）.

（1）若點(diǎn)A，B，C在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為（1，2），（-2，3），（3，-4），求證：Z（AB）=10，Z（BC）=52；

（2）若點(diǎn)D，P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為D（0，-1），P（x，y），試用文字描述滿足Z（DP）=2的點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是什么，并求該軌跡與x軸圍成的圖形的面積；

（3）若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，E（-1，3）是橢圓y212+x24=1上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的兩條直線EM，EN分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且其斜率滿足kEM+kEN=0，求Z（MN）的最大值.

2 命題過(guò)程

設(shè)計(jì)第（1）問(wèn)主要是為了幫助學(xué)生建立“折疊空間距離”的概念，了解該距離與兩點(diǎn)在x軸上下兩半平面中的相對(duì)位置有關(guān).第（2）問(wèn)想考查解析幾何的基本問(wèn)題，于是設(shè)計(jì)了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考命題的基礎(chǔ)要求，是經(jīng)久不衰的內(nèi)容，因此經(jīng)過(guò)多次修改我們將其引入至第（3）問(wèn).

第（3）問(wèn)第一稿的設(shè)計(jì)為：“若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=k（x-1）與橢圓y212+x24=1相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求Z（EF）的最大值.”本意是想以直線與橢圓相交這一典型問(wèn)題為載體，關(guān)聯(lián)“折疊空間距離”這一幾何元素，通過(guò)不同變量的引入將問(wèn)題化歸為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，但在解題時(shí)發(fā)現(xiàn)僅利用常規(guī)曲直聯(lián)立、韋達(dá)定理就可以化歸出形式較為簡(jiǎn)單的代數(shù)式，計(jì)算量小，難度偏低.因此，為加大難度，設(shè)計(jì)第二稿：“E，F(xiàn)為橢圓y212+x24=1上任意兩點(diǎn)，求Z（EF）的最大值.”該問(wèn)題可沿用前述思路求解，但涉及參數(shù)有四個(gè)，僅利用題設(shè)無(wú)法充分消參，即使利用橢圓的參數(shù)方程，也依舊會(huì)涉及到四次方根，不易求解.因此，改為第三稿：“若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E（-1，3）是橢圓y212+x24=1上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的兩條直線EM，EN分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且其斜率滿足kEM+kEN=0，求Z（MN）的最大值.”第三稿的設(shè)計(jì)意圖與第一稿類(lèi)似，但分類(lèi)討論時(shí)涉及到直線斜率范圍的討論，最值的計(jì)算中也要求利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，因此對(duì)學(xué)生的邏輯推理及運(yùn)算能力要求更高，于是得到了終稿.

3 思維導(dǎo)圖及試題分析

3.1 第（1）問(wèn)思維導(dǎo)圖及試題分析

第（1）問(wèn)思維導(dǎo)圖如圖2所示.圖2分析一：已知A，B，C三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置，將其相對(duì)位置標(biāo)注在折疊后的兩個(gè)半平面中，通過(guò)兩點(diǎn)折疊距離的定義，構(gòu)造直角三角形，列出表達(dá)式，加以求證.

分析二：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)A，B，C三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，寫(xiě)出相應(yīng)的三維坐標(biāo)，兩點(diǎn)折疊空間距離等價(jià)于此時(shí)的空間兩點(diǎn)距離，建立等式，得以論證.

3.2 第（2）問(wèn)思維導(dǎo)圖及試題分析

第（2）問(wèn)思維導(dǎo)圖如圖3所示.

分析一：已知點(diǎn)D在折疊后的兩個(gè)半平面中的具體位置，借由第（1）問(wèn)思路重點(diǎn)討論點(diǎn)P的位置，過(guò)點(diǎn)P向坐標(biāo)軸作垂線，垂足記為P0，在Rt△PP0D中通過(guò)勾股定理建立等量關(guān)系，確定軌跡方程，結(jié)合曲線方程的結(jié)構(gòu)，判斷點(diǎn)P的軌跡，完成求解.

分析二：與第（1）問(wèn)類(lèi)似，寫(xiě)出點(diǎn)D，P的空間坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式建立等式，此時(shí)點(diǎn)P的空間坐標(biāo)需要對(duì)其原來(lái)是在x軸上半平面或是下半平面進(jìn)行討論.剩下的思考路徑與分析一中的一致.

3.3 第（3）問(wèn)思維導(dǎo)圖及試題分析

第（3）問(wèn)思維導(dǎo)圖如圖4所示.

分析一：設(shè)直線EM，EN的點(diǎn)斜式方程，討論點(diǎn)M，N與點(diǎn)E在平面直角坐標(biāo)系中相對(duì)位置的可能性，求解直線EM，EN的斜率范圍.沿用第（2）問(wèn)的思路，對(duì)點(diǎn)M，N在半平面中的相對(duì)位置加以討論.在不同的位置關(guān)系下，通過(guò)向坐標(biāo)軸作垂線的方式，確立對(duì)應(yīng)的平面或空間直角三角形，從而寫(xiě)出Z（MN）的表達(dá)式.聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，整理消元，結(jié)合韋達(dá)定理，用單變量k表示Z（MN），繼而求解最值.

分析二：與分析一類(lèi)似，先用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線EM，EN的方程，再根據(jù)點(diǎn)M，N的相對(duì)位置求相應(yīng)直線斜率的范圍.沿用第（2）問(wèn)思路，在不同情況下，寫(xiě)出M，N兩點(diǎn)的空間坐標(biāo)，并寫(xiě)出Z（MN）的代數(shù)式，剩余過(guò)程與分析一類(lèi)似.

掃碼看解析過(guò)程4 試題解析

試題解析略，掃碼看解析過(guò)程.

5 試題鏈接

改編題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）.若以x軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個(gè)半平面（如圖5所示），則稱(chēng)此時(shí)點(diǎn)P，Q在空間中的距離為“點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸的折疊空間距離”，記為Z（PQ）.

（1）若點(diǎn)A，B，C在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為A（3，4），B（-1，5），C（-3，-2），求Z（AB），Z（BC）的值；

（2）若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為D（-1，0），E（1，0），試用文字描述滿足Z（DP）+Z（EP）=4的點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡，并求以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值；

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l恒過(guò)定點(diǎn)M（0，1），與雙曲線x2-y2=1交于兩點(diǎn)P，Q，是否存在直線l使得折疊后直線OP與直線OQ垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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6 試題實(shí)測(cè)分析

第（1）問(wèn)4分，幾乎全員拿滿分，說(shuō)明學(xué)生對(duì)該距離定義的建構(gòu)沒(méi)有問(wèn)題.第（2）問(wèn)滿分6分，平均得分為3.51分.由于題目中的示意圖給了作垂線的提示，學(xué)生的解法集中在分析一，反映出學(xué)生在空間中利用坐標(biāo)系解決問(wèn)題的能力有待加強(qiáng)，但大部分學(xué)生都能根據(jù)軌跡方程得到該軌跡的示意圖，說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的意識(shí)已扎根在腦海中.第（3）問(wèn)是圓錐曲線的綜合問(wèn)題，學(xué)生自然能想到曲直聯(lián)立、韋達(dá)定理，但目標(biāo)不明確，不知道該將題目中的什么幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，因此得分率較低.本題前兩問(wèn)基礎(chǔ)題得分情況較好，第（3）問(wèn)則有較強(qiáng)的區(qū)分度，能夠反映學(xué)生對(duì)解析幾何本質(zhì)的把握、新概念的建構(gòu)能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.總體來(lái)說(shuō)，本題適用于學(xué)生的日常測(cè)驗(yàn).