基于“一題一課”漸進(jìn)式培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐

“一題一課”指通過(guò)對(duì)一道題（或一則學(xué)習(xí)材料）進(jìn)行深入研究，對(duì)其所涉及的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行拓展延伸，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)資源與線索，由淺入深，由表及里，科學(xué)、合理、有序地組織和激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種教學(xué)模式。其有效實(shí)施的標(biāo)準(zhǔn)是教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的有效整合、對(duì)學(xué)情的準(zhǔn)確把握以及學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題能力的提升?！耙活}一課”能夠促進(jìn)知識(shí)的即學(xué)即用，活學(xué)活用，減少基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，從而為學(xué)生挑戰(zhàn)其他高難度題型提供有效學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。下面，筆者以2024年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)的一道求線段最值試題為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)“一題一課”教學(xué)實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，矩形ABCD中，AB=[√^-3] ，BC=1，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB、CD向終點(diǎn)B、D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E、F作直線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（ ）。

二、教學(xué)實(shí)踐

根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，教師在選擇題目時(shí)，要基于學(xué)生的現(xiàn)有水平，挑選那些略高于學(xué)生當(dāng)前能力，但在教師引導(dǎo)和學(xué)生合作下能夠解決的題目，因?yàn)檫@樣的題目處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題是初中階段最難、知識(shí)綜合性最強(qiáng)、學(xué)生較畏懼的題型。關(guān)于此類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)有基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”（點(diǎn)與點(diǎn)的距離）、“垂線段最短”（點(diǎn)與線的距離），遇到的題型有“將軍飲馬”“瓜豆原理”“胡不歸”“一箭穿心”等。對(duì)于上述試題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單入手，從特殊入手，循序漸進(jìn)，層層分析，逐步深入，以熟悉的題引向陌生的題，以易題引難題，通過(guò)“一題一課”，將“垂線段”在解決幾何動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題中的運(yùn)用進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生跨越最近發(fā)展區(qū)，發(fā)散思維，豐富思維涵養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升。

1.從基礎(chǔ)入手，設(shè)計(jì)題型

在教學(xué)伊始，教師不妨先設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：

如圖2，AC=10，點(diǎn)B為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AB⊥BC，在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AB和BC的最大值是多少？

此題設(shè)計(jì)的目的是作為引子讓學(xué)生回憶“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等基本事實(shí)。學(xué)生很容易知道，根據(jù)垂線段最短，在直角三角形中，直角邊長(zhǎng)度永遠(yuǎn)小于斜邊長(zhǎng)度。在點(diǎn)A到直線BC上任意一點(diǎn)的距離中，AB是最短的；在點(diǎn)C到直線AB上任意一點(diǎn)的距離中，BC是最短的。因此在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AB或BC的最大值為10，也就是點(diǎn)B與點(diǎn)C或點(diǎn)A重合時(shí)。

2.適當(dāng)增加條件，繼續(xù)設(shè)問(wèn)，層層遞進(jìn)

在環(huán)節(jié)1的基礎(chǔ)上，增加條件：

如圖3，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)D、E是直線l上的點(diǎn)，AB=10，AD⊥DE，BE⊥DE，在直線l繞點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AD的最大值是多少？此時(shí)點(diǎn)E在什么位置？

學(xué)生根據(jù)環(huán)節(jié)1中問(wèn)題的解決，會(huì)有意識(shí)地想到垂線段最短，可以很快判斷，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AD最大。此時(shí)點(diǎn)E也運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C，直線l⊥AB。筆者教學(xué)時(shí)，一切從學(xué)情出發(fā)，以學(xué)生為主，通過(guò)對(duì)這兩題的研究，勾起了學(xué)生對(duì)運(yùn)用“垂線段最短”求最值問(wèn)題的回憶，也加深了學(xué)生對(duì)其運(yùn)用的意識(shí)以及對(duì)這類(lèi)問(wèn)題直觀感知的敏銳度。

3.化繁為簡(jiǎn)，解決問(wèn)題，增強(qiáng)信心

學(xué)生有了前面的探究，遇到一開(kāi)始的中考試題，便有了直觀經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為應(yīng)該將AG放在一個(gè)斜邊是定長(zhǎng)的直角三角形中去考慮，自然就把AC連接起來(lái)，與EF相交于O點(diǎn)，如圖4。因?yàn)镈F=BE，所以CF=AE，易證△FOC[?]△EOA，即AO=OC，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)O重合時(shí)，AG最大，最大值就是AO的長(zhǎng)。

通過(guò)這三道題目，學(xué)生既復(fù)習(xí)了垂線段最短，又增強(qiáng)了利用垂線段求最值的直觀意識(shí)；既有能力提升，又有信心提振。探究到這里，教師不妨繼續(xù)讓學(xué)生提問(wèn)題。學(xué)生在探究中繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，如圖5，如果作CH⊥EF，那么當(dāng)CH=CO時(shí)，CH最大，此時(shí)CH=AG，CH+AG的最大值也可以求出。

教育家夸美紐斯強(qiáng)調(diào)，教育要遵循自然秩序。他認(rèn)為教學(xué)應(yīng)該從易到難，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象。就像大自然的萬(wàn)物生長(zhǎng)都有其順序一樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程也應(yīng)該是循序漸進(jìn)的。教師在教學(xué)中提供的簡(jiǎn)單任務(wù)應(yīng)該處于學(xué)生的現(xiàn)有水平之上，但又不能超出他們的最近發(fā)展區(qū)?！耙活}一課”教學(xué)模式就是知識(shí)回憶與知識(shí)生成之間的橋梁，要讓學(xué)生跳一跳，夠得著。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)對(duì)題目的不斷思考、探索和交流，在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，不斷構(gòu)建新的知識(shí)體系和解題思維模式。學(xué)生想跳想夠著，“彈跳能力”自然就會(huì)提升。

4.試題訓(xùn)練，積累模型經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化直觀素養(yǎng)

教師再給出一道題目，以強(qiáng)化學(xué)生的直觀素養(yǎng)：

如圖6，在△ABC中，∠C=60°，AC=5，BC=4，點(diǎn)D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AD-[1/2]BD的最小值為_(kāi)________________。

數(shù)學(xué)直觀的前提是有必備的數(shù)學(xué)知識(shí)、模型和方法的儲(chǔ)備，有生活與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，以及對(duì)研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征與關(guān)系的辨別能力。該問(wèn)題是求線段之間的和差最值，題目中出現(xiàn)了[1/2]BD，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，題目中有60[°]角，自然想到30[°]角所對(duì)直角邊是斜邊一半（使用三角函數(shù)），作∠C的平分線，構(gòu)造30[°]角，再過(guò)點(diǎn)D作角平分線的垂線，如圖7。學(xué)生通過(guò)構(gòu)造“垂線段”模型，由陌生到熟悉，題目自然迎刃而解。

三、教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體；教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難；促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，許多教師喜歡設(shè)計(jì)題型多、容量大的課堂，滿(mǎn)足于答案的呈現(xiàn)、任務(wù)的完成，不考慮學(xué)生的學(xué)情和學(xué)力，收效甚微。實(shí)踐證明，講多題不如深挖一題。本節(jié)課，筆者根據(jù)學(xué)情和學(xué)力，將一道題進(jìn)行拓展延伸，巧妙設(shè)計(jì)，巧用變式，講深講透，促進(jìn)了學(xué)生的推理能力、幾何直觀和模型觀念的養(yǎng)成。對(duì)于“一題一課”課堂教學(xué)的實(shí)施，筆者認(rèn)為應(yīng)著重關(guān)注以下幾點(diǎn)：

聚焦性。高度聚焦于一道題，所有教學(xué)活動(dòng)圍繞這一道題目展開(kāi)，使教學(xué)目標(biāo)明確且集中，避免教學(xué)內(nèi)容的分散，讓學(xué)生能夠?qū)Ｗ⒂诤诵膯?wèn)題的解決與思考。選材時(shí)，從學(xué)生熟悉的經(jīng)歷入手，嘗試通過(guò)化特殊題型為一般路徑去解決問(wèn)題。在操作過(guò)程中，重視對(duì)思想方法的滲透，高階思維的培養(yǎng)，思維品質(zhì)的提升，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的遷移能力，拓寬視野，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，樹(shù)立自信心，增強(qiáng)解題的決心和韌勁。

拓展性。從題目的條件、結(jié)論、解法等多個(gè)方面進(jìn)行拓展延伸，深入淺出，有一定的知識(shí)容量，涉及多種數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生思維得到真正的鍛煉；問(wèn)題具有層次性，改變題目中的條件，探究結(jié)論的變化，可以讓不同學(xué)生在學(xué)力上得到不同的發(fā)展；問(wèn)題具有開(kāi)放性，即探究過(guò)程和結(jié)果是開(kāi)放的，需要從不同的角度出發(fā)，尋求多種解題方法，以拓展學(xué)生的思維廣度，讓不同層次的學(xué)生都能參與其中；問(wèn)題具有廣延性，易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)而做進(jìn)一步的探究。

生成性。在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論、探索，這樣學(xué)生的觀點(diǎn)和想法才會(huì)不斷涌現(xiàn)，也會(huì)使得教學(xué)內(nèi)容具有動(dòng)態(tài)生成性。教師還要根據(jù)學(xué)生的反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解。

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級(jí)中學(xué)）