對一道三角函數(shù)“陳題”的解法思考

摘要：文章對一道三角函數(shù)“陳題”的慣有解法提出了質(zhì)疑，給出了修改建議，提供了兩種更加直觀的解答，并指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要有質(zhì)疑精神，要培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，要注重課本概念的深度理解．

關(guān)鍵詞：陳題；嚴(yán)謹(jǐn)性；隱含條件；數(shù)學(xué)概念

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)，思維嚴(yán)謹(jǐn)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最基本的要求．在平時(shí)的解題中，我們要努力做到思維嚴(yán)謹(jǐn)，不斷提升思維品質(zhì)．筆者發(fā)現(xiàn)有一類“已知條件中給出函數(shù)y=Asin （ωx+φ）+k的某些性質(zhì)，求ω的范圍”這樣的三角函數(shù)試題，倍受青睞，頻繁出現(xiàn)在高考和各類教輔資料中.學(xué)生對這類試題往往心存畏懼，而這些參考資料給出的解答缺乏關(guān)鍵環(huán)節(jié)的分析，思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，無益于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣．

1 試題及疑惑

題目已知ωgt;0，函數(shù)f（x）=sin ωx+π4在 π2，π上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（）.

A.12，54B.12，34C.0，12D.（0，2）

這是一道比較經(jīng)典的試題，學(xué)生面對這樣的試題一般會想到從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，采用換元法，結(jié)合內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系，構(gòu)建不等關(guān)系，難點(diǎn)在于得到不等關(guān)系后不知如何進(jìn)一步求解，解題陷入困境.這正如某些教輔資料上給出的解答一樣，關(guān)鍵地方走了過場，讓學(xué)生困惑不已，比如《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)筆記》第35頁給出了如下解答：

解：由π2＜x＜π，ωgt;0，得ωπ2+π4＜ωx+π4＜ωπ+π4.因?yàn)閥=sin x在π2，3π2上單調(diào)遞減，則

ωπ2+π4≥2kπ+π2，

ωπ+π4≤2kπ+32π.①

顯然，

ωπ2+π4≥π2，

ωπ+π4≤32π.②

解得12≤ω≤54.故選：A.

疑惑：“式子②”是“式子①”在k=0時(shí)的特殊情形，為什么是k=0才符合題意呢，參考答案沒有說明，課堂上很多老師也都一帶而過，讓學(xué)生一頭霧水．2 釋疑及解法改進(jìn)

解法1：（上述解法的改進(jìn)）根據(jù)①可以解得ω≥4k+12，

ω≤2k+54.由ωgt;0知，必有2k+54gt;0，即kgt;－58；另一方面2k+54gt;4k+12，則k≤38.

所以－58＜k≤38，由k∈Z得k=0.

所以ω≥12，

ω≤54，即12≤ω≤54．

可見，上述教輔書的解答不能“服眾”的原因在于隱含條件的挖掘不夠.當(dāng)然，這正好也是學(xué)生學(xué)習(xí)的軟肋.

事實(shí)上，如果能從圖象直觀出發(fā)，抓住ω對圖象形狀的影響，還可以有如下兩種直觀的解法：

解法2：將y=sin x的圖象向左平移π4個(gè)單位長度后，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍（縱坐標(biāo)不變）即得f（x）=sin ωx+π4的圖象.由f（x）在π2，π上單調(diào)遞減，知區(qū)間π2，π的長度不會超過半個(gè)周期，則12T≥π－π2，即T≥π，所以0＜ω≤2，于是5π4ω≥5π8gt;π2，則π2，ππ4ω，5π4ω，所以π4ω≤π2，

5π4ω≥π.解得12≤ω≤54．

解法3：首先y=sin x在［0，2π］上的圖象過的五個(gè)基本點(diǎn)是（0，0），π2，1，（π，0），32π，－1，（2π，0），將圖象向左平移π4個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=sin x+π4，這五個(gè)點(diǎn)依次為－π4，0，π4，1，3π4，0，5π4，－1，7π4，0.

接下來由y=sin x+π4的圖象進(jìn)行伸縮變換得y=sinωx+π4，圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸縮為原來的1ω倍（縱坐標(biāo)不變），則這五個(gè)點(diǎn)依次為－π4ω，0，π4ω，1，3π4ω，0，5π4ω，－1，7π4ω，0.

①若ω=1，則y=sin x+π4，函數(shù)在π2，π上單調(diào)遞減是顯然的；

②若ωgt;1，圖象的變換效果是沿著水平方向壓縮，此時(shí)若函數(shù)在π2，π上遞減，當(dāng)且僅當(dāng)π≤5π4ω，即ω≤54，故1＜ω≤54；

③若0＜ω＜1，圖象的變換效果是沿著水平方向拉伸，此時(shí)若函數(shù)在π2，π上遞減，當(dāng)且僅當(dāng)π4ω≤π2，即12≤ω＜1.

綜上，12≤ω≤54．

點(diǎn)評：常規(guī)的解法1形式上是機(jī)械地“套公式”，解題的過程并未加深學(xué)生對ω的理解，學(xué)生受益最多的可能是運(yùn)算求解能力；解法2和解法3則不同，解法2的巧妙之處在于當(dāng)ωgt;0時(shí)，伸縮變換前后，單調(diào)區(qū)間的屬性不變，即遞增區(qū)間還是遞增區(qū)間，遞減區(qū)間還是遞減區(qū)間；解法3的巧妙之處在于抓住函數(shù)在某個(gè)區(qū)間單調(diào)的本質(zhì)是在該區(qū)間內(nèi)函數(shù)取不到極值，從極值點(diǎn)的位置分析問題.

3 高考鏈接

一滴水雖小，但能折射出太陽的光輝，以上雖然只談及了一道題的解法，但其實(shí)在高考中也有一些類似的試題，如果抓住數(shù)學(xué)概念和幾何直觀，往往也能得到較為簡單的解答.如下面一道經(jīng)典高考壓軸選擇題，有興趣的讀者可以解一下.

已知函數(shù)f（x）=sin （ωx+φ）ωgt;0，|φ|≤π2，x=－π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為f（x）的對稱軸，若f（x）在π18，5π36上單調(diào)，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

簡解：由題意分析知函數(shù)的對稱軸形如x=π4+k·πω，k∈Z，函數(shù)在區(qū)間π18，5π36上單調(diào)的意思是在該區(qū)間不存在對稱軸，于是，可以依次對四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行檢驗(yàn).當(dāng)ω=11時(shí)，由π18＜π4+k·π11＜5π36，解得－7736＜k＜－4436.

顯然k=－2，區(qū)間內(nèi)有對稱軸，不符合題意，舍去.

當(dāng)ω=9，π18＜π4+k·π9＜5π36，解得－74＜k＜－1，在該區(qū)間內(nèi)無整數(shù)，符合題意.故選：B.

筆者見過很多分析解答此題的文章，唯有這種解法清新自然，真正體現(xiàn)了幾何直觀的優(yōu)勢，我想這應(yīng)該是命題人的初心.

4 解題感悟

4.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要有質(zhì)疑精神

我國古代思想家孔子說：“疑是思之始，學(xué)之端.”這句話是說一個(gè)人要有質(zhì)疑精神，懂得疑才能真正學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí).在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)“學(xué)而有疑”的精神就是要帶著疑問的動機(jī)去學(xué)習(xí)，這樣才有利于在學(xué)習(xí)中達(dá)到鉆研的目的，并收獲獨(dú)到的見解．宋代的朱熹曾說：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進(jìn)．”本文中的例子及教輔書上給出的解答思維明顯不夠嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生盡管看不太懂，卻鮮有人提出質(zhì)疑，才讓這樣的解答在眾多資料書中存在多年，至今沒有完善．

4.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)則，做到概念清晰、判斷正確、推理有據(jù)，不斷提升自身思維活動的嚴(yán)謹(jǐn)和縝密程度．要提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，首先要準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理的含義.學(xué)生的理解程度常常體現(xiàn)在他們自身的語言表述中，學(xué)習(xí)時(shí)要注意定義、公式、法則、定理中的一些關(guān)鍵性詞語，使之精確化，并學(xué)會用符號語言正確表述.其次，訓(xùn)練嚴(yán)密推理，推理有據(jù)是思維嚴(yán)謹(jǐn)性的核心要求，努力做到推理的每一步都有根據(jù)，符合邏輯要求．

4.3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注重概念的深度理解

遵循教育規(guī)律，注重考查對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法的深刻理解，引導(dǎo)學(xué)生要知其然，更知其所以然，學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟.教學(xué)要把精力放在講透課程重點(diǎn)內(nèi)容上，強(qiáng)調(diào)在深刻理解的基礎(chǔ)上的融會貫通、靈活運(yùn)用，把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的高考命題改革精神.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，就是不斷的建立各種數(shù)學(xué)概念的過程．”由此可見，學(xué)好數(shù)學(xué)概念是何等重要，概念是數(shù)學(xué)的基石，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵一環(huán)，學(xué)生能夠自覺從概念出發(fā)解題往往是數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的體現(xiàn)．本文中給出的解法3，就是從課本基本概念出發(fā)，在深入理解ω對圖象變化影響的基礎(chǔ)上給出的，這種植根于課本概念的解法，能增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，關(guān)注到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．