知識網(wǎng)絡(luò)視角下的高效復(fù)習(xí)課建構(gòu)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強調(diào)，單元復(fù)習(xí)課不僅是知識的鞏固，更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升過程.教師應(yīng)通過系統(tǒng)化的知識梳理、重點難點突破、綜合能力培養(yǎng)以及個性化輔導(dǎo)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，提升數(shù)學(xué)思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)＼[1＼].“空間直線與平面”是滬教版必修第三冊第10章的內(nèi)容，通過本章學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生認(rèn)識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系，能夠用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的判定與性質(zhì)定理，掌握空間角與距離的求法，并對某些結(jié)論進行論證，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.本節(jié)課對整章知識進行梳理，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，方法層層遞進，思維螺旋式上升，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

1 復(fù)習(xí)基礎(chǔ)、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)——空間問題降維化歸平面問題

例1如圖1所示，在棱長為2正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別為BC，B1B，AC，B1C1的中點.

（1）直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系為（）.

A.平行、平行

B.異面、平行

C平行、相交

D.異面、相交

師：請一位同學(xué)回答第（1）題，并說明理由.

生：選擇B選項.利用異面直線判定定理來證明直線MN與直線EF是異面直線，若取AB的中點H，連接B1H，則知MN∥B1H，由直線與平面面平行的判定定理即可證明MN∥平面ABB1A1.

師：非常好，通過線線平行推出線面平行，體現(xiàn)了將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何的解題思路，這也是立體幾何解決問題的核心思想方法.接下來我們求異面直線MN與EF所成的角，看第（2）題.

（2）求直線MN與直線EF所成角的大小.

生：通過平移的方法將異面直線轉(zhuǎn)化為共面直線，取CC1的中點G，連接GN，B1C，因為GN∥B1C，又EF∥B1C，所以GN∥EF，則∠MNG為異面直線MN與EF所成的角（或其補角）.在△MNG中，利用余弦定理可解得異面直線所成角大小為arccos105.

師：異面直線所成的角的取值范圍是什么？本題利用余弦定理求角需要注意什么？

生：異面直線所成角的范圍是0，π2，利用余弦定理如果求得余弦值為負(fù)值就要取其補角.

師：很好！下面研究兩個平面的位置關(guān)系，看第（3）題.

（3）平面MNE與平面ABB1A1是何種位置關(guān)系？

生：兩個平面平行.因為NE∥BB1，所以NE∥平面ABB1A1，又MN∥平面ABB1A1，MN∩NE=N，由兩個平面平行的判定定理即可證明結(jié)論.

（4）試著畫出過A1，E，F(xiàn)三點的截面.

師：在解決平行問題時要注意線線平行、線面平行、面面平行之間的相互轉(zhuǎn)化.下面利用已有知識來畫出（4）中的截面，同學(xué)們先思考一下畫截面的方法.

生：畫截面需要將同一個面的兩個點連接起來，先連接A1F，F(xiàn)E，截面是一個多邊形，多邊形的邊一定在正方體的表面上，頂點一定在正方體的棱上，其他面上的點還沒找到.

師：平面AA1D1D∥平面BB1C1C，則所求截面與這兩個面的交線一定不相交，那是什么關(guān)系呢？

生：兩交線是平行的.連接A1D，易知EF∥B1C，B1C∥A1D，則EF∥A1D，所以EF與A1D共面，故四邊形A1FED就是所求截面，如圖2.

師：非常好，當(dāng)找不到棱上的交點時可以利用面面平行得到找截面的一種方法.接下來研究垂直的問題，看問題（5）.

（5）如圖3，取A1B的中點P，證明：平面APE⊥平面A1BC.

生：因為AP⊥A1B，AP⊥BC，又A1B∩BC=B，由直線與平面垂直的判定定理可知AP⊥平面A1BC.又AP平面APE，所以平面APE⊥平面A1BC.

師：很好！本題體現(xiàn)了線線垂直、線面垂直、面面垂直的邏輯關(guān)系，也體現(xiàn)了空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法.有垂直關(guān)系就會出現(xiàn)距離度量，下面來求解點到平面的距離，并請同學(xué)回答問題.

（6）點A到平面A1DB上的距離是，直線AA1與平面A1DB所成的角大小為.

生：如圖4，當(dāng)直線AQ⊥平面A1DB時，線段AQ最短.此時AQ就是點Q到平面A1DB的距離.

師：很好，大家思考一下求點到平面距離的方法有哪些？

生：常用方法有定義法、等積法、空間向量法.我覺得本題是填空題那就用定義法.因為三棱錐AA1DB是正三棱錐，又知正方體中AQ=13AC1，所以很容易就得到AQ=233.

師：很好，利用已知結(jié)論快速得到了答案.如果本題是大題，還需補充線面垂直的說理過程，那么用哪種方法更有優(yōu)勢呢？

生：等積法.因為這種方法計算量較小，由VAA1DB=VA1ABD，得13S△A1DB·AQ=13S△ABD·A1A，就很容易求出線段AQ的長度了.

師：根據(jù)已知條件選擇合適的方法求解點到平面的距離，能夠事半功倍.繼續(xù)看第（6）題的第二問.大家共同思考，如何找出線面角？

生：平面的斜線與其在平面上的射影所成的角，就是這條斜線與平面所成的角.

師：本質(zhì)上就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，對于平面中的角，說說你是如何求解的？

生：因為AQ⊥平面A1DB，所以A1Q是A1A在平面A1DB上的射影，所以∠AA1Q即為直線AA1與平面A1DB所成的角，易求得∠AA1P=arcsin33.

師：可以看出，最關(guān)鍵的是找平面的垂線，就很容易找到斜線的射影了，最終將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來解決.下面我們繼續(xù)看第（7）題，思考一下求二面角的方法有哪些？

（7）如圖5，截面A1DB與底面ABCD所成銳二面角A1BDA的正切值為.

生：求二面角常用的方法有三種，即定義法、三垂線定理法、射影面積法.我覺得本題用定義法就可以求解.取BD中點O，易知AO⊥BD，A1O⊥BD，所以∠A1OA即為二面角A1BDA的平面角.在Rt△A1OA中，易求得tan∠A1OA=2.

師：很好，用三垂線定理法可以求嗎？

生：可以.因為AA1⊥平面ABCD，AO⊥BD，由三垂線定理得A1O⊥BD，所以∠A1OA即為二面角的平面角，后面就是一樣的解題思路了.

師：非常好！因為是填空題，所以該題也可以用射影面積法，這個方法也是基于垂線，S△A1BD的射影面積為S△ABD，則cos∠A1OA=S△ABDS△A1BD，再轉(zhuǎn)化為正切值.求二面角用得較多的方法還是三垂線定理法，定義法有局限性，射影面積法要證明，所以同學(xué)們要抓住通法.

師：通過正方體模型，判定空間中直線與平面的位置關(guān)系及其性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從位置關(guān)系的判定和空間角與距離的度量兩個方面來構(gòu)建解決立體幾何問題的主要方法.

空間位置關(guān)系基本知識如圖6所示：

度量關(guān)系基本方法如圖7所示：

教學(xué)說明：利用正方體模型，從定性和定量兩個方面復(fù)習(xí)線線、線面、面面的位置關(guān)系，依托正方體將平行、垂直、角與距離等的邏輯推理與度量計算的方法落實到位，能夠根據(jù)已知問題尋求適當(dāng)?shù)耐评矸椒?，深刻體會立體幾何的核心思想是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來處理，幫助學(xué)生構(gòu)建解決立體幾何問題的整體思維框架.

2 突破難點、能力躍遷——動中尋靜把握變量與不變量動態(tài)立體幾何學(xué)問題涉及到元素的運動，在運動過程中常會伴隨某些幾何量的變化，從而引發(fā)對這些幾何量變化最值和范圍的探究，這就是動態(tài)立體幾何的最值或范圍問題形成的原因＼[2＼].將靜態(tài)幾何與動態(tài)幾何問題相結(jié)合，抓住解決此類問題的本質(zhì)，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

例2如圖8所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點P為DC1的中點，PM⊥DC交DC于點M，MN⊥AC交AC于點N.

（1）求直線C1C到平面PMN的距離；

（2）求直線AD1與平面PMN所成的角.

解：（1）因為PM∥CC1，PM平面PMN，C1C在平面PMN外，所以直線C1C∥平面PMN，則直線C1C到平面PMN的距離即為點C到平面PMN的距離.因為PM∥CC1，所以PM⊥平面ABCD，又CN平面ABCD，所以PM⊥CN.又MN⊥CN，PM∩MN=M，所以CN⊥平面PMN，則CN即為點C到平面PMN的距離.因為點P為DC1的中點，可得PM=1，而點M是CD的中點，易知MN=22，∠MCN=45°，則NC=MN=22，所以點C到平面PMN的距離22.

所以直線C1C到平面PMN的距離為22.

（2）取AC中點O，連接OP，OP是△AD1C的中位線，所以O(shè)P∥AD1，則直線AD1與平面PMN所成的角即直線OP與平面PMN所成的角.由（1）知CN⊥平面PMN，則直線NP是直線OP在平面PMN上的投影，所以∠OPN即為所求.因為NC=22，所以O(shè)N=OC-NC=2-22=22.又PN=62，所以tan∠OPN=ONPN=33.

故直線AD1與平面PMN所成的角π6.

例3如圖9，已知矩形ABCD，點E為CD的中點，AB=2，AD=1.如圖10，沿AE將△ADE折起，使得平面AED⊥平面ABCE.

（1）求證：BE⊥AD.

（2）求證：平面BDE⊥平面ADE.

（3）線段CD上是否存在一點P，使得AD∥平面BEP？若存在，求出DPPC的值；若不存在，請說明理由.

師：本題是將平面圖形翻折為立體圖形，在翻折的過程中，哪些位置關(guān)系是不變的呢？

生：矩形中的AD⊥DE，EC⊥CB，AB⊥BC不變，還有邊長也不變.

師：很好，哪位同學(xué)能說一下證明直線與直線垂直的常用方法有哪些？對于本題第（1）問，選擇哪種方法？

生：常用的證法有勾股定理、求兩條直線所成的角、線面垂直、三垂線定理.我是通過線面垂直來證明的.依題意可知，BE=AE=2，AB=2，則由勾股定理可知AE⊥BE.取AE的中點F，由AD=DE，可知DF⊥AE.又平面AED⊥平面ABCE，平面AED∩平面ABCE=AE，所以DF⊥平面ABCE.又BE平面ABCE，所以DF⊥BE.又DF∩AE=F，所以BE⊥平面ADE.又AD平面ADE，所以BE⊥AD.

師：在（1）的基礎(chǔ)上，能否快速得到第（2）問的證明呢？

生：利用平面與平面面垂直的判定定理可以直接證明.由（1）中已證BE⊥平面ADE，又BE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ADE.

師：對于第（3）問思考一下，是否存在滿足題意的點P？并試著說出你的推理過程.

生：我是通過結(jié)果尋找命題成立的必要條件，發(fā)現(xiàn)存在點P，當(dāng)DPPC=2時，AD∥平面BEP.連接AC交BE于點G，由CE∶AB=1∶2，知CG∶GA=1∶2.當(dāng)DPPC=AGGC=2時，AD∥PG，又PG平面BEP，AD平面BEP，所以AD∥平面BEP，故P是DC上靠近點C的三等分點.

師：很好，你用的是執(zhí)果索因的方法，尋求必要條件再進行充分性的證明，這個方法是解決存在性問題的本質(zhì)方法.還有其他的方法嗎？

生：還可以利用空間向量法，算出點P的位置.

師：空間向量降低了幾何推理的難度，將幾何問題代數(shù)化，算出結(jié)果.如果有些題目中點的位置較為明顯，還可以通過先猜位置再證明的方法得到結(jié)論.下面大家一起來完成變式.

變式如圖11所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為2，M，N，P1分別是CC1，AB，BB1的中點.

（1）若E為矩形ABB1A1內(nèi)的動點，使得ME∥平面CNP，指出點E的位置；

（2）求ME的最小值.

師：例3是一個點的存在性問題，本題是將所有符合條件的點都要找出來，實際上就是求點的軌跡的問題.大家思考一下，請一位同學(xué)試著說說思路.

生：動直線始終與平面是平行的，實際上就是動直線ME形成一個平面，得到面面平行.下面判斷點E所在的位置.

因為M，P分別是C1C，B1B的中點，所以B1M∥CP.又B1M平面CNP，PC平面CNP，所以B1M∥平面CNP.同理AB1∥平面CNP.又AB1∩B1M=M，所以平面AB1M∥平面CNP.

若ME∥平面CNP，則ME平面CNP.

又點E在平面ABB1A1內(nèi)，所以點E在平面CNP與平面ABB1A1的交線上.所以點E的軌跡是線段AB1.

師：非常好，通過面面平行的性質(zhì)定理，找到符合條件的動點軌跡，也是執(zhí)果索因的探究思路.那么點E在動的過程中，ME何時最小呢？

生：ME的最小值即為點M到線段AB1的距離.

師：很好，如何求出這個距離呢？

生：因為△AB1M三邊長都可以算出來，且它是一般三角形，所以要利用余弦定理求解.

對于第（2）問，當(dāng)ME取最小時，即為點M到線段AB1的距離h.因為MB1=5，AB1=22，MA=3，由余弦定理得cos∠AB1M=B1A2+B1M2-AM22B1A·B1M=1010，則sin∠AB1M=31010，由等面積法可知h=MB1·sin∠AB1M=322，即ME的最小值322.

師：很好，求點到直線的距離是平面問題，因此可利用解三角形的理論來求解最小距離.本題給我們的啟發(fā)就是在變化的過程中要找到不變的量.將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的圖形是解決此類問題的關(guān)鍵.

教學(xué)說明：例2通過一個熟悉的正方體模型鞏固距離和角的推理運算，例3利用平面圖形的翻折來研究一個探索性問題，變式題通過空間中靜態(tài)的線面位置關(guān)系抽象出動點的軌跡，將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的圖形，探尋最值的位置，提升學(xué)生的邏輯推理能力.通過將平面圖形翻折為空間立體圖形，在不同狀態(tài)下研究圖形中的變量與不變量，再將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，列出相關(guān)的方程進行求解，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

3 提煉總結(jié)、發(fā)展素養(yǎng)——思想策略揭示幾何本質(zhì)小結(jié)：師生共同完成.

（1）知識內(nèi)容

基本知識：線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系的判定與性質(zhì)；空間中的角與距離的度量問題.

進階知識：將平面圖形翻折為立體圖形；存在性問題的探究.

（2）思想方法

立體幾何證明與度量問題：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；

存在性問題：先猜后證，即觀察—猜想—證明；執(zhí)果索因，即通過命題成立的必要條件來探索出命題成立的充分條件再進行證明；空間向量法，即幾何問題代數(shù)化.

（3）核心素養(yǎng)

邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng).

最后，我們用一首詩來結(jié)束本節(jié)課：

立體幾何貌似難，空間終將化平面.

證明線面相互推，計算需要三角形.

基本模型心牢記，復(fù)雜問題先化簡.

二維擴展到三維，昂首挺胸看世界！

4 精煉作業(yè)、鞏固內(nèi)化——精準(zhǔn)訓(xùn)練促成遷移應(yīng)用

（1）如圖12，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段DD1上的動點（包含端點），設(shè)直線BE與AD所成角為θ，則cos θ的取值范圍是_____.

（2）從點P出發(fā)引三條射線PA，PB，PC，每兩條的夾角都是60°，則二面角BPAC的余弦值是.

（3）如圖13，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，已知E是AB的中點，點F在CC1上，且CF=2FC1，P是側(cè)面AA1D1D（包括邊界）上的動點，且PB1∥平面DEF，則tan∠ABP的取值范圍是.

（4）如圖14，正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如圖15.

①求證：直線AB∥平面DEF.

②求二面角EDFC的余弦值.

③在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？若存在，請求出點P的位置；若不存在，請說明理由.

答案：（1）33，22.（2）13.（3）13，133.

掃碼看課堂實錄（4）①證明略；②217；③存在，點P為靠近B的三等分點.

（掃碼看課堂實錄）

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王秋萍，林國夫.動態(tài)立體幾何中的最值問題探析[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（9）：1721.