一道由三角函數(shù)翻折形成立體幾何試題的命制

摘要：本文中把三角函數(shù)的平面問題放在空間中研究，體現(xiàn)了從二維到三維的思維躍進，把立體幾何問題轉化為平面問題來解決，體現(xiàn)了三維到二維的解題過程，發(fā)展了邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng).

關鍵詞：三角函數(shù);立體幾何;三角立幾融合

1 展示命題

（改編題）已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π）的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C13，0為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成2π3的二面角，如圖2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在圖2中求AB與平面OBC所成的角；

（3）求以AB的中點為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積.

附注：第（3）題要用到球缺（如圖3）的體積公式.球缺的定義：一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直徑被截下的線段長叫球缺的高.設球的半徑為R，球缺的高為h，則球缺的體積公式為V球缺=13πh2（3R-h）.

（原題）已知函數(shù)f（x）=λsinπ2x+φ（λgt;0，0lt;φlt;π）的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時|AB|=10.

給出下列四個結論：

①φ=π3；

②圖2中，AB·AC=5；

③圖2中，過線段AB的中點且與AB垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，S是△A′BC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S||AQ|≤2}，則T表示的區(qū)域的面積大于π4.

其中所有正確結論的序號是.

2 命題過程

本來想命制一個求三角函數(shù)的解析式或求y=Asin（ωx+φ）中ω的填空題，看到原題后就想改編成三角與立體幾何融合的綜合題.因為題設中有二面角，只是直二面角太特殊，于是作了調整，又想涉及求線面角和球相關的問題.為了保留原函數(shù)解析式，在函數(shù)圖象上取兩點0，32和13，0，但這樣求出的結果有兩解，需要根據(jù)函數(shù)單調性或周期性舍去一解，有一點小坎，正合本意，這樣第（1）小題就確定下來.把原題中直二面角改為2π3的二面角，第（2）小題想求線面角，結合圖2，確定求AB與平面OBC所成的角.第（3）小題還是看上了AB，就求以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積，遂成第一稿.

第一稿：（3）求以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積.

以OC的方向為y′軸的正方向，過點O且垂直y′軸的直線為x′軸，過點O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標系.設AB的中點為E，點A在平面OBC上的射影為H，則A′H=32，AH=32，所以H-32，-23，0，A-32，-23，32，B3，43，0，球的直徑|AB|=13，點E到平面OBC的距離為34，以AB為直徑的球被半平面OBC所截的圖形即為該球在平面OBC上的射影圓.

不妨設該球在平面OBC上的射影圓的半徑為r，則r2=1322-342=4316.

所以，以AB為直徑的球被平面OBC所截的圓的面積為4316π.

第一稿的條件以及第（1）（2）小題與原題相同，這里不重復，只給出第（3）小題“（3）以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積”的解答.通過演算發(fā)現(xiàn)第（2）小題有多種解法，前兩個小題比較滿意，第（3）小題相對簡單，于是有了第二稿.

第二稿：（3）求以AB為直徑的球被半平面OBC所截的面積.

以AB為直徑的球被半平面OBC所截的圖形為一優(yōu)弧弓，不妨設半徑為r，圓心為F，則在平面OBC內F34，13.而球的直徑|AB|=13，則r2=1322-342=4316.

于是，圓F的方程為x-342+y-132=4316.設圓與直線A′C交于M，N兩點，則M0，13-102，N0，13+102，可得MN=10，cos∠MFN=4316+4316-102×4316=-3743，故∠MFN=π-arccos3743，扇形的圓心角為α=π+arccos3743.所以，扇形的面積為S扇=12αr2=12×π+arccos3743×4316=4332π+arccos3743，S=S△MNF+S扇=12×10×34+4332π+arccos3743=308+4332π+arccos3743.所以以AB為直徑的球被半平面OBC所截的面積為308+4332×π+arccos3743.

這樣雖然計算量大一點，但還是覺得有點平淡，于是有了第三稿.

第三稿：（3）求以AB為直徑的球夾在兩個半平面之間的體積.

但這個體積學生現(xiàn)有知識不能求，于是只能再改！改為以AB中點為球心的球與OC相切，這時的體積就是球的體積減去兩個相同的球缺的體積，但球缺教材沒有，所以想到給出球缺的定義，最終通過計算確定AB的值后得到終稿.

第四稿：（3）求以AB的中點為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積.

3 解題分析與思維導圖

3.1 第（1）問解法分析及思維導圖

已知函數(shù)圖象上的點0，32，13，0，把兩個點的坐標分別代入函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）中，得到ω，φ的兩組答案.

法1：通過分析函數(shù)f（x）=3sin5π2x+π6在-115，13上先增后減，與已知的函數(shù)圖象不符，故舍去.

法2：由圖象可知T4gt;13，從而推出Tgt;43，即2πωgt;43，得出0lt;ωlt;3π2，故舍去ω=5π2.

思維導圖如圖4所示.

3.2 第（2）問解法分析及思維導圖

分析一：直線AB與平面OBC所成的角就是直線AB與其在平面OBC上的射影所成的角，所以首先作出點A在平面OBC上的射影H，則∠ABH就是所求的角，而AH很容易算出，接下來難點是求BH.

法1：過點H作x軸的平行線l，過點B作BD⊥l交l于點D，求出BH.

法2：在平面OBC內，以OC的方向為y′軸的正方向，過O且垂直y′軸的直線為x′軸，建立平面直角坐標系，很容易求出點B，H的坐標，求出BH.

分析二：以OC的方向為y′軸的正方向，過O且垂直y′軸的直線為x′軸，過O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標系.分別寫出求出點B，H的坐標，求出平面OBC的法向量n，從而得sin θ=|BA5n||BA||n|

分析三：過點B作BD⊥OC交OC于點D，則BD⊥DA′，AA′⊥DA′，〈BD，A′A〉=π3.由BA=BD+DA′+A′A，得出|BA|.設平面OBC的一個單位法向量為e，〈e，A′A〉=π6，則e⊥BD，e⊥DA′，從而得出sin θ=|BA5e||BA||e|.

思維導圖如圖5所示.

3.3 第（3）問解法分析及思維導圖

以OC的方向為y′軸的正方向，過點O且垂直y′軸的直線為x′軸，過點O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標系.AB的中點為E，設A在平面OBC上的射影為H，易得點H，A，B，E的坐標.以E為球心，半徑為32的球被半平面OBC所截的圖形為圓，通過計算所截的圓恰與y′軸相切，同理可得，球被平面OAC所截的圖形也恰與y′軸相切，所以球與二面角所圍成的幾何體體積為V=V球-2V球缺，其中V球缺=13πh2（3R-h），R為球的半徑，h為球缺的高.

4 試題解答

具體解析略，可掃碼閱讀具體解析.

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5 試題鏈接

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π）的部分圖象如圖7所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C13，0為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成π3的二面角，如圖8所示.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在圖8中求AB與平面OBC所成的角；

（3）求以AB為直徑的球夾在兩個半平面之間的體積.6 試題實測統(tǒng)計分析

為調查本題編制質量，難度設置是否適宜，是否具有的區(qū)分度，特讓高二實驗班學生進行了測試.測試結果如表1所示.

第（1）小題4分，平均分3.43分，主要失分原因是算出兩組答案未進行取舍，或有些學生意識到要舍去一組，但原因表述不明，甚至有些同學計算錯誤.第（2）小題滿分6分，平均分3.8分，有57.1%的同學滿分，主要解法是綜合法，建系法也有部分同學使用，但是坐標表述有錯誤，建系寫坐標有待加強.第（3）小題是一個新概念題，滿分8分，平均分2.74分，滿分率25.7%，主要失分原因是概念理解不清楚，由于計算要求比較高，學生計算出錯的太多.但還是有一部分學生得了滿分.

本題總分18分，滿分學生占25.7%，零分學生占6.5%，有一定的區(qū)分度，能夠反映學生對基礎知識的掌握和數(shù)學計算能力及新概念的理解能力.

學生是否覺得題目有趣？是否覺得題目有挑戰(zhàn)性？是否從題目中學到了新的東西？這些反饋都可以幫助改進命題的方法和策略.本題第（3）小題“求以AB的中點為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積”，感覺改編得不是那么自然，隨后在試題鏈接中的第（3）問改為了“求以AB為直徑的球夾在兩個半平面之間的體積”，此球恰好與二面角的棱相切.