溯源教材：基于關(guān)鍵能力培養(yǎng)的“圓錐曲線第三定義”復(fù)習(xí)課探究

圓錐曲線是高考考查的重點和熱點內(nèi)容，對數(shù)形結(jié)合、數(shù)理思維和推理運算等能力要求高，需要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化與化歸、圖形識別以及語言與數(shù)式形轉(zhuǎn)換等能力，在求解過程中要注意思維嚴(yán)密，以保證結(jié)果的完備性.近年來，以圓錐曲線第三定義為背景的高考題、模擬題頻繁出現(xiàn).這些題目通常以教材母題為“根”，以能力立意為“魂”，注重知識的交匯性、滲透性、探究性，展現(xiàn)了圓錐曲線第三定義內(nèi)涵與外延的“來龍去脈”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式和結(jié)論的結(jié)構(gòu)美與和諧美，已成為考查學(xué)生關(guān)鍵能力的重要載體.

1 教學(xué)探源

1.1 回歸教材

例1（人教A版選擇性必修第一冊第108頁例3）如圖1，設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

解析：設(shè)點M（x，y），則直線AM，BM的斜率分別為kAM=yx+5，kBM=yx-5（x≠±5）.由已知得kAM·kBM=yx+5×yx-5=-49（x≠±5），化簡得點M的軌跡方程為x225+y21009=1（x≠±5）.所以點M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點的橢圓.

學(xué)生在分析、討論的基礎(chǔ)上自主完成，教師適時提醒注意檢驗方程與曲線之間是否等價，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解橢圓的第一定義（距離和）、第二定義（距離比），掌握其標(biāo)準(zhǔn)方程，深化學(xué)生對求曲線方程的方法及橢圓幾何特征的再認(rèn)識，實現(xiàn)知識方法的內(nèi)化.

1.2 歸納探究

在例1的基礎(chǔ)上，分類研究兩定點在不同位置情形下圓錐曲線上任意一點與這兩定點連線的斜率之積是否為定值？

1.2.1" 探究一：兩定點是橢圓長軸的兩個端點

如圖2，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的長軸兩端點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1（是定值，其中e是橢圓的離心率，下同）.

1.2.2 探究二：兩定點是橢圓短軸的兩個端點

如圖3，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的短軸兩端點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

思考：長軸、短軸都是經(jīng)過橢圓中心的弦，此結(jié)論能否進(jìn)一步推廣？

1.2.3 探究三：兩定點關(guān)于橢圓對稱中心對稱

如圖4，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P在橢圓上，當(dāng)PA，PB的斜率都存在時，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

1.2.4 探究四：橢圓垂徑定理

如圖5，已知直線l與橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，O為坐標(biāo)原點，且kAB，kOM都存在，則有kAB·kOM=.

答案：kAB·kOM=-b2a2=e2-1.

1.2.5 歸類總結(jié)

如圖6，橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的任意一點P，當(dāng)kPA，kPB都存在時，總滿足kPA·kPB=-b2a2=e2-1，其中點A，B關(guān)于中心O對稱.當(dāng)橢圓變?yōu)閳A時e=0，kPA·kPB=-1，此時P′A′⊥P′B′，對應(yīng)著圓周角定理.

如圖7，在橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）中當(dāng)M為弦AB的中點時，總有kAB·kOM=-b2a2=e2-1.當(dāng)橢圓變?yōu)閳A時，e=0，kAB·kOM=-1，此時A′B′⊥O′M′，對應(yīng)著圓垂徑定理.

當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，類比上述探究，可得到如下結(jié)論：A，B是橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的長軸（或短軸）兩端點或是關(guān)于原點對稱的兩點，點P在橢圓上，當(dāng)PA，PB的斜率都存在時，總有kPA·kPB=-a2b2=1e2-1，是一個定值.2 拓展延伸

2.1 延申一：與兩定點連線的斜率之積為正數(shù)的點的軌跡

例2（人教A版選擇性必修第一冊第121頁探究）如圖8，點A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是49，試求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀，與例1比較有什么發(fā)現(xiàn)？

例2與例1的學(xué)習(xí)目標(biāo)相呼應(yīng)，既能強(qiáng)化對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求法的理解，又能引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法，將學(xué)習(xí)橢圓的方法正遷移到學(xué)習(xí)雙曲線的知識中，為后面統(tǒng)一認(rèn)識圓錐曲線第三定義埋下伏筆.這對于學(xué)生數(shù)學(xué)知識和思想方法的學(xué)習(xí)起到很好的指導(dǎo)與鞏固作用.

2.2 延申二：雙曲線中的周角定理和垂徑定理

如圖91，A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的實軸（或虛軸）兩端點或是關(guān)于原點對稱的兩點，P是C上異于A，B的任一點，當(dāng)kPA，kPB都存在時，則有kPA·kPB=b2a2=e2-1；如圖92，若雙曲線的方程為C：y2a2-x2b2=1（agt;0，bgt;0），則有kPA·kPB=a2b2=1e2-1.

如圖101，A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的實軸（或虛軸）兩端點或是關(guān)于原點對稱的兩點，P是AB的中點，當(dāng)kAB，kOP都存在時，則有kAB·kOP=b2a2=e2-1；如圖102，若雙曲線的方程為C：y2a2-x2b2=1（agt;0，bgt;0），則有kAB·kOP=a2b2=1e2-1.

2.3 延申三：拋物線中的相關(guān)結(jié)論

如圖111，A，B是拋物線C：y2=2px（pgt;0）上異于原點O的兩點，P（xP，yP）是AB的中點，當(dāng)kAB存在時，則有kAB·yP=p；如圖112，若拋物線的方程為C：x2=2py（pgt;0），則有pkAB=xP.

3 整合提升

3.1 教材整合：一組同質(zhì)練習(xí)群

練習(xí)1（人教A版選擇性必修第一冊第109頁練習(xí)第4題）已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？為什么？

練習(xí)2（人教A版選擇性必修第一冊第126頁練習(xí)第1題）已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-6，0），（6，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是29，求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

練習(xí)3（人教A版選擇性必修第一冊第139頁習(xí)題3.3第11題）已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡.

練習(xí)4（人教A版選擇性必修第一冊第145頁復(fù)習(xí)參考題3第9題）已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之和是2，求點M的軌跡方程.

練習(xí)5（人教A版選擇性必修第一冊第146頁復(fù)習(xí)參考題3第11題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），且直線AC，BC的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡.

教材安排這一組練習(xí)，就是為了鞏固求曲線方程的方法和步驟，引導(dǎo)學(xué)生通過自主推演、類比探究提煉出三類基本結(jié)論：一是“平面內(nèi)與兩定點連線的斜率之和、差、積、商為定值的動點的軌跡是二次曲線”；二是當(dāng)給定的兩點是圓錐曲線上關(guān)于中心對稱的點時，曲線上異于這兩點的點與這兩點的連線的斜率之積是一個常數(shù)；三是圓錐曲線中均存在著垂徑定理.

3.2 定形判斷：圓錐曲線第三定義

平面內(nèi)動點與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（或A1（0，-a），A2（0，a））的連線的斜率之積等于常數(shù)m=e2-1的點的軌跡為橢圓或雙曲線或圓（A，B兩點除外）.其中兩定點為橢圓或雙曲線的頂點，e是其離心率.當(dāng)0lt;elt;1時，為橢圓；當(dāng)egt;1時，為雙曲線；當(dāng)e=1時，為拋物線.常見形式如圖12所示.

3.3 統(tǒng)一形式：橢圓或雙曲線的周角定理

A，B是曲線C：x2m+y2n=1（mn≠0）上關(guān)于中心對稱的任意兩點，P是曲線C上異于A，B的任一點，且kPA，kPB都存在，則有kPA·kPB=-nm.

4 教學(xué)反思

4.1 注重教材本源，落實“三會”“四基”“四能”

高考命題以教材及課標(biāo)為依據(jù)，每道題在課標(biāo)中都能找到對應(yīng)的考點，從題目題意、描述、問題設(shè)置到解答過程，甚至包括字母順序、符號以及標(biāo)點等細(xì)節(jié)，都要能夠在教材處找到援引.新教材中涉獵許多拓廣探索問題，能很好體現(xiàn)新課標(biāo)理念的開放性和發(fā)展性，是具有一定的應(yīng)用性、探索性的教學(xué)資源.新教材也提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)、思想方法的融合互通，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體的理解.課標(biāo)各層級內(nèi)容都要覆蓋到高考試卷之中，因此，高考備考要圍繞課本主干知識主線，聚焦對重要概念、知識規(guī)律、思想方法的理解與應(yīng)用.回歸教材、研讀課標(biāo)、夯實基礎(chǔ)、強(qiáng)化三會是備考密鑰.

4.2 重視通性通法，強(qiáng)化“教考評”一體化

研究新課標(biāo)，鉆研新教材，由課堂的一個亮點生發(fā)成一種課堂理念.本節(jié)課從教材例題、習(xí)題出發(fā)，深入探究圓錐曲線第三定義、中點弦問題等微專題知識，以及點差法、韋達(dá)定理等思想方法，總結(jié)解析幾何中常見的二級結(jié)論，靈活應(yīng)用于高考選填題中，既能幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)，提高問題拓展、分析與解決能力，建構(gòu)單元知識網(wǎng)絡(luò)，又能幫助學(xué)生積累和完善基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)新品質(zhì).

4.3 融合課程思政，培育學(xué)科核心素養(yǎng)

從課本例題、習(xí)題出發(fā)，通過知識的學(xué)習(xí)、探究、拓展，培養(yǎng)學(xué)生完備、細(xì)致、全面的思維品質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)育人的德育價值[1].數(shù)學(xué)教學(xué)中融入課程思政，能養(yǎng)正學(xué)生家國情懷，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、人文品質(zhì)、藝術(shù)修養(yǎng)和實踐能力.數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維、科學(xué)精神和創(chuàng)新能力的重要學(xué)科，給學(xué)生的合作探究學(xué)習(xí)提供了更大思考維數(shù)和自由度，讓學(xué)生在正確思想觀念和科學(xué)知識方法的引領(lǐng)下，在開放的綜合情境中創(chuàng)造性地解決問題，再形成創(chuàng)造性的結(jié)果，體悟數(shù)學(xué)美的神韻、思的藝術(shù)和辨的能力[2].

4.4 發(fā)展理性思維，鍛造終身學(xué)習(xí)能力

學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的核心就是具有好奇心、專注力、問題解決力、堅持力、合作力、溝通力等學(xué)習(xí)品質(zhì).通過揭示學(xué)習(xí)的本質(zhì)、元認(rèn)知和腦機(jī)制基礎(chǔ)，重視情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)；開展跨數(shù)學(xué)實驗實踐與項目化學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)以致用的能力；優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，開展自主學(xué)習(xí)和小組合作，重視課堂質(zhì)疑與展示交流；強(qiáng)化技術(shù)融合，借助人工智能與大數(shù)據(jù)開展差異化教學(xué)，實現(xiàn)個性化發(fā)展；推進(jìn)激勵評價，營造支持性、挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵從不同角度思考問題，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思維、提升學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]孔祥士.用數(shù)學(xué)思想方法支撐高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（24）：3738.

[2]馮愛龍.探析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的德育融合[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（19）：35.