例析解三角形與三角函數(shù)、幾何圖形及平面向量結(jié)合的三類 問題

解三角形與三角函數(shù)、幾何圖形及平面向量結(jié)合的試題，不僅能綜合考查學(xué)生對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用能力，還能促進(jìn)他們的綜合思維、問題解決能力及應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑之一.

1 知識(shí)點(diǎn)梳理

（1）兩角和與差的正弦、余弦與正切公式

①sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β；

②cos（α±β）=cos αcos βsin αsin β；

③tan（α±β）=tan α±tan β1tan αtan β.

（2）二倍角公式

①sin 2α=2sin αcos α；

②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；

③tan 2α=2tan α1-tan2α.

（3）降冪公式

sin αcos α=12sin 2α;

sin2α=1-cos 2α2;

cos2α=1+cos 2α2.

（4）輔助角公式

asin α+bcos α=a2+b2sin（α+φ）其中sin φ=ba2+b2，cos φ=aa2+b2，tan φ=ba.

（5）三角形角的關(guān)系

①△ABC中，A+B+C=π，A2+B2+C2=π2；

②sin（A+B）=sin（π-C）=sin C，

cos（A+B）=cos（π-C）=-cos C；

③sinA+B2=sinπ2-C2=cosC2，

cosA+B2=cosπ2-C2=sinC2.

2 解三角形與三角函數(shù)、幾何圖形及平面向量結(jié)合的三類問題2.1 解三角形與三角函數(shù)結(jié)合

解題路徑分析：仔細(xì)閱讀題目，確保理解題目所要求的內(nèi)容.識(shí)別問題中涉及的三角形和三角函數(shù)的相關(guān)概念；根據(jù)題目提供的信息，繪制出所涉及的三角形，確保按照題目給出的條件準(zhǔn)確繪制，這有助于更清晰地理解問題；利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，分析所給的條件與需要求解的未知量之間的關(guān)系.例如，利用正弦定理、余弦定理，以及正弦、余弦和正切等函數(shù)的定義來建立方程或者關(guān)系式，將所得到的方程或者關(guān)系式化簡，以便求解未知量.這可能涉及代數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)值的計(jì)算等.

例1已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）ωgt;0，-π2lt;φlt;π2的部分圖象如圖1所示.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（A）=3，b=2，且△ABC的面積為332，求a.

解析：（1）據(jù)圖象可得3T4=5π12--π3=3π4，故T=π.由T=2πω=π，得ω=2.由f5π12=2sin2×5π12+φ=2，得sin5π6+φ=1.由-π2lt;φlt;π2，得π3lt;5π6+φlt;4π3，則5π6+φ=π2，解得φ=-π3.

所以f（x）=2sin2x-π3.

（2）由f（A）=3，可得sin2A-π3=32.

由A∈0，π2，得2A-π3∈-π3，2π3，所以2A-π3=π3，則A=π3.由題意得△ABC的面積為12×2×c×sinπ3=332，解得c=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+32-2×2×3cosπ3=7，所以a=7.

2.2 解三角形與幾何圖形結(jié)合

解題路徑分析：解答解三角形與幾何圖形相結(jié)合類問題有兩個(gè)關(guān)鍵.（1）分析幾何關(guān)系.厘清題目中所涉及的三角形和幾何圖形的基本關(guān)系，包括確定角度、邊長、面積等幾何屬性之間的關(guān)系，可以利用相似性、對(duì)稱性等幾何性質(zhì)來簡化問題.（2）運(yùn)用三角函數(shù).根據(jù)題目要求，應(yīng)用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，建立與角度相關(guān)的方程或者關(guān)系式.這可能涉及正弦、余弦、正切等函數(shù).

例2如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB=33，AC=43，cos∠ABC=1313，∠BAC=∠CAD，△ACD的面積為243.求AD.

解析：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠ABC，即48=27+BC2-2×33×BC×1313，則13BC2-639BC-7×39=0，解得BC=39，所以cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=27+48-392×33×43=12.又因?yàn)椤螧AC∈（0，π），所以∠BAC=π3，所以∠CAD=∠BAC=π3.因?yàn)镾△ACD=12×AD×ACsin∠CAD=12×AD×43×32=243，解得AD=83.

2.3 解三角形與平面向量結(jié)合

解三角形與平面向量結(jié)合的常見題型共有7類，具體見表1.

解題路徑分析：確定向量表示.首先，根據(jù)題目給出的信息，確定三角形的頂點(diǎn)或者特殊點(diǎn)的向量表示.這可能涉及使用向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)來表示各邊對(duì)應(yīng)的向量或者從頂點(diǎn)到特殊點(diǎn)的向量.

運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何問題.在確定了向量表示后，通常要利用向量的加法、減法、數(shù)量積、向量積等運(yùn)算來解決具體的幾何問題.例如，通過向量的數(shù)量積計(jì)算角的關(guān)系，或者通過數(shù)量的數(shù)量積計(jì)算面積等.

利用向量證明或推導(dǎo)幾何關(guān)系.在解題過程中，有時(shí)候需要利用向量運(yùn)算來證明或者推導(dǎo)三角形的幾何關(guān)系，如證明三角形的某些線段平行或者相等，或者推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式等.

例3如圖3，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于交于點(diǎn)M，N.

（1）求BD·DC的值；

（2）若Q是BC的中點(diǎn)，求QM·QN的取值范圍；

（3）若P是平面上一點(diǎn)，且滿足2OP=λOB+（1-λ）OC，求PM·PN的最小值.

解析：（1）由題意，可得

BD·DC=（BC+CD）·DC=-CD2=-4.

（2）由在正方形ABCD中，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于交于點(diǎn)M，N，知點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，則QM·QN=（QO+OM）·（QO+ON）=QO2-OM2.由正方形ABCD的邊長為2，Q是BC的中點(diǎn)，知|QO|=1，1≤|OM|≤2則-1≤QM·QN≤0即QM·QN的取值范圍為-1，0.

（3）PM·PN=（PO+OM）·（PO+ON）=PO2-OM2.令OT=2OP，由OT=2OP=λOB+（1-λ）OC，可知點(diǎn)T在BC上，則|OT|≥1.從而|OP|≥12.因?yàn)?≤|OM|≤2，所以PM·PN=PO2-OM2≥14-2=-74，即PM·PN的最小值為-74.