基于二項式定理，挖掘展開式類型

摘要：二項式定理在近年高考數(shù)學試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，創(chuàng)新性強，運算量大，考查方式變化多端，命題形式多樣.而全面理解并掌握二項式定理及其相應的技巧方法，是解決問題的關(guān)鍵與基石.本文中結(jié)合實例，就二項式定理展開式中常見的幾種類型加以剖析，合理構(gòu)建知識網(wǎng)絡體系，歸納總結(jié)解題技巧與方法，指導數(shù)學學習與復習備考.

關(guān)鍵詞：二項式定理；展開式；常數(shù)項；系數(shù)；通項公式

二項式定理作為一個恒等式，是高中數(shù)學知識中比較獨特的一個基本知識點.在實際數(shù)學教學與學習的過程中，應認真挖掘二項式定理的來龍去脈及內(nèi)涵本質(zhì)，切實做好基礎(chǔ)知識與基本方法的梳理工作，借助精心配置的例題和習題，進行數(shù)學知識、思想方法和技巧、策略的訓練，促使真正理解并掌握二項式定理及其相關(guān)的基礎(chǔ)知識.本文中結(jié)合二項式定理中常見的展開式類型，借助典型實例加以合理剖析與應用，進而歸納總結(jié)解決二項式定理中不同展開式類型的基本思維方式與技巧、方法等，拋磚引玉.

1 （a+b）n（n∈N*）型

兩項型的二項式定理展開式類型，是二項式問題中最典型的一類基本題型，直接利用二項式定理展開式的通項公式來分析與應用即可達到目的.此類型的二項式定理展開式問題，往往是落實“四基”與“四能”的一個基本場景.

例1（1）二項式3x+12x8的展開式的常數(shù)項是（）.

A.4B.5C.6D.7

（2）（2023年高考數(shù)學天津卷）在2x3－1x6的展開式中，x2的系數(shù)是.

解析：（1）根據(jù)題意，變形得3x+12x8=x13+12x－18，則其通項公式為Tr+1=Cr8×（x13）8－r×12x－1r=12r×Cr8×x83－43r.

令83－43r=0，解得r=2.

所以展開式的常數(shù)項為

122×C28=14×8×72×1=7.

故選擇答案：D.

（2）由題意得，二項式的展開式的通項公式為Tk+1=Ck6（2x3）6－k－1xk=（－1）k×26－k×Ck6×x18－4k.

令18－4k=2，可得k=4.

所以x2的系數(shù)為（－1）4×26－4×C46=4×15=60.

故填答案：60.

點評：解決二項式定理場景下（a+b）n（n∈N*）型展開式中特定項問題時，解題的基本思維方式是寫出二項展開式的通項公式Tr+1=Crnan－rbr，根據(jù)所求特定項的性質(zhì)特征，建立對應的方程（組）或不等式（組）等，利用方程（組）或不等式（組）的求解來確定對應的參數(shù)r或n的取值情況與限制條件等，進而利用這二者均為自然數(shù)的特征來分析與應用，實現(xiàn)特征項問題的突破與求解.

2 （a+b）m（c+d）n（m，n∈N*）型

兩個兩項型的二項式定理展開式的乘積類型，是基于兩項型的二項式定理展開式類型的深入與拓展，在兩項型的基礎(chǔ)上加以深入探究與綜合應用.此類型的二項式定理展開式問題，往往是分類討論的一個重要陣地.

例2（1）（2024年廣東省揭陽市高考數(shù)學模擬試卷）在（x－1）2（1+x）6的展開式中，x4的系數(shù)是（）.

A.20B.－20C.10D.－10

（2）若x+mxx－1x5的展開式的常數(shù)項是10，則m=.

解析：（1）依題意，（x－1）2（1+x）6=x2（1+x）6－2x（1+x）6+（1+x）6.

二項式的展開式中含x4的項是x2C26x2×14－2xC36x3×13+C46x4×12.

所以，二項式的展開式中x4的系數(shù)是C26－2C36+C46=15－2×20+15=－10.

故選擇答案：D.

（2）依題，可得二項式x+mxx－1x5=xx－1x5+mxx－1x5.

二項式x－1x5的展開式的通項公式為Tr+1=Cr5x5－r－1xr=Cr5（－1）rx5－2r.

令5－2r=－1，解得r=3.

所以二項式xx－1x5的展開式的常數(shù)項為－C35=－10.

令5－2r=1，解得r=2.

所以二項式mxx－1x5的展開式的常數(shù)項為mC25=10m.

因為二項式x+mxx－1x5的展開式的常數(shù)項是10，所以10m－10=10，解得m=2.

故填答案：2.

點評：解決二項式定理場景下（a+b）m（c+d）n（m，n∈N*）型展開式中特定項問題的基本思維方式為有三種.（1）若m，n中有一個比較小，可考慮把它展開，如（a+b）2（c+d）n=（a2+2ab+b2）（c+d）n，然后分別求解；（2）觀察（a+b）（c+d）是否可以合并，例如（1+x）5（1－x）7=［（1+x）（1－x）］5（1－x）2=（1－x2）5（1－x）2；（3）分別得到（a+b）m，（c+d）n的通項，綜合考慮.特別注意的是要適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏.

3 （a+b+c）n（n∈N*）型

多項型（以三項型為主）的二項式定理展開式類型，是二項式定理的一種“升維”類比及綜合應用，借助因式分解、逐層展開及組合概念知識等來化歸與轉(zhuǎn)化.此類型的二項式定理展開式問題，往往是數(shù)學建模的一個重要場所.

例3在x+1x－25的展開式中，x2的系數(shù)為（）.

A.－50B.－120C.120D.50

解法一：分類討論法.

基本思路是把二項式x+1x－25轉(zhuǎn)化為二項式（x－2）+1x5求解.

根據(jù)題意，二項式x+1x－25可以化為（x－2）+1x5.

其對應的通項公式為Tr+1=Cr5（x－2）5－r51xr，r=0，1，2，3，4，5.

當r=0時，x2的系數(shù)為C05C35（－2）3.

當r=1時，x2的系數(shù)為C15C14（－2）1.

當r=2，3，4，5時，不會出現(xiàn)含x2的項.

所以x2的系數(shù)為C05C35（－2）3+C15C14（－2）1=－80－40=－120.

故選擇答案：B.

解法二：化歸轉(zhuǎn)化法.

基本思路是利用因式分解把二項式x+1x－25轉(zhuǎn)化為二項式（x－1）10x5求解.

根據(jù)題意，二項式x+1x－25可轉(zhuǎn)化為x2+1－2xx5=（x－1）10x5.

所以x2的系數(shù)即為二項式（x－1）10的展開式中x7的系數(shù)，則x2的系數(shù)為C310（－1）3=－120.

故選擇答案：B.

點評：解決二項式定理場景下（a+b+c）n（n∈N*）型展開式中特定項問題時，比較常見的基本思維方式就是問題中的解析方法，即因式分解法與化歸轉(zhuǎn)化法，其目的就是將復雜的三項形式利用因式分解法或化歸轉(zhuǎn)化法的形式，轉(zhuǎn)化為熟知的二項形式來分析與處理，實現(xiàn)復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化.其實，在實際解題過程中，還可以回歸計數(shù)原理的根本，從組合知識法入手，利用三項展開式可以看成n個因式的乘積問題，進而利用組合知識來突破與應用.

在二項式定理的教學與學習中，應認真落實定理的推導、性質(zhì)及應用等，看似簡單化的東西，蘊含著二項式定理及其應用的本質(zhì)所在.在此基礎(chǔ)上，巧妙熟記公式、會用公式等，做好解決二項式定理的基本方法的梳理工作，精心配置例題和習題，進行二項式定理的相關(guān)知識、方法和技巧的訓練，才能真正理解、掌握與應用二項式定理.同時，對學生數(shù)學思維的發(fā)展、數(shù)學能力的提升和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)等都是十分有益的.