2024年上海高考第21題的探究

1 題目

（2024年上海第21題）對于一個函數(shù)f（x）和一個點(diǎn)M（a，b），令s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，若P（x0，f（x0））是s（x）取到最小值的點(diǎn)，則稱P是M在f（x）的“最近點(diǎn)”.

（1）對于f（x）=1x（xgt;0），求證：對于點(diǎn)M（0，0），存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是M在f（x）的“最近點(diǎn)”.

（2）對于f（x）=ex，M（1，0），請判斷是否存在一個點(diǎn)P，它是M在f（x）的“最近點(diǎn)”，且直線MP與y=f（x）在點(diǎn)P處的切線垂直.

（3）已知函數(shù)y=f（x）在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），且函數(shù)g（x）在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)M1（t-1，f（t）-g（t）），M2（t+1，f（t）+g（t））.若對任意的t∈R，存在點(diǎn)P同時是M1，M2在f（x）的“最近點(diǎn)”，試判斷f（x）的單調(diào)性.

2 題目評析

本題為函數(shù)新定義問題，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具求函數(shù)極值、最值，表示切線斜率和解決函數(shù)單調(diào)性問題的能力，題目蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸思想、從特殊到一般的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)的考查.題目設(shè)置由特殊到一般，層層遞進(jìn).

第一問是在給出f（x）的具體解析式的條件下求“最近點(diǎn)”問題，考查學(xué)生對于新定義的演繹能力，實(shí)際考查對于某個具體函數(shù)求最值的過程.對學(xué)生理解新概念有一定的要求.

第二問同樣給出了f（x）的具體解析式，與第一問類似的是同樣也要求“最近點(diǎn)”，同時要探究最近點(diǎn)處的幾何特征，即直線MP與y=f（x）在點(diǎn)P處的切線垂直.考查學(xué)生對切線斜率幾何意義的理解和應(yīng)用.

第三問與前兩問不同，并沒有給出f（x）的具體解析式，僅僅說明f（x）在R上可導(dǎo)，定義新的一組M1，M2，對任意新定義的兩點(diǎn)均有同一個“最近點(diǎn)”，要求判斷函數(shù)的單調(diào)性.本問中并不知道函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)可導(dǎo)，暗示學(xué)生導(dǎo)數(shù)的另一個應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性.第三問是在前兩問基礎(chǔ)上對函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步研究，同時第二問中也給出了第三問解答的某些暗示.考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)作為工具的多方面應(yīng)用能力，包括求極值與最值、切線斜率的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性.同時體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想.

3 試題解析

（1）將f（x）=1x（xgt;0）以及M（0，0）代入s（x）可得s（x）=x2+1x2，由基本不等式可得s（x）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立，此時，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）.

（2）將f（x）=ex以及M（1，0）代入s（x）可得s（x）=（x-1）2+e2x.

先利用導(dǎo)數(shù)求出“最近點(diǎn)”.易得

s′（x）=2x-2+2e2x，

s″（x）=2+4e2x.

注意到s″（x）gt;0，則s′（x）單調(diào)遞增.當(dāng)xlt;0時，s′（x）lt;0，s（x）單調(diào)遞減，當(dāng)xgt;0時，s′（x）gt;0，s（x）單調(diào)遞增.所以s（0）為函數(shù)s（x）最小值.此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），它為M在f（x）的“最近點(diǎn)”.

由f′（x）=ex，得f′（0）=1，即y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率k=1.

而直線MP斜率為kMP=yM-yPxM-xP=0-11-0=-1，則k＼5kMP=-1，故直線MP與y=f（x）在點(diǎn)P處的切線垂直.

第（3）問解法的思維導(dǎo)圖如圖1所示.

第（3）問的解析如下：

方法1：數(shù)形結(jié)合，循序漸進(jìn).

正如第二問中暗示的那樣，可以猜想對于一般函數(shù)而言，“直線MP與y=f（x）在點(diǎn)P處的切線垂直”這條性質(zhì)也成立.

先證明引理：對于任意可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），M與其“最近點(diǎn)”P滿足向量MP與P處切線的方向向量的數(shù)量積為0.（注意，這種描述其實(shí)涵蓋了兩種情況，點(diǎn)M在函數(shù)f（x）上時，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；點(diǎn)M不在函數(shù)f（x）上時，MP與切線垂直.）

函數(shù)s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，取最小值時，s′（x）=2x-2a+f′（x）＼5（2f（x）-2b）=0，此時，MP=（x-a，f（x）-b），切線的一個方向向量為d=（1，f′（x）），有MP＼5d=0.

在該引理下，對于任意一組M1和M2的“最近點(diǎn)”P，有

M1P＼5d=0，M2P＼5d=0.

故點(diǎn)P在直線M1M2上.沿著這個思路來尋找點(diǎn)P的具體位置.

下面利用反證法證明點(diǎn)P為M1M2的中點(diǎn).

注意到M1M2的中點(diǎn)M（t，f（t））在f（x）圖象上，假設(shè)P同時是M1，M2在f（x）的“最近點(diǎn)”且不為中點(diǎn)，如圖2所示，可知PM1gt;MM1或PM2gt;MM2成立，這與“P同時是M1，M2在f（x）的‘最近點(diǎn)’”矛盾.故假設(shè)不成立，點(diǎn)P為M1M2的中點(diǎn).

故點(diǎn)P（t，f（t））處切線的方向向量與向量M1M2數(shù)量積為0，可得2+2f′（t）＼5g（t）=0，即f′（t）=-1g（t）lt;0.

由于t為任意實(shí)數(shù)，故對于函數(shù)f（x）上任意一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)恒負(fù)，則函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減.

掃碼看解題過程方法2：抽屜原理，幾何秒殺.（略）

方法3：純代數(shù)法，暴力破解.（略）

方法4：利用特例，尋找突破.（略）

（掃碼看具體解法.）

4 解法反思

本題目就是構(gòu)建在一個距離最短的問題背景下，引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)方法，證明并利用幾何圖形上看起來很直觀的現(xiàn)象.高考題目中的這一類問題，充分體現(xiàn)了從經(jīng)典幾何到現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的演變過程，以及數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價值.在連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)上求出一點(diǎn)P到已知點(diǎn)M的距離最近問題，當(dāng)點(diǎn)M在函數(shù)圖象上時，這個問題的答案顯而易見，即點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；當(dāng)點(diǎn)M不在函數(shù)圖象上時，需要求得目標(biāo)函數(shù)s（x）（實(shí)際為歐式距離平方）的最小值.由費(fèi)馬引理可知，定義域?yàn)镽連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的最小值在駐點(diǎn)處取到.故可以將問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn).注意到這里的駐點(diǎn)是一個必要條件，而并非充要條件，因此得出的目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，可能為極值點(diǎn)而非最值點(diǎn).這里舉一個二次函數(shù)的例子，令f（x）=x2，M（0，3），代入可得

s（x）=x2+（x2-3）2=x4-5x2+9.

求駐點(diǎn)，可得

s′（x）=4x3-10x=0.

解得x1=0，x2=102，x3=-102.這里x2，x3為目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)，而x1=0為目標(biāo)函數(shù)的極大值點(diǎn).如圖3所示.

因此，在本例證明過程中，除了利用駐點(diǎn)這一必要條件，同時還要證明最小值的充分性.這往往是解答中容易忽略的問題.

通過以上步驟，利用代數(shù)方法求解二維平面上函數(shù)到固定點(diǎn)的最短距離問題，需要建立距離函數(shù)，并求解其最值.這個過程不僅涉及基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)知識，還需要解方程和驗(yàn)證極值點(diǎn)的能力，體現(xiàn)了代數(shù)在解決幾何問題中的應(yīng)用.這類問題不僅考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，更重要的是培養(yǎng)了他們分析問題和解決問題的能力，是高考中具有挑戰(zhàn)性和應(yīng)用價值的題目.

5 試題溯源、推廣與改編

5.1 試題探源

探源1（歷史背景）：歐氏幾何與解析幾何的結(jié)合.

本題目的命題背景來源于一個大家熟知的幾何問題，即距離最短問題.早在公元前300年左右，歐幾里得在他的幾何學(xué)著作《幾何原本》中，就對平面幾何中兩點(diǎn)間的距離給出了一條重要的公理：兩點(diǎn)之間線段最短.這條公理不僅在幾何學(xué)中起到了奠基性的作用，還對后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

在那個年代，人們通常采用幾何學(xué)的證明方法來認(rèn)識和解決最短距離問題.比如歷史悠久的將軍飲馬問題，它描述了一位將軍在一條河兩岸分別有兩匹馬，如何選擇飲水點(diǎn)使得兩匹馬到飲水點(diǎn)的總距離最短；又如FermatTorricelli問題，它要求找到一個點(diǎn)，使其到三角形三個頂點(diǎn)的總距離最小.這些問題通過直觀的幾何構(gòu)造和對稱性，利用簡單而樸素的幾何學(xué)知識，成功地證明了最短路徑的存在.

隨著時間的推移，笛卡兒和費(fèi)馬等數(shù)學(xué)家在17世紀(jì)創(chuàng)立并發(fā)展了解析幾何.這一學(xué)科利用坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何對象之間的關(guān)系和性質(zhì).解析幾何的建立標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它第一次將幾何方法與代數(shù)方法結(jié)合起來，使數(shù)與形得到了統(tǒng)一.通過解析幾何，數(shù)學(xué)家們不僅能夠更加精確地描述和研究曲線、曲面的性質(zhì)，還能夠利用代數(shù)方法解決許多復(fù)雜的幾何問題，推動了數(shù)學(xué)理論的進(jìn)一步發(fā)展.

諸如歐氏幾何與解析幾何結(jié)合的經(jīng)典距離問題模型，有著悠久的歷史背景，下文提出三種真題模型背景，感受其中蘊(yùn)含的代數(shù)和幾何的結(jié)合美.

探源2：兩點(diǎn)費(fèi)馬問題.

函數(shù)圖象上一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離和的最值問題.

已知y=f（x）在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），設(shè)點(diǎn)M1（a，b），M2（c，d），其中a，b，c，d為常數(shù).令d（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2+（x-c）2+（f（x）-d）2.

P（x0，f（x0））是d（x）取到最小值的點(diǎn).

下分析點(diǎn)P的特征：

求d（x）的駐點(diǎn).

求導(dǎo)，得d′（x）=x-a+f′（x）＼5［f（x）-b］（x-a）2+（f（x）-b）2+x-c+f′（x）＼5［f（x）-d］（x-c）2+（f（x）-d）2=0.

與M1P，M2P共線的單位向量分別為

n1=x-a（x-a）2+（f（x）-b）2，f（x）-b（x-a）2+（f（x）-b）2，

n2=x-c（x-c）2+（f（x）-d）2，f（x）-d（x-c）2+（f（x）-d）2.

因此駐點(diǎn)條件可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)在點(diǎn)P處切線的方向向量d=（1，f′（x））與n1+n2的數(shù)量積為0.可以分為兩種情況：M1（a，b），M2（c，d）在函數(shù)圖象異側(cè)以及M1（a，b），M2（c，d）在函數(shù)圖象同側(cè).

當(dāng)點(diǎn)M1，M2在函數(shù)圖象異側(cè)時，如圖4，此時點(diǎn)P即為線段M1M2與函數(shù)圖象的交點(diǎn)（可能不止一個）.幾何解釋也非常明確，兩點(diǎn)之間線段最短.

當(dāng)點(diǎn)M1，M2在函數(shù)圖象同側(cè)時，如圖5，此時點(diǎn)P特征為n1+n2為點(diǎn)P處切線的法向量.當(dāng)y=f（x）為一次函數(shù)時，是直線上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的最值，這就是著名的“將軍飲馬”模型（如圖6）.而函數(shù)不為直線型函數(shù)時，這個問題也是光學(xué)中鏡面反射的原理，也就是費(fèi)馬原理的解析證明.

關(guān)于“將軍飲馬”問題，在平面幾何中有較為直觀的解釋，通過對稱等效原則，以及兩點(diǎn)之間線段最短公理，利用幾何方法找到最值（如圖6）.

對于曲線問題，在高中圓錐曲線章節(jié)也有體現(xiàn)，在一個橢圓曲線Γ：x24+y23=1上找到一點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F2（1，0）和點(diǎn)A（0，1）的距離和最小.如圖7所示，觀察到F2（1，0）為橢圓的一個焦點(diǎn)，由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a=4.

又|PA|≤|PF1|-|AF1|，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時等號成立.

故|PA|+|PF2|≤|PF1|+|PF2|-|AF1|=4-2.

以上是高中階段解析幾何中利用圓錐曲線定義和幾何三角不等式的方法求圓錐曲線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和（其中一點(diǎn)為焦點(diǎn)）的最小值問題.相比上文的代數(shù)解釋，這個問題還有一個更加直觀的幾何解釋，也就是在點(diǎn)P處的切線的垂線平分∠APF2（如圖8）.

探源3：平面上一點(diǎn)到內(nèi)角均小于120°的三角形各個頂點(diǎn)距離和最小值問題.

該問題由費(fèi)馬提出，是著名的“求一點(diǎn)，使其到三角形三個頂點(diǎn)的距離和最小”的極值問題.費(fèi)馬將這一問題交給意大利物理學(xué)家托里拆利求解.托里拆利成功解決了該問題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)三角形的所有內(nèi)角均小于120°時，滿足∠APB=∠APC=∠BPC=120o時的P正是所求的點(diǎn).該點(diǎn)故被稱為托里拆利點(diǎn)，也稱費(fèi)馬點(diǎn)（如圖9）.

將題目背景1中的兩個點(diǎn)推廣到三個點(diǎn)時，題目背景1中的性質(zhì)依然存在，只不過將兩個單位向量和特征推廣為三個單位向量和n1+n2+n3與點(diǎn)P處切線的方向向量的數(shù)量積為0.特別地，當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過三角形費(fèi)馬點(diǎn)時，三個單位向量兩兩成120°，此時n1+n2+n3=0，剛剛提到的數(shù)量積為0的向量特征是一定滿足的.故該點(diǎn)一定是到三點(diǎn)的距離和最近的點(diǎn).關(guān)于費(fèi)馬點(diǎn)的幾何證明過程，網(wǎng)絡(luò)上有較多版本，這里就不展開了.這個推廣僅用代數(shù)方法給出一個思考角度作為參考.

探源4：加權(quán)距離和問題，斯涅爾定律.

斯涅爾定律主要用于光的折射問題，如圖10，設(shè)光在介質(zhì)1與介質(zhì)2中的光速之比為1∶k，α為入射角，β為折射角，則 sin α∶ sin β=1∶k.

其背后的費(fèi)馬原理與最小路徑或最小距離問題有著密切聯(lián)系.費(fèi)馬原理表明，光線傳播的路徑所需的時間為極值.這里利用費(fèi)馬原理證明斯涅耳定律留給讀者自行證明.

5.2 推廣延伸

類比推廣：函數(shù)圖象上點(diǎn)到一定直線的距離最值問題，猜想并證明其幾何特征.

已知函數(shù)y=f（x）在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x）和一條直線l：y=kx+b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線l無公共點(diǎn).令d（x）=kx-f（x）+b，若P（x0，f（x0））是d（x）取到最值的點(diǎn)，則直線l與y=f（x）在點(diǎn)P處的切線平行（如圖11）.

證明略.

延伸應(yīng)用：平面上一點(diǎn)到多個點(diǎn)距離和最值問題也即費(fèi)馬托里拆利問題.

在幾何學(xué)中，歐氏空間中一組離散樣本點(diǎn)的幾何中位數(shù)是使到樣本點(diǎn)的距離和最小化的點(diǎn).它也被稱為空間中位數(shù)、歐氏最小和點(diǎn)、托里切利點(diǎn).原試題第二問其實(shí)是這個問題在函數(shù)約束下，到一個點(diǎn)距離最值的特例情況.

求解幾何中位數(shù)問題的方法有多種，根據(jù)問題的復(fù)雜性和精度要求，可以選擇不同的算法，常見的求解方法主要有魏斯菲爾德算法、坐標(biāo)下降法、梯度下降法、枚舉法、啟發(fā)式算法等.總之，幾何中位數(shù)問題不僅在理論數(shù)學(xué)中具有深遠(yuǎn)影響，還在眾多實(shí)際應(yīng)用中扮演著關(guān)鍵角色.通過研究和解決這一問題，人們可以在各個領(lǐng)域中實(shí)現(xiàn)資源優(yōu)化和效率提升.

5.3 試題改編

（原創(chuàng)命題）已知函數(shù)y=f（x）在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x）和一條直線l：y=kx+b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線l無公共點(diǎn)，令d（x）=kx-f（x）+b，若P（x0，f（x0））是d（x）取到最值的點(diǎn)，則稱P是l在f（x）的“最值點(diǎn)”.

（1）已知f（x）=x2（xgt;0），求證：對于直線l：y=x-2，存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是l在f（x）的“最值點(diǎn)”.

（2）已知f（x）=ex，直線l：y=x，請判斷是否存在一個點(diǎn)P，使得它是l在f（x）的“最值點(diǎn)”，且直線l與y=f（x）在點(diǎn)P處的切線平行？

（3）已知y=f（x）不為常值函數(shù)，在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x）和f″（x）且對于直線l：y=kx+b，若存在不少于三個點(diǎn)是l的“最值點(diǎn)”，求證：存在t∈R，使得f″（t）=0.

解析略，可掃前文中的二維碼看具體解析.