函數(shù)模型應(yīng)用的“三個(gè)層次”

摘要：函數(shù)模型應(yīng)用是現(xiàn)實(shí)生活中比較常見的一類建模應(yīng)用.基于函數(shù)模型應(yīng)用的層次，從圖象變化，到給定模型，深入到構(gòu)建模型，層層遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)模型應(yīng)用的“三個(gè)層次”.本文中結(jié)合實(shí)例合理剖析，歸納總結(jié)解題技巧與步驟，夯實(shí)函數(shù)模型應(yīng)用的學(xué)習(xí)與研究.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；模型；圖象；指數(shù)；對(duì)數(shù)

在描述客觀世界變化規(guī)律中，函數(shù)是源于生活又高于生活的最常見且最基本的數(shù)學(xué)模型之一.數(shù)學(xué)建模中，函數(shù)模型及其應(yīng)用是其中最重要的一個(gè)基本應(yīng)用場(chǎng)景.本文中結(jié)合實(shí)例，通過典型類型與應(yīng)用，就函數(shù)模型的應(yīng)用加以分層理解與層層遞進(jìn)，突出函數(shù)模型的構(gòu)建與創(chuàng)新應(yīng)用，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“四基”與“四能”的落實(shí)與應(yīng)用.

1 借助函數(shù)圖象刻畫變化過程

函數(shù)模型應(yīng)用的第一個(gè)層次：借助函數(shù)圖象刻畫變化過程，通過現(xiàn)實(shí)生活中函數(shù)模型所對(duì)應(yīng)的圖象，合理刻畫數(shù)學(xué)模型的變化過程，借助函數(shù)圖象的直觀來分析與解決一些相應(yīng)的綜合與應(yīng)用問題.

例1（1）〔2023—2024學(xué)年廣東省梅州市大埔縣虎山中學(xué)高一（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（12月份）〕（多選題）某工廠8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t（單位：年）的函數(shù)關(guān)系如圖1所示，則以下四種說法正確的是（）.

A.前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快

B.前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢

C.第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)

D.第三年后產(chǎn)量保持不變

（2）〔2023—2024學(xué)年浙江省金華一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷〕某同學(xué)到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進(jìn)了a km，覺得有點(diǎn)兒累，休息后沿原路返回b km（blt;a）.想起“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的圖象大致為（）.

解析：（1）由題圖可得前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確.

而第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選答案：BC.

（2）第一個(gè)時(shí)間段，該同學(xué)騎車前進(jìn)，圖象為直線的形式，單調(diào)遞增.

第二段休息，此時(shí)距離起點(diǎn)的距離不變，休息期間s為常數(shù)，沒有發(fā)生變化.

第三段原路返回，此時(shí)距離減小，圖象單調(diào)遞減.

第四段調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，此時(shí)距離逐步增加，所以選項(xiàng)C中的圖象合適.

故選答案：C.

點(diǎn)評(píng)：借助函數(shù)圖象刻畫變化過程問題時(shí)，確定對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與實(shí)際應(yīng)用問題中的變化情況，以此來確定二者之間的吻合性，常見的基本方法有構(gòu)建函數(shù)模型法、驗(yàn)證法等.關(guān)鍵是從實(shí)際應(yīng)用問題中加以合理抽象，進(jìn)而構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型；或從相應(yīng)的函數(shù)模型中，以特殊的點(diǎn)、變化趨勢(shì)等情況加以確定，對(duì)比函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特征加以正確判斷，進(jìn)而巧妙驗(yàn)證與分析.

2 給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題

函數(shù)模型應(yīng)用的第二個(gè)層次：給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題，借助經(jīng)驗(yàn)主義，函數(shù)模型應(yīng)用中直接給出確定的函數(shù)模型，從中明確變量、系數(shù)、模型及規(guī)律等，借助相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息來分析與解決.

例2（1）（2024年四川省綿陽市高考數(shù)學(xué)二診試卷）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t" s后，在距釋放處x m的地方測(cè)得信息素濃度y滿足函數(shù)ln y=－12ln t－Ktx2+A（A，K為非零常數(shù)）.已知釋放1 s后，在距釋放處2 m的地方測(cè)得信息素濃度為a，則釋放信息素4 s后，信息素濃度為12a的位置距釋放處的距離為（）.

A.22 m B.2 m C.2 m D.4 m

（2）〔2023—2024學(xué)年江西省新余實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷〕某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1 000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)R（t）與天數(shù)t之間滿足關(guān)系式：R（t）=R0ekt，其中k為常數(shù)，t=0是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶超過30 000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.477 1）（）.

A.11B.12C.13D.14

解析：（1）由題知當(dāng)t=1，x=2時(shí)，y=a，代入ln y=－12ln t－Ktx2+A，得ln a=－4K+A.

當(dāng)t=4，y=12a時(shí)，ln a2=－12ln 4－K4x2+A，即ln a－ln 2=－ln 2－K4x2+A.而ln a=－4K+A，解得x=4或x=－4（舍去）.故選：D.

（2）根據(jù)題意可得R（0）=R0e0=100，

R（5）=R0e5k=1 000，解得R0=100，

k=ln 105，所以R（t）=100eln 105t.

由100eln 105tgt;30 000，可得tgt;5ln 300ln 10=5lg 300=5×（lg 3+2）≈12.39gt;12.

故教師用戶超過30 000名至少要13天.故選：C.

點(diǎn)評(píng)：解決有關(guān)給定函數(shù)模型場(chǎng)景下的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，基本的解題技巧、方式就是從實(shí)際應(yīng)用問題中明確相應(yīng)的變量與常量，合理分析基本的函數(shù)模型，尋找與之匹配的基本模型加以合理構(gòu)建，進(jìn)而深入分析函數(shù)模型，借助函數(shù)的基本性質(zhì)等來分析并解決相關(guān)問題.

3 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

函數(shù)模型應(yīng)用的第三個(gè)層次：構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題，借助問題場(chǎng)景與內(nèi)涵加以分析，“無中生有”，結(jié)合吻合現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的函數(shù)模型的構(gòu)建與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的預(yù)測(cè)與規(guī)律判斷等.

例3（1）〔2023—2024學(xué)年山東省青島二中高一（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（12月份）〕根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析并測(cè)算，2022年我國快遞行業(yè)中涉及貨物包裝而產(chǎn)生的垃圾大約為3 000萬噸，同時(shí)2023年相應(yīng)產(chǎn)生的垃圾的增長率約為50%.由此預(yù)測(cè)，根據(jù)這個(gè)變化趨勢(shì)，若不采取一些相應(yīng)的改進(jìn)措施等，未來快遞行業(yè)中涉及貨物包裝而產(chǎn)生的垃圾還將以此增長率不斷攀升，那么從年開始，快遞行業(yè)中涉及貨物包裝而產(chǎn)生的垃圾將超過30 000萬噸.（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1.）

（2）〔2024年重慶市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（2月份）〕如果光線每通過一塊相應(yīng)厚度的玻璃，其光線強(qiáng)度就要減少10%，那么至少需要塊這樣厚度的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度為原來的強(qiáng)度的12以下.（參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301.）

解析：（1）n年后產(chǎn)生的包裝垃圾為3 000×（1+50%）n.

由題知3 000×（1+50%）ngt;30 000，即32ngt;10，可得n（lg 3－lg 2）gt;1，即ngt;1lg 3－lg 2≈5.68.

所以n≥6且n∈N*，故從2028年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過30 000萬噸.

（2）設(shè)光線未通過玻璃時(shí)的強(qiáng)度為a，至少需要x塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度為原來的強(qiáng)度的12以下，則a·910xlt;a×12，即910xlt;12.

兩邊取對(duì)數(shù)，得x·lg910lt;lg12，則x（2lg 3－1）lt;－lg 2，即xgt;－lg 22lg 3－1=0.3011－2×0.477≈6.543.

由x≥1且x∈N，得x的最小值為7.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，要特別注意以下三點(diǎn).（1）根據(jù)增長率的實(shí)際情況，選擇與之對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型加以合理構(gòu)建；（2）利用題中數(shù)據(jù)信息，在所構(gòu)建的函數(shù)模型基礎(chǔ)上，確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)與變量，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)；（3）根據(jù)實(shí)際情況加以合理修正并改進(jìn)，以保證函數(shù)模型構(gòu)建的科學(xué)性與匹配性，能真正達(dá)到以特殊函數(shù)模型來解決實(shí)際問題的目的.

函數(shù)模型來源于現(xiàn)實(shí)，可用于解決實(shí)際問題.借助函數(shù)模型的圖象應(yīng)用、函數(shù)性質(zhì)及模型構(gòu)建等，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值.函數(shù)模型應(yīng)用問題的解決一直遵循“四步”策略：審題，建模，解模，還原.借助基本解題步驟，學(xué)生需要把握函數(shù)模型應(yīng)用的特點(diǎn)，從中體會(huì)函數(shù)模型的構(gòu)建過程與基本方法，以及實(shí)際情境中的函數(shù)應(yīng)用，由此逐漸學(xué)會(huì)學(xué)以致用的科學(xué)態(tài)度與鉆研精神.