抽象函數(shù)問題中的單調(diào)性應(yīng)用

摘要：作為數(shù)學(xué)抽象與應(yīng)用的一個(gè)基本類型，抽象函數(shù)及其綜合應(yīng)用是其中最為典型的一類基本問題.而涉及抽象函數(shù)中的基本性質(zhì)問題，更是應(yīng)用的關(guān)鍵，基于抽象函數(shù)的單調(diào)性，從一些常見的基本應(yīng)用類型入手，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行剖析，歸納總結(jié)解題技巧與規(guī)律，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；單調(diào)性；參數(shù)；最值；范圍

抽象函數(shù)是函數(shù)及其基本概念中比較特殊的一類形式，是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)銜接點(diǎn)，其看似無具體的解析式，但具有題目確定的相關(guān)基本性質(zhì).特別是，有關(guān)抽象函數(shù)問題中與函數(shù)單調(diào)性綜合的應(yīng)用問題，巧妙借助知識(shí)點(diǎn)間的合理融合，在判斷或應(yīng)用其單調(diào)性方面具有一定的難度，用途較大，具有挑戰(zhàn)性，備受關(guān)注［1］.

1 單調(diào)性的判定應(yīng)用

涉及抽象函數(shù)單調(diào)性的判定，往往是基于函數(shù)單調(diào)性的定義與相關(guān)基本性質(zhì)，借助代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，綜合邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等加以分析與應(yīng)用，得以巧妙解決抽象函數(shù)單調(diào)性的判定或證明等相關(guān)問題.

例1（多選題）已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）lt;1，則（）.

A.f（0）=1

B.f（1）+f（-1）=1

C.函數(shù)f（x）為減函數(shù)

D.函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱

分析：依托抽象函數(shù)的問題背景，結(jié)合恒成立的代數(shù)關(guān)系式的給出，以及對(duì)應(yīng)不等式成立的條件，利用賦值法，通過變量取值的變化來確定選項(xiàng)A，B中代數(shù)式的值或關(guān)系；結(jié)合賦值法的應(yīng)用，通過抽象函數(shù)的對(duì)稱性來確定選項(xiàng)D中的對(duì)稱性；利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合代數(shù)式的變形與應(yīng)用，合理加以邏輯推理與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而來確定選項(xiàng)C中抽象函數(shù)的單調(diào)性問題.

解析：依題，函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）-1.

令x=0，y=0，則有f（0）=f（0）+f（0）-1，解得f（0）=1，故選項(xiàng)A正確.

令x=1，y=-1，則有f（0）=f（1）+f（-1）-1=1，所以f（1）+f（-1）=2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

令y=-x，則有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1=f（0）=1，即f（x）+f（-x）=2，故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，故選項(xiàng)D正確.

設(shè)x1lt;x2，則x2-x1gt;0，可得f（x2-x1）lt;1，而f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）=f（x2-x1）-1lt;0，則f（x2）lt;f（x1），則函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，故選項(xiàng)C正確.

故選擇答案：ACD.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的判定或證明，必須抓住函數(shù)單調(diào)性的定義或基本性質(zhì)等，通過邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等來分析與判定.特別要注意的是，在利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，往往要借助自變量的變換，如把x1寫成（x1-x2）+x2或者把x1寫成x1x2×x2（對(duì)應(yīng)字母的順序可以結(jié)合實(shí)際條件加以變換）.

2 參數(shù)值的確定應(yīng)用

合理借助抽象函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合含參抽象不等式的題設(shè)背景，通過函數(shù)的定義域與單調(diào)性加以化歸與轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式（組），得以確定滿足條件的參數(shù)值或取值范圍等.

例2已知定義在區(qū)間[1，4]上的函數(shù)f（x）是減函數(shù)，則滿足不等式f（1-2a）-f（3-a）gt;0的實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析：根據(jù)題意，合理變形并轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的不等式，結(jié)合“定義域優(yōu)先”原則，并借助抽象函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式組，通過不等式組的求解來確定參數(shù)的取值范圍.

解析：依題意，可得f（1-2a）gt;f（3-a）.

而函數(shù)f（x）在定義域[1，4]上單調(diào)遞減，則有1≤1-2a≤4，

1≤3-a≤4，

1-2alt;3-a，解得-1≤a≤0.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，0].

故填答案：[-1，0].

點(diǎn)評(píng)：依托抽象函數(shù)的單調(diào)性背景，結(jié)合函數(shù)的定義域及單調(diào)性的定義，構(gòu)建涉及參數(shù)的不等式（組），同時(shí)注意“定義域優(yōu)先”考慮原則，在此基礎(chǔ)上通過求解不等式（組）來確定參數(shù)值或取值范圍等.

3 大小關(guān)系的判定應(yīng)用

合理借助抽象函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合自變量之間大小關(guān)系的分析與確定，往往可以為一些涉及抽象函數(shù)的關(guān)系式的大小關(guān)系的判斷創(chuàng)造條件，實(shí)現(xiàn)抽象函數(shù)代數(shù)值的大小比較與判斷.

例3若函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是（）.

A.f（a）gt;f（2a）

B.f（a2）lt;f（a）

C.f（a2+a）lt;f（a）

D.f（a2+1）lt;f（a2）

分析：根據(jù)題意，要判斷各選項(xiàng)中涉及抽象函數(shù)的代數(shù)值的大小比較與判斷，關(guān)鍵在抽象函數(shù)所具有的減函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過自變量之間的大小關(guān)系，并結(jié)合減函數(shù)的性質(zhì)來分析與判斷.

解析：依題，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù).

而對(duì)于a∈R，有a2+1gt;a2成立，結(jié)合減函數(shù)的基本性質(zhì)，可得f（a2+1）lt;f（a2）.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：解決一些涉及抽象函數(shù)的關(guān)系式的大小關(guān)系的判斷與應(yīng)用問題，抓住不等號(hào)方向的“同增異減”（不等號(hào)方向相同時(shí)為增函數(shù)，不等號(hào)方向不同時(shí)為減函數(shù)）規(guī)律，結(jié)合自變量的大小關(guān)系判定，合理化歸與轉(zhuǎn)化，巧妙處理應(yīng)用.

4 最值（或取值范圍）的求解應(yīng)用

合理借助抽象函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，由此來確定相應(yīng)抽象函數(shù)在給定區(qū)間背景下的最大值與最小值問題.而在此場(chǎng)景下的最值（或取值范圍）的求解應(yīng)用問題，往往離不開抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，并結(jié)合單調(diào)性的定義與性質(zhì)來分析與處理.

例4已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)xlt;0時(shí)，f（x）lt;0，f（1）=3，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，2]上的最大值為，最小值為.

分析：根據(jù)題意，通過合理的賦值法應(yīng)用，判斷抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，為進(jìn)一步求解抽象函數(shù)在給定區(qū)間上的最值創(chuàng)造條件.這里抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，都要借助相應(yīng)的定義與基本性質(zhì)來分析與判斷.

解析：依題可知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立.

令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0.

令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，則有f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1lt;x2，則有x1-x2lt;0，結(jié)合當(dāng)xlt;0時(shí)，f（x）lt;0，可得f（x1-x2）lt;0，則f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）lt;0，則f（x1）lt;f（x2），所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則在區(qū)間[-4，2]上也必為增函數(shù)，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，2]上的最大值為f（2），最小值為f（-4）.

由f（1）=3，得f（2）=f（1）+f（1）=3+3=6，f（-4）=-f（4）=-[f（2）+f（2）]=-12，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，2]上的最大值為6，最小值為-12.

故填答案：6；-12.

點(diǎn)評(píng)：解決一些涉及抽象函數(shù)在給定區(qū)間上的最值或取值范圍的綜合應(yīng)用問題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)抽象函數(shù)的表達(dá)式，通過賦值法、定義法、性質(zhì)法等方式，巧妙判斷對(duì)應(yīng)抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，包括奇偶性與單調(diào)性，進(jìn)而使得問題更加簡(jiǎn)捷，別具一格，分析與處理起來更加有效、快捷.

基于抽象函數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景，往往可以從中確定其對(duì)應(yīng)的基本性質(zhì)，特別是函數(shù)的單調(diào)性，這對(duì)解決抽象函數(shù)中的單調(diào)性判斷、參數(shù)值的確定、大小關(guān)系的應(yīng)用以及最值（或取值范圍）的求解等方面都是非常有效的［2］.

涉及抽象函數(shù)問題中的單調(diào)性及其應(yīng)用，是依托單調(diào)性這一函數(shù)的重要基本性質(zhì)，巧妙融合進(jìn)抽象函數(shù)這一重要函數(shù)模型，用于解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的抽象函數(shù)問題的判定與證明、參數(shù)的確定、大小比較、求解函數(shù)值與最值，以及綜合應(yīng)用等問題，使得函數(shù)的綜合應(yīng)用更加抽象、綜合問題更具挑戰(zhàn)性，在一些創(chuàng)新場(chǎng)景有較大的用途，對(duì)于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都是非常有幫助的.

參考文獻(xiàn)：

［1］彭志強(qiáng)．抽象函數(shù)中的單調(diào)性問題［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（23）：4849．

［2］樂和順．問渠哪得清如許，為有源頭活水來——談抽象函數(shù)中的單調(diào)性應(yīng)用技巧［J］．中學(xué)生數(shù)理化（高一數(shù)學(xué)），2023（10）：1011．