切線不等式的巧妙應(yīng)用

摘要：基于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用切線不等式，是函數(shù)綜合應(yīng)用的深入與提升，也是問(wèn)題解決過(guò)程中的“巧技妙法”.利用切線不等式，可以有效解決函數(shù)最值、參數(shù)最值、大小比較及綜合應(yīng)用等問(wèn)題，并合理加以綜合與應(yīng)用，歸納解題技巧與策略，幫助學(xué)生提升綜合應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；切線不等式；參數(shù)；最值

基于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用切線不等式，可有效解決函數(shù)與方程中的一些綜合應(yīng)用問(wèn)題.借助切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）“以直代曲”，是處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的妙手.依托切線不等式的巧妙應(yīng)用，對(duì)于問(wèn)題的快捷切入、解題的思路優(yōu)化、過(guò)程的簡(jiǎn)化精減等都非常有效果.切線不等式是解決與之相關(guān)的函數(shù)、方程及不等式等問(wèn)題時(shí)常用的一些基本結(jié)論與性質(zhì).

1 函數(shù)最值問(wèn)題

在解決一些解析式中涉及指數(shù)與對(duì)數(shù)混合的函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，通過(guò)合理挖掘題設(shè)內(nèi)涵與解析式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙借助切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）“以直代曲”來(lái)合理轉(zhuǎn)化，給函數(shù)最值的求解與應(yīng)用創(chuàng)造條件.

例1（2024年浙江省9+1高中聯(lián)盟高三第二學(xué)期3月高考模擬數(shù)學(xué)試卷第14題）函數(shù)f（x）=x3e3x-3ln x-1x（xgt;0）的最小值為.

解法1：放縮法1.

由不等式ln x≤x-1（x=1時(shí)等號(hào)成立），得f（x）=x3e3x-3ln x-1x=x3e3x-ln（x3e3x）+3x-1x≥x3e3x-（x3e3x-1）+3x-1x=3，當(dāng)且僅當(dāng)x3e3x=1時(shí)等號(hào)成立.

由x3e3x=1，得x3=e-3x，可轉(zhuǎn)化為兩曲線y1=x3與y2=e-3x的圖象有唯一交點(diǎn)，可知x3=e-3x有唯一實(shí)數(shù)解.

所以函數(shù)f（x）的最小值為3.

解法2：放縮法2.

根據(jù)切線不等式ex≥x+1（x=0時(shí)等號(hào)成立），則有f（x）=x3e3x-3ln x-1x=e3x+3ln x-3ln x-1x≥（3x+3ln x+1）-3ln x-1x=3，當(dāng)且僅當(dāng)3x+3ln x=0時(shí)等號(hào)成立.

由3x+3ln x=0，得x=-ln x，可轉(zhuǎn)化為兩曲線y1=x與y2=-ln x的圖象有唯一交點(diǎn)，可知x=-ln x有唯一實(shí)數(shù)解.

所以函數(shù)f（x）的最小值為3.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)混合求最值的問(wèn)題時(shí)，常利用切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）巧妙“互化”，從而避免利用導(dǎo)數(shù)法處理問(wèn)題時(shí)的繁雜過(guò)程與復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，提升解題效益.

2 參數(shù)最值問(wèn)題

在解決一些含參并涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，常利用不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化（同構(gòu)），以及參變分離等，巧妙借助切線不等式來(lái)合理放縮與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)參數(shù)最值（或取值范圍）的求解與應(yīng)用.

例2（2024屆湖北省武漢華大新高考聯(lián)盟3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)）（多選題）若關(guān)于自變量x的不等式ex-2+x≥2ax2-xln x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）.

A.1eB.12C.e3D.2

解析：由ex-2+x≥2ax2-xln x，可得ex-2x+1≥2ax-ln x，則ex-2eln x+1≥2ax-ln x，即ex-2-ln x+1+ln x≥2ax.

根據(jù)切線不等式，可得ex-2-ln x≥x-2-ln x+1，從而ex-2-ln x+1+ln x≥x.

當(dāng)2a≤1，即a≤12時(shí)，ex-2-ln x+1+ln x≥x≥2ax，即ex-2-ln x+1+ln x≥2ax，此時(shí)符合題意.

當(dāng)agt;12時(shí)，2axgt;x.ex-2-ln x+1+ln x=x成立的條件是x-2-ln x=0.易知直線y=x-1與曲線y=ln x相切，所以直線y=x-2與曲線y=ln x有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在x，使得x-2-ln x=0，從而ex-2-ln x+1+ln x=x成立，也就是存在x，使得2axgt;ex-2-ln x+1+ln x，此時(shí)不符合題意.

綜上分析，可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞，12.

故選擇答案：AB.

點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，以多選題的形式來(lái)巧妙創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用.該問(wèn)題中，利用切線不等式ex≥x+1“以直代曲”，恒等變形（同構(gòu)），使過(guò)程與步驟更加簡(jiǎn)化，事半功倍！

3 大小比較問(wèn)題

在一些涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的代數(shù)式的大小比較與判斷問(wèn)題時(shí)，往往結(jié)合兩代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與形式加以合理恒等變化，直接利用相應(yīng)的切線不等式來(lái)合理放縮與巧妙轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)式大小的比較與判斷.

例3設(shè)a=10.99，b=e0.01，c=1.02，則（）.

A.agt;bgt;cB.bgt;cgt;aC.bgt;agt;cD.cgt;bgt;a

解析：根據(jù)指數(shù)切線不等式“ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立”，則可得b=e0.01gt;0.01+1=1.01=1.012=1.020 1gt;1.02=c.將指數(shù)切線不等式中的x替換為-x，于是可得e-x≥-x+1，即1ex≥1-x.當(dāng)xlt;1時(shí)，結(jié)合不等式的性質(zhì)有ex≤11-x，則b=e0.01lt;11-0.01=10.99=a.

綜上分析，可得agt;bgt;c.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件，合理聯(lián)想，借助切線不等式“ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立”，通過(guò)結(jié)論或變式等不同形式來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而確定對(duì)應(yīng)的大小關(guān)系.

4 從切線不等式到曲線不等式

從前面的切線不等式來(lái)看，當(dāng)涉及放縮精度較高的問(wèn)題時(shí)，通常需要進(jìn)一步利用曲線不等式來(lái)解決.

例4（四川省南充市高2024屆一診考試）已知函數(shù)f（x）=ln x-2x+2-m（0lt;mlt;3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2（x1lt;x2），下列關(guān)于x1，x2的說(shuō)法，正確的有（）個(gè).

①x2x1lt;e2m；②x1gt;2m+2；

③em3lt;x2lt;33-m；④x1x2gt;1.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：借助不等式1-1x≤ln x，可得3-3x≤ln x-2x+2≤3ln x，記φ（x）=3-3x，g（x）=ln x-2x+2，h（x）=3ln x，然后作出三者的圖象即可求解.如圖1所示.

（說(shuō)明：|φ（x）|以y=3為漸近線，故此題中限制了0lt;mlt;3.）

作直線y=m（0lt;mlt;3）分別與上圖三個(gè)函數(shù)圖象從左至右交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)，易得：點(diǎn)Ae-m3，m，B（x1，m），C3m+3，m，Dem3，m，E（x2，m），F(xiàn)33-m，m.

此題就很容易求解了.

點(diǎn)評(píng)：以學(xué)生較熟悉的切線不等式放縮和切線夾逼為基礎(chǔ)，從y=|ln x|及不等式ln x≥1-1x入手，利用放縮、夾逼融合而成.“曲線放縮，曲線夾逼”可實(shí)現(xiàn)超越不可解到超越可解或有理可解的轉(zhuǎn)化.其實(shí)，指數(shù)切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）或?qū)?shù)切線不等式ln x≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）及l(fā)n x≥1-1x（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）等相應(yīng)的“二級(jí)結(jié)論”的巧妙應(yīng)用，是基于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的產(chǎn)物，也是對(duì)知識(shí)應(yīng)用的提升與升華，進(jìn)而在學(xué)習(xí)與解題過(guò)程中不斷加以總結(jié)與巧妙應(yīng)用的一些基本知識(shí)點(diǎn).熟練運(yùn)用切線不等式、曲線不等式，能撥開(kāi)“以直代曲、以曲代曲”的本質(zhì)，有助于更好地理解合理放縮之妙手，少算多思，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).